高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.2 两角和与差的正、余弦函数教案 北师大版必修4

高中数学第三章三角恒等变换3.2.2两角和与差的正、余弦函数教案北师大版必修4主备人备课成员课程基本信息1.课程名称：两角和与差的正、余弦函数

2.教学年级和班级：高中四年级，数学实验班

3.授课时间：第2学期的第9周，星期三，第1节（08:00-08:45）

4.教学时数：45分钟

课程内容设计：

一、导入（5分钟）

通过回顾上节课所学的内容，即两角和与差的正弦函数公式，自然导入本节课的主题——两角和与差的余弦函数公式。

二、新课内容（25分钟）

1.利用多媒体展示两角和与差的余弦函数公式。

2.引导学生通过小组合作，探讨并证明余弦函数的两角和与差公式。

a.利用课本P102的例题，指导学生理解并应用公式。

b.分组讨论并展示不同的证明方法。

3.解释并演示如何运用这些公式简化计算过程。

三、实例演示（10分钟）

选用北师大版必修4课本P103的练习题2、3，现场演示解题过程，强调公式在实际问题中的应用。

四、课堂练习（5分钟）

让学生独立完成北师大版必修4课本P104的习题1、2，巩固对公式的理解和运用。

五、总结与作业布置（5分钟）

1.对本节课的主要内容进行总结，强调两角和与差余弦公式的记忆与运用。

2.布置课后作业：完成课本P105的习题3、4，并预习下一节内容。

六、课后反思

教师根据学生的课堂表现和学习效果，及时进行课后反思，调整教学方法，以便更好地服务于学生的个性化学习需求。核心素养目标本节课旨在培养学生以下核心素养：

1.数学抽象：通过探索两角和与差的余弦函数公式，提升学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，加深对三角函数变换的理解。

2.逻辑推理：引导学生运用已知的数学定理和公理，通过严密的逻辑推理证明两角和与差的余弦公式，提高学生的推理能力。

3.数学运算：培养学生熟练运用三角恒等变换进行数学运算，解决具体问题，加强计算能力和公式的应用技巧。

4.数学建模：结合具体实例，指导学生构建数学模型，运用所学的三角函数知识解决实际问题，增强学以致用的意识。

5.数据分析：通过课堂练习，让学生分析、比较不同解题方法，培养数据分析能力和优化解题策略的素养。

6.数学思维：鼓励学生在探索和解决问题过程中，发展批判性思维和创新思维，提高解决复杂问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了以下相关知识：基本的三角函数定义、图像和性质；正弦函数的两角和与差公式；同角三角函数的基本关系式。此外，学生还具备一定的代数运算能力和逻辑推理基础，这些都是学习本节课内容的重要基础。

2.学习兴趣、能力和风格：高中四年级学生通常对数学有一定的兴趣，尤其是对逻辑推理和解决问题充满好奇心。他们对数学符号和公式的理解能力较强，喜欢通过具体的例子来理解和掌握抽象概念。学生的学习风格多样，有的喜欢独立思考，有的则更倾向于小组合作和讨论。

学生在数学运算和逻辑推理方面表现出较强的能力，能够通过观察和总结发现数学规律。他们对数学建模和解决实际问题的兴趣也较高，这有助于本节课内容的吸收和应用。

3.学生可能遇到的困难和挑战：两角和与差的余弦公式涉及到的代数变换较为复杂，学生在理解和记忆公式上可能存在困难。此外，将这些公式灵活应用于解决综合性问题时，学生可能会感到挑战性较大。特别是在运用三角恒等变换进行化简和计算时，学生可能会出现运算错误或不知道如何选择合适的变换方法。

另外，部分学生可能在逻辑推理和证明过程中遇到困难，对公式的推导过程不够清晰，需要教师在教学过程中给予更多的引导和解释。对于这些潜在的问题，教师应准备相应的教学策略和辅助材料，以帮助学生克服困难，提高学习效果。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：对于两角和与差的余弦函数公式的推导和理解，采用讲授法进行教学。教师通过清晰的逻辑推理和详细的步骤解释，帮助学生理解公式的来龙去脉，强调公式的重要性和应用场景。同时，结合实际例题，展示公式的具体运用，使学生在听讲中掌握知识要点。

2.讨论法：在推导和证明公式过程中，组织学生进行小组讨论。鼓励学生发表自己的观点，分享不同的证明方法，通过集思广益，提高学生对公式的理解和记忆。此外，针对课堂练习中的问题，引导学生开展讨论，分析错误原因，总结解题技巧。

3.实验法：利用多媒体教学软件（如几何画板、Mathematica等），让学生观察和探索三角函数的图像变化，通过实验发现两角和与差公式的规律。这种方法有助于激发学生的学习兴趣，增强他们对数学知识的直观感受。

教学手段：

1.多媒体设备：运用多媒体课件，展示两角和与差的余弦函数公式、例题和图像，使抽象的数学知识变得形象直观。同时，通过动态演示，帮助学生更好地理解公式推导过程，提高学习效果。

2.教学软件：利用数学软件（如MathType、GeoGebra等）进行公式的编辑、推导和演示，提高课堂效率。此外，通过教学软件，设计互动性强、富有挑战性的课堂练习，让学生在课堂上实时反馈，增强教学互动性。

3.网络资源：结合网络资源，如在线教育平台、数学论坛等，为学生提供丰富的学习资料和拓展知识。引导学生利用网络资源开展自主学习，培养他们的信息素养和自主学习能力。

在教学过程中，将以上教学方法和手段相结合，注重激发学生的学习兴趣，调动他们的学习主动性。具体实施如下：

1.导入阶段：通过多媒体课件展示上节课所学内容，引导学生回顾正弦函数的两角和与差公式，为新课内容的学习做好铺垫。

2.新课内容阶段：结合讲授法和讨论法，教师讲解两角和与差的余弦函数公式，并组织学生进行小组讨论。在此过程中，利用多媒体课件和教学软件，展示公式推导过程和例题解析。

3.实例演示阶段：运用多媒体设备，现场演示解题过程，让学生直观地看到公式在实际问题中的应用。

4.课堂练习阶段：利用教学软件，设计具有针对性的习题，让学生在课堂上实时练习。同时，组织学生进行小组讨论，分析解题方法，提高课堂互动性。

5.课后拓展阶段：推荐网络资源，引导学生开展自主学习，拓宽知识视野。教学流程1.导入新课（用时5分钟）

课程开始时，通过多媒体展示上节课学过的正弦函数的两角和与差公式，引导学生回顾相关知识点，并提出问题：“我们已经学习了正弦函数的两角和与差公式，那么余弦函数的两角和与差公式又是怎样的呢？”从而激发学生的好奇心，顺利导入新课。

2.新课讲授（用时15分钟）

（1）教师首先介绍两角和与差的余弦函数公式，通过具体的例子和图形，解释公式中的各个参数，让学生对公式有初步的认识。

（2）接着，引导学生通过小组合作，利用已知的三角恒等式和数学性质，共同推导出两角和与差的余弦公式。在此过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问。

（3）针对推导过程中涉及的难点，如公式的化简和变形，教师进行详细讲解，并通过多媒体演示，让学生直观地理解推导过程。

3.实践活动（用时10分钟）

（1）教师设计一组有关两角和与差余弦公式的计算题，要求学生在规定时间内完成，以检验学生对公式的掌握程度。

（2）学生利用数学软件（如GeoGebra）绘制两角和与差余弦函数的图像，观察并分析图像特征，进一步理解公式。

（3）挑选几名学生代表，展示他们的计算过程和图像分析，让其他学生借鉴和学习。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

（1）针对课堂练习中的难题，组织学生进行小组讨论。引导学生从以下三个方面展开讨论：

a.公式的选择：在面对具体问题时，如何选择合适的余弦公式进行求解？

b.计算技巧：在运用余弦公式进行计算时，有哪些简化运算的技巧？

c.解题策略：对于不同类型的问题，如何灵活运用余弦公式解决问题？

（2）各小组针对讨论问题，给出具体的解答实例，并分享解题心得。

（3）教师对小组讨论结果进行点评，总结解题方法和技巧。

5.总结回顾（用时5分钟）

在课程结束时，教师带领学生回顾本节课所学内容，强调两角和与差余弦公式的推导过程、应用场景和注意事项。同时，提醒学生课后加强练习，巩固所学知识。拓展与延伸1.拓展阅读材料：

-《三角函数及其应用》：介绍三角函数在现实生活中的应用，包括物理学、工程学、地理学等领域。

-《数学史中的三角学》：回顾三角学的发展历程，了解历史上数学家们在三角函数研究方面的贡献。

-《三角函数的图像与性质》：深入探讨三角函数的图像特点及其与性质之间的关系，拓展对三角函数的理解。

2.课后自主学习和探究：

-研究三角函数的周期性和对称性，探讨它们在解决实际问题中的应用。

-学习三角函数的级数展开，了解其在数值计算和近似计算中的应用。

-探索两角和与差公式的推广，如三角和与差公式、多角和与差公式等，并尝试进行证明。

-通过实际案例，如测量角度、计算物体的高度等，应用三角函数解决实际问题。

-结合物理学的振动和波动现象，理解三角函数在描述周期性变化中的作用。

-研究三角函数在信号处理和频谱分析中的应用，如音频信号处理、图像处理等。教学评价与反馈1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答的积极性和准确性，以及课堂练习的完成情况。这些表现将作为评价学生学习态度和课堂学习效果的重要依据。

2.小组讨论成果展示：评估各小组在讨论过程中的合作程度、解题思路的合理性以及最终展示的清晰度。通过这一环节，了解学生在团队合作中的贡献和问题解决能力。

3.随堂测试：设计一份涵盖本节课重点内容的测试题，包括选择题、填空题和解答题，以检验学生对两角和与差余弦公式的掌握程度。测试结果将直接反映学生的学习成效。

4.课后作业：布置与课堂学习内容相关的作业，要求学生在课后独立完成。通过作业的批改，了解学生对课堂所学知识的巩固情况，以及他们在自主学习中遇到的问题。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂表现、小组讨论、随堂测试和课后作业中的表现，给予及时的反馈。教师的评价应具体、具有指导性，旨在帮助学生认识到自己的优点和不足，促进他们在后续学习中的改进。

具体实施如下：

1.课堂表现评价（用时5分钟）：

-教师在课堂上观察学生的行为和反应，记录他们在提问和练习中的表现。

-对积极参与、正确回答问题的学生给予表扬，对表现欠佳的学生给予鼓励和指导。

2.小组讨论成果展示评价（用时5分钟）：

-教师在小组展示时，关注学生的表达能力和解题思路。

-对表现优秀的小组给予肯定，对存在的问题提出改进建议。

3.随堂测试评价（用时5分钟）：

-教师在课堂结束时发放测试题，要求学生在规定时间内完成。

-收集测试卷，及时批改并给予反馈，让学生了解自己的学习成果。

4.课后作业评价（课后时间）：

-教师在课后批改作业，记录学生的错误类型和常见问题。

-在下一节课开始时，对作业情况进行总结，针对普遍问题进行讲解。

5.教师评价与反馈（用时5分钟）：

-教师在课后对学生的整体表现进行评价，总结本次课程的优点和不足。

-将评价结果以书面或口头形式反馈给学生，鼓励他们不断进步。板书设计1.重点知识点：

-两角和与差的余弦函数公式

-余弦函数图像与性质

-公式的推导与应用

2.重点词句：

-余弦公式：cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB

-公式推导：利用同角三角函数关系式和两角和的正弦公式

-应用场景：计算