陕西省咸阳市乾县2024−2025学年高二上学期10月阶段检测数学试卷含答案

陕西省咸阳市乾县2024−2025学年高二上学期10月阶段检测数学试卷一、单选题（本大题共9小题）1．已知全集，，，则（

）A． B．C． D．2．已知，，则（

）A． B． C． D．3．若椭圆满足，则该椭圆的离心率（

）A． B． C． D．4．若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（

）A．1 B．1或3 C．9 D．1或95．向量，，则（

）A． B．C．与的夹角为60° D．与的夹角为6．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．7．集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（

）A． B． C． D．8．如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（

）

A．－ B．C．－ D．9．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）10．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能成为的充分条件的是（

）A．① B．② C．③ D．④11．若数据，，和数据，，的平均数、方差、极差均相等，则（

）A．数据，，，，，与数据，，的平均数相等B．数据，，，，，与数据，，的方差相等C．数据，，，，，与数据，，的极差相等D．数据，，，，，与数据，，的中位数相等12．如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（

）

A．三棱锥的体积为定值 B．直线平面C．当时， D．直线与平面所成角的正弦值为三、填空题（本大题共3小题）13．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是．14．已知点是直线上一点，则的最小值为．15．若向量，且，则的值为四、解答题（本大题共5小题）16．在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.

(1)求直线的方程；(2)求直线的方程及点的坐标.17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)若，，求的面积.18．已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.(1)设直线，的斜率分别为，，证明：；(2)设线段AB的中点为N，求的取值范围.19．图1是棱长为2的正方体，，，，分别是，，，的中点，截去三棱柱和三棱柱得到如图2的四棱柱，，分别是，的中点，过点，，的平面交于点．(1)求线段的长；(2)求平面与平面夹角的余弦值．20．已知函数.（1）求函数的定义域；（2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

参考答案1．【答案】D【详解】因为全集，，所以，又因为，.故选：D.2．【答案】A【详解】由诱导公式得，又由，可得．故选：A.3．【答案】B【详解】椭圆满足，则该椭圆的离心率.故选：B.4．【答案】C【详解】根据右焦点坐标为，可得，且焦点在轴上，故，故选：C5．【答案】B【解析】由题意求出两向量的数量积，即可判断两向量的位置关系.【详解】∵向量，，∴，∴.故选：B.6．【答案】B【详解】设，，由中点坐标公式得，所以，故，因为A在圆上运动，所以，化简得，故B正确.故选：B7．【答案】B【详解】从A，B中各任意取一个数相加，有种情况，当直线，则，则，当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，所以满足条件的有4种情况，所以满足条件的概率.故选：B8．【答案】B【详解】设正方体棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B­xyz，则M，N，.解法一

取MN的中点G，连接BG，AG，则G.因为为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB为两平面夹角或其补角．又因为，，所以，，设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，则.故所求两平面夹角的余弦值为.

解法二

设平面AMN的法向量由于，，则，即，令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是，同理可求得平面BMN的一个法向量.所以，设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，则.故所求两平面夹角的余弦值为.故选：B.9．【答案】A【详解】因为三棱锥为鳖臑，平面，在中，，过做垂足为，则，即，所以，因为，，在中，，所以，则，又平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，所以中，，过作，，即，可得，则过作，因为是AD中点，所以，所以动点在内（含边界）的轨迹为以为圆心以为半径的半圆，则点的轨迹长度为.故选：A.10．【答案】AD【详解】①由”可知，所以，故；②当时，；当时，，故，不能推出；③由，得，但不能推出，故不能推出；④．故选：AD．11．【答案】ABC【详解】设数据的平均数为，数据的平均数也为.那么数据的平均数为，所以数据与数据的平均数相等，A选项正确.设数据的方差为，数据的方差也为.对于数据，其方差计算为,所以数据与数据的方差相等，B选项正确.设数据的极差为，数据的极差也为.对于数据，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是，所以数据与数据的极差相等，C选项正确.设数据按从小到大排列为，中位数为.设数据按从小到大排列为，中位数为.对于数据按从小到大排列后，中位数不一定是，所以数据与数据的中位数不一定相等，D选项错误.故选：ABC12．【答案】AD【详解】

对于A，如图1，因,故A正确；

对于B，如图2建立空间直角坐标系，则,于是，，设平面的法向量为，则，故可取，由知与不垂直，故直线与平面不平行，即B错误；对于C，由上图建系，则,,因P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点,不妨设，则，，由题意，，即，于是，此时，故与不垂直，即C错误；对于D，由图知平面的法向量可取为，因，设直线与平面所成角为，则，故D正确.故选：AD.13．【答案】【解析】设点，连接交于，可写出的坐标，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x,y的关系式，即顶点的轨迹方程.【详解】设点，如图连接交于，由矩形可知为的中点，，连接，在直角中，，则即，整理得，所以顶点的轨迹方程是故答案为：14．【答案】5【详解】设点关于直线的对称点，则，解得，故，故,故最小值为：515．【答案】1【详解】因为向量，所以，，又，所以，，解得.故答案为：.16．【答案】(1)(2)直线的方程为：，【详解】（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为，与互相垂直，直线的斜率为，结合，可得的点斜式方程：，化简整理，得，即为所求的直线方程．（2）由和联解，得由此可得直线方程为：，即，，关于角平分线轴对称，直线的方程为：，直线方程为，将、方程联解，得，，因此，可得点的坐标为．17．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，，又代入上式得，所以，由，则为锐角，且，所以.（2）由（1）知，，因为，，所以，则，，故，或（舍去）.所以，又，，由正弦定理得，则，则，由余弦定理得，则，化简得，解得，所以.故的面积为.18．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题意知，直线l的斜率存在，设点Ax1,y1，B由得，，，.由，得切点，，则切线的方程为，代入，得，所以，解得，同理，得切线的斜率，所以.（2）由（1）可得，故，.由（1）得，可化为，①同理得，②由①②，得，，即，则.，所以.由，，得，故，即的取值范围为.19．【答案】(1)(2)．【详解】（1）方法一：在图1中延长与相交于，延长与相交于，延长与相交于，连接交于，如图所示，由∽，得，求得．方法二：在图1中过点作的平行线交于点，连接交于点，如图所示，易知．（2）在图2中，以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，平面即平面，则，设面的法向量，有，令，则，，设面的法向量为，有，令，则，．则面与面的夹角的余弦值是．20．【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【详解】（1）由题意，函数有意义，则满足，解得，即函数的定义域为.