2024-2025学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

-2025学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）下列表情符号中，不是轴对称图形的是A．^^ B．⑨⑨ C． D．2．（2分）下列数据不是勾股数的是A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，12，16 D．9，40，413．（2分）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△的A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点4．（2分）根据下列已知条件，能够画出唯一△的是A．，， B．，， C．，， D．，，5．（2分）如图，南北向的公路上有一点，东西向的公路上有一点，若要在南北向的公路上确定点，使得是等腰三角形，则这样的点最多能确定个．A．2 B．3 C．4 D．56．（2分）如图，已知点、、在同一直线上，△和△都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③△是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）7．（2分）等腰三角形的对称轴是．8．（2分）如图，已知，，请你添加一个条件，使．9．（2分）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为．10．（2分）如图，在△中，边的垂直平分线分别交、于点、，，△的周长为，则△的周长是．11．（2分）如图，在直角三角形中，，，，为△的中线，则的长为．12．（2分）一个三角形三边长为15、20、25，则三角形的面积为．13．（2分）如图，是等边三角形，，，则的度数为．14．（2分）如图，平分，于，于，，，若，则．15．（2分）如图，在△中，于点，于点，、交于点，已知，，则的长为．16．（2分）如图，四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为和，那么的值为．17．（2分）如图，一张矩形纸片，其中，，将纸片沿对角线对折，点落在点的位置，交于点，则的长为．18．（2分）如图，已知，△中，，，△的顶点、分别在、上，点在内部，当点在上运动时，点随之在上运动，△的形状始终保持不变，在运动过程中，点到点的距离最大为．三、解答题（本大题共8小题，共64分）19．（6分）如图，点在上，点在上，，．求证：．20．（8分）如图，为等边三角形，平分交于点，交于点．（1）求证：是等边三角形．（2）求证：．21．（8分）如图，在中，，，为的中点，交的平分线于，于，于交的延长线于．（1）求证：；（2）求的长．22．（6分）利用网格线画图：（1）在上找一点，使点到和的距离相等；（2）在射线上找一点，使．23．（8分）证明：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．已知：．求证：．证明：24．（8分）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．25．（10分）在△中，，点是射线上一动点（不与点、重合），以为边在其右侧作△，使得、，连接．（1）如图①，点在线段上，求证：△△．（2）设，．当点在射线上移动时，探究与之间的数量关系，并说明理由．26．（10分）【新知学习】如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”．【概念理解】（1）下列三个三角形，是智慧三角形的是（填序号）；【灵活应用】（2）如图1，已知线段和直线，用无刻度的直尺和圆规在上找出所有满足条件的点，使得△为“智慧三角形”（不写作法，保留作图痕迹）；【深入探究】（3）如图2，等边三角形边长．若动点以的速度从点出发，沿△的边运动．若另一动点以的速度从点出发，沿边运动，两点同时出发，当点首次回到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，那么为时，△为“智慧三角形”．

参考答案一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）下列表情符号中，不是轴对称图形的是A．^^ B．⑨⑨ C． D．解：，，选项中的表情符号都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；选项中的表情符号不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：．2．（2分）下列数据不是勾股数的是A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，12，16 D．9，40，41解：、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意．故选：．3．（2分）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△的A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点解：根据题意得：当木凳所在位置到、、三个顶点的距离相等时，游戏公平，线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，凳子应放的最适当的位置是在△的三边垂直平分线的交点．故选：．4．（2分）根据下列已知条件，能够画出唯一△的是A．，， B．，， C．，， D．，，解：、已知两边和一角，不能画出唯一△，故本选项不符合题意；、因为，不能构成三角形，故本选项不符合题意；、根据两角和一边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意；、根据，，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；故选：．5．（2分）如图，南北向的公路上有一点，东西向的公路上有一点，若要在南北向的公路上确定点，使得是等腰三角形，则这样的点最多能确定个．A．2 B．3 C．4 D．5解：分为三种情况：①作的垂直平分线交南北公路于一点，此时；②以为圆心，以为半径交南北公路于两点，此时；③以为圆心，以为半径交南北公路于两点点除外，有一点），此时；共点，故选：．6．（2分）如图，已知点、、在同一直线上，△和△都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③△是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④解：点、、在同一直线上，△和△都是等边三角形，，，，，，在△和△中，，△△，，，故①正确；，故②正确；在△和△中，，△△，，，△是等边三角形，故③正确；作于点，于点，，，，点在的平分线上，平分，故④正确，故选：．二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）7．（2分）等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．解：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．故填底边上的高（顶角平分线或底边的中线）．8．（2分）如图，已知，，请你添加一个条件，使．解：添加条件：．，，在和中，，，故答案为：．（答案不唯一）9．（2分）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为10．解：（1）当三边是，，时，，不符合三角形的三边关系，应舍去；（2）当三边是，，时，符合三角形的三边关系，此时周长是；所以这个三角形的周长是．故填10．10．（2分）如图，在△中，边的垂直平分线分别交、于点、，，△的周长为，则△的周长是17．解：边的垂直平分线分别交、于点、，，，△的周长为，，，△的周长，故答案为：17．11．（2分）如图，在直角三角形中，，，，为△的中线，则的长为6.5．解：在直角三角形中，，，，，为△的中线，，故答案为：6.5．12．（2分）一个三角形三边长为15、20、25，则三角形的面积为150．解：，该三角形是直角三角形，其面积．故答案为150．13．（2分）如图，是等边三角形，，，则的度数为．解：是等边三角形，，，，，，，，又，，故答案为：．14．（2分）如图，平分，于，于，，，若，则3．解：平分，，，，，，，即，解得．故答案为：3．15．（2分）如图，在△中，于点，于点，、交于点，已知，，则的长为1．解：于点，于点，，，在△和△中，，△△，，，且，，，，故答案为：1．16．（2分）如图，四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为和，那么的值为46．解：大正方形的面积为25，，，，；故答案为：46．17．（2分）如图，一张矩形纸片，其中，，将纸片沿对角线对折，点落在点的位置，交于点，则的长为．解：四边形是矩形，，，，，四边形是矩形，，，将纸片沿对角线对折，点落在点的位置，，，，，，，，．故答案为：．18．（2分）如图，已知，△中，，，△的顶点、分别在、上，点在内部，当点在上运动时，点随之在上运动，△的形状始终保持不变，在运动过程中，点到点的距离最大为17．解：取的中点，连接、、，，△的顶点、分别在、上，，，，，，，，，且，，的最大值为17，点到点的距离最大为17，故答案为：17．三、解答题（本大题共8小题，共64分）19．（6分）如图，点在上，点在上，，．求证：．【解答】证明：在△和△中，，△△，．20．（8分）如图，为等边三角形，平分交于点，交于点．（1）求证：是等边三角形．（2）求证：．【解答】证明：（1）为等边三角形，．，，．是等边三角形．（2）为等边三角形，．平分，．是等边三角形，．．21．（8分）如图，在中，，，为的中点，交的平分线于，于，于交的延长线于．（1）求证：；（2）求的长．解：（1）如图，连接、，且平分，．为的平分线，，，，在和中，．（2）在和中．．，．，，，，，．22．（6分）利用网格线画图：（1）在上找一点，使点到和的距离相等；（2）在射线上找一点，使．解：（1）如图，点即为所求．（2）如图，点即为所求．23．（8分）证明：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在△中，，．求证：．证明：【解答】已知：如图，在△中，，．求证：．证明：如图，延长到，使得，连接，，，，，，，△是等边三角形，，，．故答案为：如图，在△中，，，．24．（8分）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．解：连接，，，，，，，，，，△是直角三角形，，四边形的面积△的面积△的面积．25．（10分）在△中，，点是射线上一动点（不与点、重合），以为边在其右侧作△，使得、，连接．（1）如图①，点在线段上，求证：△△．（2）设，．当点在射线上移动时，探究与之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：，，，在△和△中，，△△；（2）当点在射线上移动时，探究与之间的数量关系是：或，理由如下：①当点在线段上移动时，由（1）可知：△△，，，在△中，，，即；②当点在的延长线上时，同理可证：△△，，，，，，即．26．（10分）【新知学习】如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”．【概念理解】（1）下列三个三角形，是智慧三角形的是①（填序号）；【灵活应用】（2）如图1，已知线段和直线，用无刻度的直尺和圆规在上找出所有满足条件的点，使得△为“智慧三角形”（不写作法，保留作图痕迹）；【深入探究】（3）如图2，等边三角形边长．若动点以的速度从点出发，沿△的边运动．若另一动点以