金融数学课件 ch2 布朗运动

金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE10/59第二章布朗运动第二章布朗运动金融数学中国人民大学出版社引言引言在随机过程领域，有一类时间和状态均连续的随机过程，称为马氏过程（vprocess，其中最具有代表性的就是在金融工程、高能物理等研究领域中被广泛使用的布朗运动Brownianmotio。布朗运动简史布朗运动简史布朗运动（Brownianmotion）是由英国生物学家罗伯特∙布朗（RobertBrown，1773—1858）于1828年首先观察到的花粉颗粒浮于液体内不规则运动的物理现象。1900年，法国数学家路易斯∙巴舍利耶（LouisBachelier，1870—1946）在他的博士论文中正式将布朗运动引入证券市场，用来描述股价的变动。阿尔伯特∙爱因斯坦（AlbertEinstein，1879—1955）1905年在研究狭义相对论的过程中，独立地对布朗运动进行了数学刻画。之后，诺伯特∙维纳（NorbertWiener，1894—1964）1923年研究了布朗运动的数学理论，并对其严格定义，因此布朗运动也被称为维纳过程（ienerproces。布朗运动简史(cont.)布朗运动简史(cont.)美国经济学家保罗∙萨缪尔森（PaulSamuelson，1915—2009）在曼德尔布罗特（B.Mandelbrot，1924—2010）和奥斯本（MOsborne，1888—1966）1960年代对巴舍利耶的研究成果进行了重新发掘，将布朗运动再度引入金融经济学模型，并尝试研究金融市场中的权证定价问题。至此，布朗运动在金融经济学及金融工程学中建立了重要地位。本章内容本章内容1随机游走1随机游走的含义对称随机游走2按比例缩小型对称随机游走布朗运动及其性质2布朗运动的定义及其性质布朗运动的变换布朗运动的瞬时增量及其性质3布朗运动的首中时刻首中时刻的概念3

首中时刻的性质4首中时刻在金融中的应用反射原理与布朗运动的最大值4反射原理布朗运动的最大值56反射原理在金融中的应用马氏过程56布朗运动的变化形式布朗桥有漂移的布朗运动几何布朗运动随机游走的含义随机游走的含义随机游走的含义随机游走假设一个粒子每隔∆t时间做一次向上或向下的运动，其中向上运动的概率为p，移动的距离为1个单位；向下运动的概率为q=1−p，移动的距离也为随机游走的含义随机游走粒子向下运动的位移即为−1个单位。将每次粒子的位移记作随机变量Zi，其中i表示移动的次数。相应地，粒子的上下运动称作随机游走（randomk。因此有：P(Zi=1)=p, P(Zi=−1)=q=1−p假设随机变量Zi是独立同分布的，当t=n∆t时，将t时间段内粒子的位移记作X(t)，则有：X(t)=Z1+Z2+···+Zn金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE7/59随机游走的含义随机游走的含义(cont.)随机游走的含义随机游走的含义随机游走

E(Zi)=1·P(Zi=1)+(−1)·P(Zi=−1)=p−qiE(Z2)=12·P(Zi=1)+(−1)2·P(Zi=−1)=1iiVar(Zi)=E(Z2)−[E(Zi)]2=4pqi由于期望具有线性性质，因此：E[X(t)]=E(Z1)+E(Z2)+···+E(Zn)=n(p−q)另外，基于随机变量Zi是独立同分布的前提假设可得：Var[X(t)]=Var(Z1)+Var(Z2)+···+Var(Zn)=4npq随机游走 随机游走 随机游走的含义随机游走示意图X(X(t)t12345678910−1−2随机游走 随机游走 对称随机游走对称随机游走若随机游走的粒子上下运动的概率均为50%，即p=q=0.5，可以得到粒子位移X(t)的均值和方差分别为：E[X(t)]=n(p−q)=0Var[X(t)]=4npq=n对应的每次粒子位移Zi的均值和方差分别为：E(Zi)=0, Var(Zi)=1此时的随机游走称作对称随机游走（crandomk。其中，位移的期望为零，方差则与位移次数n有关。n=t/∆t，也就是t位移的期望为零，方差则与位移次数n有关。对称随机游走的二次变差对称随机游走的二次变差对称随机游走随机游走截至t时刻的对称随机游走的二次变差（对称随机游走随机游走⟨⟨ ⟩ −nX,X(t)= (Xi Xi−1)2i=1由于增量Zi=Xi−Xi−1=±1，因此：⟨X,X⟩(t)=n由此不难看出，对称随机游走的二次变差在数值上等于其方差，即：Var[X(t)]=n=⟨X,X⟩(t)随机游走 随机游走 对称随机游走对称随机游走的二次变差与方差Var[X(t)]=n=⟨X,X⟩(t)二次变差⟨X,X⟩(t)=n与随机游走中上下运动的概率无关；而方差Var[X(t)]=n成立的前提是对称随机游走，即p=q=0.5。正因如此，二次变差⟨X,X⟩(t)是沿着随机游走的单条路径计算得到，而方差Var[X(t)]则是对所有的路径，以其概率权重求平均得到。随机游走 随机游走 按比例缩小型对称随机游走按比例缩小型对称随机游走在原先的对称随机游走的基础上，引入按比例缩小型对称随机游走（dsymmetricrandomwalk，将原先的t时间段粒子位移的次数n划∆t=t/n划分成距离相等的m∆t∆t/mn次mnZiW(m)(s)，从而可得：W(m)

1(s)=√mZms, s∈[0,t]按比例缩小型对称随机游走的示意图按比例缩小型对称随机游走的示意图随机游走随机游走按比例缩小型对称随机游走W(100)(t)34t120−1随机游走 随机游走 按比例缩小型对称随机游走按比例缩小型对称随机游走(cont.)EW(m)

()＿

=0,

(s)＿=

（ ＼1（ ＼√m

11=m对于[s,t]时间段内的增量W(m)(t)−W(m)(s)而言，粒子发生了m(t−s)次位移，根据独立增量的性质可得：E(m)()−W(m)(s)＿=0,mr(m)()−W(m)(s)＿=1·(t−s)=t−sm接下来考虑二次变差，可得：／W(m),W()＼

(t)=

mt−Wj−W

（j＼mm

（−1＼l2mmj=1=√mZj=m=m·j=1=√mZj=m=m·mt=t

mt1 1jj=1j=1 j=1j=1因此，按比例缩小型对称随机游走的均值、方差和二次变差分别如下：EW()(t)＿=0, rW()(t)＿=t, ／W(m),W()＼(t)=t0t的正态分布。当按比例缩小型对称随机游走的参数m→∞时，随机游走就变成了布朗运动。根据中心极限定理，当固定t≥0时，W(m)(t)在时刻t取值的分布将收敛于均金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE16/59布朗运动的定义布朗运动的定义布朗运动的定义及其性质布朗运动及其性质{W(t)t≥0}W(t)为标准布朗运动（dBrownianmotion，简称为布朗运动Brownianmotio布朗运动的定义及其性质布朗运动及其性质W(t)连续且W(0)=0；W(t)∼N(0,t)；注意：W(s+t)−W(s)∼N(0,t)；W(t)是独立增量过程。注意：结合条件结合条件2和3可知，布朗运动具有平稳增量的特征。金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社17/59布朗运动的增量独立性布朗运动的增量独立性布朗运动的定义及其性质布朗运动及其性质若0≤s1<t1≤s2<t2，则W(t1)−W(s1)和W(t2)−W(s2布朗运动的定义及其性质布朗运动及其性质Cov[W(t1)−W(s1),W(t2)−W(s2)] l=Cov[W(t1−s1),W(t2−s l=EW(t1−s1)W(t2−s2)−E[W(t1−s1)]E[W(t2−s2)]对于正态分布而言，独立意味着不相关，因此：Cov[W(t1)−W(s1),W(t2)−W(s2)]=0又由于布朗运动的增量均值为0，从而可得：EW(t1−s1)W(t2−s2)l=0金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社18/金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社18/59布朗运动的性质布朗运动的性质布朗运动的定义及其性质布朗运动及其性质 lE[W(布朗运动的定义及其性质布朗运动及其性质 lVar[W(t)]=t=EW2(t)；若s<t，则Cov[W(s),W(t)]=E[W(s)W(t)]=s∧t=s。布朗运动W(t)的矩母函数如下：Wt()2M (θ)=EeθW(t)＿=exp（1θ2Wt()2金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社19/59布朗运动的协方差布朗运动的协方差布朗运动的定义及其性质布朗运动及其性质 l lCov[W(s),W(t)]=EW(s)W(t)−E[W(布朗运动的定义及其性质布朗运动及其性质 l l｛ ｝=EW(s)W(t｛ ｝｛ ｝ l=EW(s)[W(t)−W(s)+W(s｛ ｝ l｛ ｝=EW(s)[W(t)−W(s)]+EW2(s｛ ｝ l根据增量独立性，EW(s)[W(t)−W(s lCov[W(s),W(t)]=EW2(s)=s更进一步地，上式可以表示如下：Cov[W(s),W(t)]=min(s,t)=s∧t其中，符号∧表示取两值中的较小值。布朗运动及其性质 布朗运动及其性质 布朗运动的定义及其性质举例1金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE25/59解答：假设0<s<t，求W(s)+W(t)的均值和方差。解答：W(s)+W(t)可以如下变形：W(s)+W(t)=2W(s)+[W(t)−W(s)]根据期望的线性性质可得：E[W(s)+W(t)]=E[W(s)]+E[W(t)]=0根据布朗运动的增量独立性，有：Var[W(s)+W(t)]=Var[2W(s)+W(t)−W(s)]=4Var[W(s)]+Var[W(t)−W(s)]=4Var[W(s)]+(t−s)=4s+(t−s)=3s+t布朗运动及其性质 布朗运动及其性质 布朗运动的定义及其性质举例2解答：对于在直线上做布朗运动的粒子而言，其在时刻2的坐标为1，求其在时刻5的坐标不超过3的概率。解答：该概率是一个条件概率，表达式为：P[W(5)≤3|W(2)=1]，因此：P[W(5)≤3|W(2)=1]=P[W(5)−W(2)≤2|W(2)=1]=P[W(5)−W(2)≤2]=P[W(3)≤2]（ ＼由于W(3)∼N(0,3)（ ＼2P[W(3)≤2]=N √3其中，N(·)是标准正态分布的分布函数

=0.876布朗运动及其性质 布朗运动及其性质 布朗运动的变换布朗运动的变换对于布朗运动W(t)，如下变换后的随机过程X(t)仍然是布朗运动：反射变换(reflection)：X(t)=−W(t)。1平移变换(translation)：X(t)=W(t+s)−W(s),∀s≥0。缩放变换(rescaling)：X(t)=√aW(at),∀a>0。1证明的思路：反转变换(inversion)：X(t)=tW(1/t)，t>0，并且X(0)=0。证明的思路：该过程的期望和方差是否满足布朗运动的性质，即：该过程的期望和方差是否满足布朗运动的性质，即：E[W(t)]=0,Cov[W(t),W(s)]=s∧t布朗运动及其性质 布朗运动及其性质 布朗运动的瞬时增量及其性质布朗运动的瞬时增量W(t+∆t)−W(t)∼N(0,∆t)当∆t→0时，定义：dW(t)=lim∆t→0

W(t+∆t)−W(t)此时W()称作(t)的瞬时增量（instantaneousincremen，相应地：dW(t)∼N(0dt)如果对W(t)关于t求导，可得：dW(t)=lim

W(t+∆t)−W(t)dt ∆t→0 ∆t布朗运动瞬时增量的性质布朗运动瞬时增量的性质布朗运动的瞬时增量及其性质布朗运动的瞬时增量及其性质布朗运动及其性质E「

(t+∆t)−W(t)l=1·E[W(t+∆t)−W(t)]=0→ 「 l→∞∆t∆t∆t(∆t)2∆tVar「(t+∆t)−W(t)l=1 ·Var[W→ 「 l→∞∆t∆t∆t(∆t)2∆t当∆t 0时，VarW(t+∆t)−W(t) ，微商的方差无界，意味∆t布朗运动W(t)是处处连续且处处不可微的特殊函数。布朗运动的这一特征，决定了其路径不是光滑（smooth）的。布朗运动W(t)是处处连续且处处不可微的特殊函数。布朗运动的这一特征，决定了其路径不是光滑（smooth）的。注意：金融数学第二章金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE25/59布朗运动的变差布朗运动的变差布朗运动的瞬时增量及其性质布朗运动及其性质对于布朗运动W(t)，其一次变差（布朗运动的瞬时增量及其性质布朗运动及其性质—1−—1−limn→∞limn→∞k=01W(tk+1)−W(tk)1=∞二次变差（quadraticvariation）如下：—n—⟨ ⟩W,W(t)=⟨ ⟩n→∞k=0

2＿W(tk+1)−W(tk) =t＿类似地，当p≥3时，其高阶变差如下：limn→∞k=0W(tk+1)−limn→∞k=0W(tk+1)−W(tk)=0布朗运动的二次变差也可以形式地记为：dW(t)·dW(t)=dt布朗运动及其性质 布朗运动及其性质 布朗运动的瞬时增量及其性质二次变差布朗运动与光滑函数最主要的差别体现在二次变差上：光滑函数的二次变差为零；布朗运动的二次变差不为零。布朗运动的首中时刻 布朗运动的首中时刻 首中时刻的概念首中时刻的概念τaaτa=min{t:t≥0,W(t)=a}首中时刻τa是一个随机变量，也就是停时。注意：则称τa为首中时刻firsthittingtim）或首达时间firstpassage首中时刻τa是一个随机变量，也就是停时。注意：首中时刻的性质首中时刻的性质首中时刻的性质布朗运动的首中时刻考虑一个布朗运动，其起始点的位置在a处，由于布朗运动具有的对称性，在已知τa<t的条件下，未来的任意时刻t，布朗运动的质点会等可能地位于首中时刻的性质布朗运动的首中时刻2P[W(t)>a|τa<t]=P[W(t)<a|τa<t]=12对于第一项可得：P[W(t)>a|τa<t]=P[W(t)>a,τa<t]=P[W(t)>a]P(τa<t) P(τa<t)布朗运动的首中时刻 布朗运动的首中时刻 首中时刻的性质首中时刻的性质(cont.)＼（a>0W(0)=0{W(t)>a}t{τa<t}P[W(t)>aτa<t]=P[W(t)>a]，于是：＼（＼P(τa＼

<t)=2·P[W(t)>a]=2·P

aZ>√tr（∞r（=2a/√t

1 x2√2πexp−2 dx假设a<0，则有类似的结果如下：P[W(t)<a|τa<t]=P[W(t)<a,τa<t]=P[W(t)<a]于是：

P(τa

P(τa<t)<t)=2·P[W(t)<a]=2·Pr（√r（

P(τa<t)＼＼（aZ<√t＼＼（a/t1 x22π=2 √ exp−2 dx2πr＼（−∞r＼（∞=2−a/√t

1 x2√2πexp−2 dx金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社31/59金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社31/59首中时刻的分布函数首中时刻的分布函数首中时刻的性质布朗运动的首中时刻首中时刻的性质布朗运动的首中时刻＼

2

r∞rra/√tr

1 x2（（√2πexp−2（（

dx a>0因此：

P(τa

<t)=

2

∞−a/√t

1 x2√2πexp−2

＼dx a<0＼Fτa(t)=P(τa<t)=2

∞r|a|/√tr=2·=2·N−√t

1 x2＼（√2πexp−2 dx＼（|a|＼金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE46/59首中时刻的性质首中时刻的性质布朗运动的首中时刻首中时刻首中时刻τa分布函数的图示f(f(x)f(x)=√2π1exp−x「122l−√t|a|O|a|√t金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE33/59首中时刻的密度函数首中时刻的密度函数首中时刻的性质布朗运动的首中时刻对Fτa(t)关于t求微分，可以得到对应的密度函数fτa(t首中时刻的性质布朗运动的首中时刻＼fτa(t)=dFτ＼fτa(t)=

（1

a2＼tt

−3/2||dt =√||dt =√2πexp−2··|a|·2t=√2πt3exp

a2说明：（−2t说明：（

, t>0τa1/2a2/2Gamma分布（inverseadistribution。布朗运动的首中时刻 布朗运动的首中时刻 首中时刻的性质首中时刻的特殊性质对于任意位置a，布朗运动均能以概率1到达。P(τa

∞ t< )=limP(τ∞ t→∞

<t)=lim2Ntt

a||（||（=2·N(0)=1＼首中时刻的期望值为无穷大。＼E(τa)=

∞r·tfτa(t)dt=r·0

∞a0r ||√0r ||

a2（−2t（

dt=∞布朗运动的首中时刻 布朗运动的首中时刻 首中时刻在金融中的应用首中时刻在金融中的应用美式期权（Americanoption）提前行权的具体时间取决于期权标的物价格的随机变动情况。正因如此，提前行权的时间可看作首中时刻。障碍期权（barrieroption）在未来标的物价格达到一定水平（即障碍价格）时生效［也称敲入（knock-in］或失效［也称敲出（knock-out。因此，障碍期权敲入或敲出的时间也可以看作首中时刻。反射原理反射原理定义：反射原理反射原理与布朗运动的最大值τa后发生了反射，由此所构成的路径也是布朗运动，这一性质就是反射原理（reflectionprinciple定义：反射原理反射原理与布朗运动的最大值- W(t), - W(t), t [0,τa]W(t)= ∈2a−W(t), t∈[τa,∞)称-(t)是在τa时刻发生反射的布朗运动。反射原理与布朗运动的最大值 反射原理与布朗运动的最大值 反射原理反射原理示意图60504030200 100 200 300 400 500 600 700 800 900100060504030200 100 200 300 400 500 600 700 800 9001000反射原理与布朗运动的最大值 反射原理与布朗运动的最大值 布朗运动的最大值布朗运动的最大值对于布朗运动W(t)，若在区间t∈[0,T]上，有：MT=maxW(t)t∈[0,T]则称MT是布朗运动在[0,T]上的最大值。当a>0时，如果在时间t处，W(t)>a，则意味着在时间段[0,t]上，Mt>a并且τa<t，因此：{Mt>a}={Mt>a,W(t)>a}∪{Mt>a,W(t)≤a}={W(t)>a}∪{Mt>a,W(t)≤a}由于上面的两个事件互不相容，因此：P(Mt>a)=P[W(t)>a]+P[Mt>a,W(t)≤a]反射原理与布朗运动的最大值 反射原理与布朗运动的最大值 布朗运动的最大值布朗运动的最大值(cont.)- - ＿ 根据反射原理，以τa为界，当t≥τa时，W(t)=2a−- - ＿ P[Mt>a,W(t)≤a]=PMt>a,W(t)≥a=PW(t)≥a-由于W(t)与W(t)均是布朗运动，因此：-P-()≥＿=P[W(t)≥a]于是：P(Mt>a)=P[W(t)>a]+P[W(t)≥a]=2·P[W(t)>a]（ a＼

r∞1

（12＼=2·P

Z>√t√

=2·

a/√t

√2πexp

−2x dxr−a/

t1

（12＼

（a＼=2·−∞

√2πexp

−2x

dx=2N

−√t从另一个角度来看，{Mt>a}这一事件必然意味着{τa<t}成立，因此：P(Mt

>a)=P(τa

<t)=Fτa(t)=2N

a提示：（−√t提示：（

＼, a>0＼此处直接使用了首中时刻此处直接使用了首中时刻τa的分布函数。金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE41/59布朗运动的最大值布朗运动的最大值Mt的分布函数布朗运动的最大值反射原理与布朗运动的最大值＼（FMt(a)=P(Mt<a)=1−P(Mt布朗运动的最大值反射原理与布朗运动的最大值＼（=1−2N√

a−√tra/

t1

（12＼=−a/√t

√2πexp

−2x dx金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE42/59布朗运动的最大值布朗运动的最大值反射原理与布朗运动的最大值布朗运动最大值布朗运动最大值Mt分布函数的图示f(f(x)f(x)=√2π1exp−x「122l−√taO√ta金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE43/59MMt与W(t)的联合概率密度布朗运动的最大值反射原理与布朗运动的最大值根据反射原理可知：当w≤m，且m>布朗运动的最大值反射原理与布朗运动的最大值P[Mt≥m,W(t)≤w]=P[W(t)≥2m−w]Mt与W(t)的联合概率密度如下：fM,Mt与W(t)的联合概率密度如下：fM,W(mw,)=(2t√2πtm−w)exp−「(2m−w)22tl,w≤mm, >0定理反射原理与布朗运动的最大值 反射原理与布朗运动的最大值 布朗运动的最大值随机变量对(Mt,W(t))的取值区域y y=xmm x反射原理与布朗运动的最大值 反射原理与布朗运动的最大值 反射原理在金融中的应用反射原理在金融中的应用回望期权（lookbackoption）在未来到期日，其回报数额的计算不是依据行权价和到期日标的资产的价格：看涨型回望期权的回报数额是依据行权价和期间内标的资产价格的最高值计算确定；看跌型回望期权的回报数额则是依据到期日标的资产价格与期间内标的资产价格的最低值计算确定。对回望期权进行定价，就需要使用反射原理以及布朗运动最大值的相关性质。障碍期权的定价问题当中，敲入或敲出的条件可以等价为判断期权有效期内，标的资产价格最大值或最小值是否达到障碍价格。因此，也可以基于反射原理，最终推导出障碍期权的价格。回顾：马氏性回顾：马氏性马氏过程马氏过程P(Xn+1=j|Xn=i,Xk=xk,0≤k<n)=P(Xn+1=j|Xn=i)在时间和状态均连续的布朗运动中，同样具有此种性质，即：P(Xt+s≤y|Xu,0≤u≤s)=P(Xt+s≤y|Xs)当这个条件概率不依赖于s的取值时，该过程具有时齐性，即：在时间和状态均连续的过程中，若满足马氏性，则称其为马氏过程。相应地，P(Xt≤y|X0=x)称为过程的转移分布函数。P(Xt+s≤y|Xs在时间和状态均连续的过程中，若满足马氏性，则称其为马氏过程。相应地，P(Xt≤y|X0=x)称为过程的转移分布函数。金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE47/59转移函数转移函数马氏过程正如离散状态马氏链当中，转移矩阵在研究随机演化的过程中扮演着重要的角色，马氏过程则是使用转移函数来研究过程随时间的演化。转transitionkernet(x,·)0=x的条tXt马氏过程P(Xt≤y|P(Xt≤y|X0=x)=Kt(x,w)dwP(Xt≤y|X0=x)=Kt(x,w)dw−∞金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE48/59C-KC-K方程马氏过程C-KC-K方程，只不过原先公式中的求和符号变成了积分符号；原先的转移概率马氏过程离散状态马氏链中的转移概率ps+t(x,y)与马氏过程中的转移核—Ks+t(x,y)之间的关系如下：—ps+t(x,y)= ps(x,k)pt(k,y), ∀krkrKs+

t(x,y)= ∞Ks(x,z)Kt(z,y)dz, ∀s,t−∞马氏过程布朗运动的转移函数马氏过程布朗运动的转移函数对于布朗运动W(t)而言，由于W(t+s)−W(s)=W(t)∼N(0,t)，因此：r＼（P[W(s+t)≤y|W(s)=x]=P[W(t)≤(y−x)|W(0)=0]r＼（从而：

y−x1−∞= √2πtexp−∞

w2−2t dw1Kt(x,y)=√2πtexp

(y x)2l「 −− 2tl「 −布朗运动的变化形式 布朗运动的变化形式 布朗桥布朗桥的定义1假设W(t)是一个布朗运动，令W∗(t)=W(t)−tW(1), t∈[0,1]则称W∗()为布朗桥Brownianbridg。根据定义不难看出：W∗(0)=W(0)=0, W∗(1)=W(1)−W(1)=0可见，W∗(t)的两个端点是固定的，就如同桥一样，故名布朗桥。布朗桥布朗桥W∗(t)的期望和协方差布朗桥布朗运动的变化形式对于布朗桥W∗(t)，假设0≤s≤t≤布朗桥布朗运动的变化形式E[W∗(t)]=E[W(t)]−E[tW(1)]=E[W(t)]−tE[W(1)]=0Cov[W∗(s)W∗(t)]=E[W∗(s)W∗(t)]=E[W(s)−sW(1)][W(t)−tW(1)]=E[W(s)W(t)]−tE[W(s)W(1)]−sE[W(1)W(t)]+tsE[W2(1)]=s−ts−st+ts=s−ts=s(1−t)金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE52/59布朗桥的定义布朗桥的定义2布朗桥布朗运动的变化形式假设W(t布朗桥布朗运动的变化形式TX(t)=W(t)−tW(T), t∈[0,T]T则称X(t)为布朗桥。此处定义的布朗桥仍然满足X(0)=X(T)=0，可以看作定义1的拓展。不难看出，当T=1时，布朗桥X(t)就变成了W∗(t)。金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE金融数学第二章布朗运动中国人民大学出版社PAGE53/59布朗桥布朗桥X(t)的期望和协方差布朗桥布朗运动的变化形式假设0≤s≤t≤T，可以得到X(t布朗桥布朗运动的变化形式TE