第05讲复数的三角表示-2021-2022学年高一数学下学期考点(人教A版2019)

第5讲复数的三角表示知识点1复数的三角表达式1.定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．注意：复数三角形式的特点模非负，角相同，余弦前，加号连2．非零复数z辐角θ的多值性以x轴正半轴为始边，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z)(k∈Z)．3.辐角主值(1)表示法：用argz表示复数z的辐角主值．(2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．即0≤argz<2π.(3)唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的．知识点2复数的代数形式与三角形式的互化复数z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝r·cosθ，,b＝r·sinθ，,r＝\r(a2＋b2).))知识点3两个用三角形式表示的复数相等的充要条件两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．知识点4复数三角形式的乘法及其几何意义设、的三角形式分别是： 简记为：模数相乘，幅角相加.几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．知识点5复数三角形式的除法及其几何意义设、的三角形式分别是： 简记为：模数相除，幅角相减几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．考点一复数代数形式表示成三角形式解题方略：复数代数形式表示成三角形式的方法先由复数确定点(a，b)所在的象限，而a，b的符号决定角θ的终边所在的象限，然后由tanθ＝eq\f(b,a)确定θ角的大小．对于实部和虚部都是三角函数的复数求辐角，可灵活运用三角公式化为复数的三角形式，若复数为零，则辐角任意．【例1】下列复数是复数三角形式表示的是()A.eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)－isin\f(π,4))) B．－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))C.eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3,4)π＋icos\f(3,4)π)) D．coseq\f(7,5)π＋isineq\f(7,5)π【解析】选项A，coseq\f(π,4)与isineq\f(π,4)之间要用“＋”连接，不是用“”连接；选项B，－eq\f(1,2)<0不符合r≥0要求；选项C，是sineq\f(3,4)π与icoseq\f(3,4)π用“＋”连接而不是coseq\f(3π,4)＋isineq\f(3,4)π的形式．故A、B、C均不是复数的三角形式．故选D.变式1：复数2eq\r(3)＋2i的三角形式为________________．【解析】设复数的辐角主值为θ，则tanθ＝eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3).∴θ＝eq\f(π,6)，又∵r＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4.∴复数2eq\r(3)＋2i的三角形式为4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6))).变式2：若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（

）A． B．C． D．【解析】复数的模为1，辐角为，所以复数的三角形式为.故选：A变式2：复数z＝isin10°的三角形式是()A．cos10°＋isin10°B．isin10°C．sin10°(cos90°＋isin90°)D．sin10°(cos0°＋isin0°)【解析】z＝isin10°＝sin10°(0＋i)＝sin10°(cos90°＋isin90°)．故选C变式3：复数(sin10°＋icos10°)(sin10°＋icos10°)的三角形式是()A．sin30°＋icos30° B．cos160°＋isin160°C．cos30°＋isin30° D．sin160°＋icos160°【解析】(sin10°＋icos10°)(sin10°＋icos10°)＝(cos80°＋isin80°)(cos80°＋isin80°)＝cos160°＋isin160°.故选B.变式4：若a<0，则a的三角形式为()A．a(cos0＋isin0)B．a(cosπ＋isinπ)C．－a(cosπ＋isinπ) D．－a(cosπ－isinπ)【解析】因为a<0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a(cosπ＋isinπ)．故选C.变式5：已知复数满足，且，则的三角形式为__________．【解析】由可得，，所以，又，所以．因为，所以．故答案为：．【例2】复数的三角形式eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))转化为代数形式．【解析】eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(3,4)π))＋isinπ＋eq\f(3,4)π＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(3,4)π－isin\f(3,4)π))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)i))＝1－i.变式1：复数10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,6)＋isin\f(7π,6)))表示成代数形式为________．【解析】10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,6)＋isin\f(7π,6)))＝10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))＝－5eq\r(3)－5i.变式2：在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示).【解析】由题意得.故答案为：考点二复数三角形式的概念解题方略：明确复数三角形式的相关概念是准确解答此类问题的基础，另外掌握复数三角形式的乘、除运算法则是关键．【例3】如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（

）A．辐角唯一 B．辐角主值唯一C．辐角主值为 D．辐角主值为【解析】辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值．故选：B．变式1：若|z|＝2，argz＝eq\f(π,3)，则复数z＝________.【解析】由题意知，z＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝1＋eq\r(3)i.【例4】复数eq\r(3)－i的辐角主值为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(5,6)πC.eq\f(7,6)π D.eq\f(11,6)π【解析】∵eq\r(3)－i＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))＝2coseq\f(11π,6)＋isineq\f(11,6)π，又∵eq\f(11π,6)∈[0,2π)，故eq\r(3)－i辐角的主值为eq\f(11,6)π.变式1：复数的辐角主值是（

）A． B． C． D．【解析】，因此，复数的辐角主值为.故选：D.变式2：复数的一个幅角为（

）A． B． C． D．【解析】，，，故选：B变式3：复数coseq\f(15π,7)＋isineq\f(15π,7)的辐角主值是________．【解析】原式＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,7)))＋isineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,7)))＝coseq\f(π,7)＋isineq\f(π,7)，故其辐角主值为eq\f(π,7).变式4：把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（

）A．， B． C． D．【解析】由题可知，则，，可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选：B.变式5：已知z＝1＋i，求复数ω＝eq\f(z2－3z＋6,z＋1)的模和辐角主值，并写出复数的三角形式．【解析】∵z＝1＋i，∴ω＝eq\f(z2－3z＋6,z＋1)＝eq\f(1＋i2－31＋i＋6,1＋i＋1)＝eq\f(3－i,2＋i)＝1－i，∴|ω|＝eq\r(2)，1－i对应的点在第四象限且tanθ＝－1，∴ω辐角的主值为eq\f(7π,4)，∴复数ω的三角形式为ω＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π)).变式6：已知z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)，求argz.【解析】z＝1＋cosθ＋isinθ＝2cos2eq\f(θ,2)＋i2×sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＝2coseq\f(θ,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)＋isin\f(θ,2)))＝－2coseq\f(θ,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(θ,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(θ,2))))).∵π<θ<2π，∴eq\f(π,2)<eq\f(θ,2)<π，∴coseq\f(θ,2)<0，eq\f(3π,2)<π＋eq\f(θ,2)<2π，∴argz＝π＋eq\f(θ,2).变式7：已知z＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)＋isin\f(π,12)))，则eq\f(1,z)的辐角主值为________．【解析】eq\f(1,z)＝eq\f(1,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)＋isin\f(π,12))))＝eq\f(cos0＋isin0,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)＋isin\f(π,12))))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(23π,12)＋isin\f(23π,12))).∴eq\f(1,z)的辐角主值为eq\f(23π,12).变式8：复平面内，向量对应复数的共轭复数为，则对应复数的幅角主值为（

）A． B． C． D．【解析】因为复数的共轭复数为，即向量对应的复数为，，，则的幅角主值为即对应复数的幅角主值为故选：D变式9：已知复数－3＋4i的辐角主值为α，复数3－4i的辐角主值为β，则α－β＝________.【解析】由题意知eq\f(－3＋4i,3－4i)＝－eq\f(3－4i,3－4i)＝－1，又由题意知eq\f(π,2)<α<π，eq\f(3π,2)<β<2π，所以－eq\f(3π,2)<α－β<－eq\f(π,2)，所以α－β＝－π.变式10：复数z＝(a＋i)2的辐角主值为eq\f(3π,2)，则实数a＝________.【解析】由于复数z的辐角主值为eq\f(3π,2)，故z＝rcoseq\f(3π,2)＋isineq\f(3π,2)＝－ir，又z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai，所以a2－1＋2ai＝－ir，所以a2－1＝0,2a＝－r，故a＝－1.变式11：设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i则argz1＋argz2＋argz3＝（

）A．B．C． D．【解析】∵z1·z2·z3＝(1－2i)(1＋i)(－1＋3i)＝(3－i)(－1＋3i)＝10i，∴argz1＋argz2＋argz3＝＋2kπ，k∈Z.∵argz1∈，argz2∈，argz3∈，∴argz1＋argz2＋argz3∈.∴argz1＋argz2＋argz3＝.考点三复数三角形式乘法运算及几何意义解题方略：涉及两个复数积的运算，应先将复数化为三角形式，再按复数三角形式的乘法运算法则进行，要注意辐角主值的范围．【例5】（

）A． B． C． D．【解析】故选：D.变式1：计算：（1）8(cosisin)•2(cosisin)；（2）[12(cosisin)]4；（3）(cos240°+isin240°)•(cos60°+isin60°)；【解析】（1）原式=16(i)•(i)=4()+4(()i.（2）原式=124(cos7π+isin7π)=﹣20736.（3）原式(cos300°+isin300°)(i)i.变式2：已知复数z1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))，z2＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))，求z1z2.【解析】z1z2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))×eq\f(3,4)coseq\f(2,3)π＋isineq\f(2,3)π＝2×eq\f(3,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(2,3)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(2,3)π))))＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5,6)π＋isin\f(5,6)π))＝－eq\f(3\r(3),4)＋eq\f(3,4)i.变式3：已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求θ1＋θ2的值．【解析】∵z1＝4＋4i＝4eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)＋isin\f(π,4)))，z2＝－1－i＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,4)＋isin\f(5π,4)))，∴z1z2＝4eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)＋isin\f(π,4)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,4)＋isin\f(5π,4)))))＝8eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(5π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(5π,4)))))＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,2)＋isin\f(3π,2)))，∴θ1＋θ2＝eq\f(3π,2).变式4：如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i和2，则点C所表示的复数为________．【解析】∵A，B所表示的复数分别是eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i和2，eq\o(AB,\s\up7(―→))所表示的复数为eq\f(3,2)－eq\f(\r(3),2)i，把eq\o(AB,\s\up7(―→))逆时针旋转60°得到eq\o(AC,\s\up7(―→))，eq\o(AC,\s\up7(―→))对应的复数为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(\r(3),2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos60°＋isin60°))＝eq\f(3,2)＋eq\f(\r(3),2)i，eq\o(OC,\s\up7(―→))＝eq\o(OA,\s\up7(―→))＋eq\o(AC,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i＋eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)i＝2＋eq\r(3)i，即点C对应的复数是2＋eq\r(3)i.答案：2＋eq\r(3)i变式5：已知复数z1，z2，满足|z1|＝|z2|＝1，且z1＋z2＝eq\f(1＋\r(3)i,2)，则z1z2＝________.【解析】设z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，因为z1＋z2＝eq\f(1＋\r(3)i,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝\f(1,2)，①,sinα＋sinβ＝\f(\r(3),2)，②))和差化积，eq\f(②,①)得taneq\f(α＋β,2)＝eq\r(3)，所以sin(α＋β)＝eq\f(\r(3),2)，cos(α＋β)＝－eq\f(1,2)，所以z1z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.【例6】将复数1＋i对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．【解析】1＋i＝eq\r(2)(cos45°＋isin45°)，由题意知，(1＋i)·[cos(－45°)＋isin(－45°)]＝eq\r(2)(cos45°＋isin45°)·[cos(－45°)＋isin(－45°)]＝eq\r(2)(cos0°＋isin0°)＝eq\r(2).变式1：在复平面内，将复数eq\r(3)＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得向量对应的复数为________．【解析】由题意知，(eq\r(3)＋i)×(cos90°＋isin90°)＝2(cos30°＋isin30°)×(cos90°＋isin90°)＝2(cos120°＋isin120°)＝－1＋eq\r(3)i.即所得向量对应的复数为－1＋eq\r(3)i.考点四复数三角形式除法运算及其几何意义解题方略：在进行复数三角形式的除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按除法法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示．【例7】计算(cos40°＋isin40°)÷(cos10°＋isin10°)＝________.【解析】(cos40°＋isin40°)÷(cos10°＋isin10°)＝cos(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos30°＋isin30°＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i.变式1：计算eq\f(\r(3)＋i\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3))),sin\f(π,3)＋icos\f(π,3))的值．【解析】eq\f(\r(3)＋i\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3))),sin\f(π,3)＋icos\f(π,3))＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3))),cos\f(π,6)＋isin\f(π,6))＝eq\f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,3))))),cos\f(π,6)＋isin\f(π,6))＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,2)＋isin\f(π,2))),cos\f(π,6)＋isin\f(π,6))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝1＋eq\r(3)i.变式2：计算：2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)－isin\f(π,6)))÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3))))).【解析】原式＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋isineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)－\f(π,3)))))＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))＝－2i.变式3：（

）A． B． C． D．【解析】.故选：B.变式4：向量eq\o(OZ1,\s\up7(―→))，eq\o(OZ2,\s\up7(―→))，分别对应非零复数z1，z2，若eq\o(OZ1,\s\up7(―→))⊥eq\o(OZ2,\s\up7(―→))，则eq\f(z1,z2)是()A．负实数 B．纯虚数C．正实数 D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)【解析】设复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，由于eq\o(OZ1,\s\up7(―→))⊥eq\o(OZ2,\s\up7(―→))，所以eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1cosθ1＋isinθ1,r2cosθ2＋isinθ2)＝eq\f(r1,r2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cosθ1－θ2＋isinθ1－θ2))＝eq\f(r1,r2)[cos(±90°)＋isin(±90°)]＝±eq\f(r1,r2)i，即eq\f(z1,z2)为纯虚数．故选B.变式5：设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解析】复数满足条件，所以可设所以所以因为，所以，所以，所以对应复平面上的点位于第四象限.故选：D考点五复数三角形式的应用【例8】复数i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（

）A． B． C． D．【解析】i的立方根为（其中）当时,得；当时,得；当时,得,故选：D【例9】已知复数，满足，，则______.【解析】复数，满足，令，，，整理得，又，．故答案为：．变式1：已知复数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【解析】由可设：，，（其中），当时，.故选：.练习一复数代数形式表示成三角形式1、复数的三角形式为__________．【解析】=.故答案为：.2、将下列复数表示成三角形式(1)tanθ＋i，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)1＋cosα＋isinα，α∈[0,2π)．【解析】(1)tanθ＋i＝eq\f(sinθ,cosθ)＋i＝eq\f(1,cosθ)(sinθ＋icosθ)，∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cosθ>0，∴tanθ＋i＝eq\f(1,cosθ)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)))).(2)1＋cosα＋isinα＝2cos2eq\f(α,2)＋i·2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝2coseq\f(α,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋isin\f(α,2))).∵当0≤α<π时，0≤eq\f(α,2)<eq\f(π,2)，coseq\f(α,2)>0，∴1＋cosα＋isinα＝2coseq\f(α,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋isin\f(α,2)))，当π≤α<2π时，eq\f(π,2)≤eq\f(α,2)<π，coseq\f(α,2)≤0，∴1＋cosα＋isinα＝－2coseq\f(α,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(α,2)－isin\f(α,2)))＝－2coseq\f(α,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(α,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(α,2))))).3、的三角形式是（

）A． B．C． D．【解析】．故选：．4、把下列复数表示成代数形式：(1)4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,3)＋isin\f(5π,3)))；(2)2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,4)＋isin\f(7π,4))).【解析】(1)4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,3)＋isin\f(5π,3)))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝2－2eq\r(3)i.(2)2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,4)＋isin\f(7π,4)))＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)i))＝eq\r(6)－eq\r(6)i.5、复数的代数形式是_____________.【解析】.故答案为：.6、在复平面内，复数对应向量(为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（

）A． B．C． D．【解析】根据复数乘方公式：，得.故选：D.7、棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（16671754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】由题意，所以该复数在复平面内所对应的点为，因为，，所以该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限.故选：C.练习二复数三角形式的概念1、复数的辐角主值是（

）A．－40° B．310° C．50° D．130°【解析】复数，所以该复数的辐角主值是.故选：B2、复数的辐角主值为__________．【解析】=所以辐角主值为，故答案为：3、任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（

）A． B． C． D．【解析】复数，因此，复数的辐角主值为.故选：A.4、复数的辐角主值为________.【解析】因为,所以所以,所以复数z的辐角主值为.故答案为：5、若复数的辐角为，的辐角为，则______．【解析】设，，则，，因为复数的辐角为，所以，①因为复数的辐角为，所以，②由①②可得：，，所以，故答案为：.6、已知z＝cosθ－sinθ＋eq\r(2)＋i(cosθ＋sinθ)．(1)当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值；(2)若θ∈(π，2π)，求argz(用θ表示)．【解析】(1)|z|＝eq\r(cosθ－sinθ＋\r(2)2＋cosθ＋sinθ2)＝eq\r(4＋2\r(2)cosθ－sinθ)＝2eq\r(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))).所以，当coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1时，即θ＝2kπ－eq\f(π,4)(k∈Z)时，|z|取最大值2eq\r(2).(2)设argz＝α，由z＝cosθ－sinθ＋eq\r(2)＋i(cosθ＋sinθ)＝eq\r(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))))，所以tanα＝eq\f(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))),\r(2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co