江西省多校2024−2025学年高二上学期10月月考 数学试题含答案

江西省多校2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．下列直线中，倾斜角最小的是（

）A． B．C． D．2．已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（

）A． B．C． D．3．若方程表示椭圆，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．4．若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（

）A．5 B．1 C． D．5．已知，，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．6．点关于直线对称的点的坐标为（

）A． B．C． D．7．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（

）A． B．C． D．8．已知P是圆C：上一动点，若直线l：上存在两点A，B，使得能成立，则线段的长度的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，，，且四边形是平行四边形，则（

）A．直线的方程为B．是直线的一个方向向量C．D．四边形的面积为310．若直线与曲线恰有一个交点，则k的值可能为（

）A．0 B． C．2 D．11．已知，，P是圆O：上的一个动点，则下列结论正确的是（

）A．过点B且被圆O截得最短弦长的直线方程为B．直线与圆O总有两个交点C．过点A作两条互相垂直的直线，分别交圆O于点E，G和F，H，则四边形的面积的最小值为97D．的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为.13．已知，直线l：，过点A作l的垂线，垂足为B，则点B到x轴的距离的最小值为.14．在某城市中，F地位于E地的正南方向，相距2km；Q地位于E地的正东方向，相距1km.现有一条沿湖小径（曲线），其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台，经测算从P到F，Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km，则修建两条观景步道的总费用最低是万元.四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线l：.(1)若l在两坐标轴上的截距相反，求a的值；(2)若直线m：，且，求l与m间的距离.16．已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点.(1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程；(2)若，的面积为4，求b的值.17．已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线截得的弦长为.(1)求圆M的标准方程；(2)若过点的直线l与圆M相切，求直线l的方程.18．已知A，B分别是椭圆C：（）的上、下顶点，M是椭圆C上一动点.(1)若直线，的斜率之积为，且椭圆C的短轴长为，求椭圆C的方程；(2)若P是圆上一动点，且，求椭圆C的离心率的取值范围，19．定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”(1)求点P所在曲线的方程.(2)已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.（ⅰ）求直线的方程.（ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案1．【答案】D【详解】由倾斜角的范围，可知斜率为正时倾斜角小于斜率为负时的倾斜角，故排除AC，B中直线斜率为，D中直线斜率为，由正切函数的单调性及知，的倾斜角最小.故选：D2．【答案】A【详解】因为圆经过点，将点代入圆的方程可得：.即，所以，则圆的方程为.对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.：根据斜率公式，这里，，则.因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则.已知，所以切线的斜率.又因为切线过点，根据点斜式方程（这里），可得切线方程为.整理得.故选：A.3．【答案】D【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得，故选：D.4．【答案】C【详解】因为点在圆C：的外部，所以，解得，又方程表示圆，则，即，所以，结合选项可知，m的取值可以为.故选：C5．【答案】B【详解】，，由图象可知：直线l的斜率的取值范围为.故选：B.

6．【答案】A【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得，故选：A7．【答案】C【详解】圆：和：的圆心、半径分别为，由可知圆内含于圆内，设动圆半径为,由题意，，,两式相加可得,故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，所以，所以椭圆方程为.故选：C8．【答案】A【详解】由圆得圆心,半径.因为直线上存在两点，使得恒成立，则以为直径的圆与圆有交点，当长度最小时，两圆外切，且两圆圆心所在直线与垂直，如图，

因为圆心到直线的距离，所以，故选：A9．【答案】ABD【详解】设，由四边形是平行四边形，可得，即，解得：，所以，，直线的方程为，即，故A正确；，所以是直线的一个方向向量，故B正确；，故C错误；到直线的距离，所以四边形的面积为，故D正确.故选：ABD.10．【答案】BD【详解】直线恒过定点，由可得，如图，由解得或（舍去），即,由，可得,由图可知，或时，直线与半圆恰有1个交点.故选：BD11．【答案】ABD【详解】如图，因为，圆O：，所以在圆内，当弦与垂直时，所截得的弦长最短，此时最短弦所在的直线方程为，A正确；由直线可得，故直线恒过点，由知点在圆内，所以直线与圆O总有两个交点，B正确；记点O到直线的距离分别为，则，又，，所以，即,则四边形的面积，即四边形的面积的最大值，C错误；当点P在轴上时，，当点P不在轴上时，设外接圆的圆心为，半径为，由正弦定理得，则，当外接圆的半径最小，即外接圆与圆O内切时，最大，由题意在的中垂线上，可设其坐标为，则，因为圆M与圆O内切，所以圆心距等于半径之差，则，化简后可得，即的最小值为，此时最大，最大值为，D正确.故选：ABD12．【答案】/【详解】因为当时，代入椭圆方程可得，所以，不妨设在第一象限，则，因为为直角三角形，由椭圆的对称性知，，所以，故，即，可得，解得或（舍去），所以椭圆M的长轴长为.故答案为：13．【答案】/【详解】由可得，由解得，即直线过定点，连接，则中点，因为，所以B在以为圆心，半径为的圆上，如图，圆的方程为，则圆心到轴的距离，所以点B到x轴的距离的最小值为.故答案为：14．【答案】15【详解】以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示的直角坐标系.设Р为沿湖小径上的任意一点，则，根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆.所以，则点P的轨迹方程为，由题意，修建两条观景步道的总费用为，由图形可知，当三点共线且在之间时，即运动到处时，总费用最低，最低为.故答案为：1515．【答案】(1)(2)【详解】（1）令，则，令，则，所以，解得.（2）因为，所以，解得，则的方程为，即，则l与m间的距离.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得.又因为，，，所以.所以椭圆的标准方程为.（2）因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，.由勾股定理可得.又，即.在椭圆中有，将变形为，即，解得.17．【答案】(1)(2)或【详解】（1）因为圆心在轴的负半轴上，所以设圆：又圆与轴相切，所以，即.圆心到直线的距离为,所以，解得，则.故圆的标准方程为.（2）由（1）知，圆心为，因为，所以点在圆外，过圆外一点作圆的切线，其切线有2条.①当的斜率存在时，设的方程为，即，则圆心M到的距离，解得，此时的方程为.②当的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为2，所以直线与圆M相切.综上，的方程为或.18．【答案】(1)(2)【详解】（1）易知，设点，则，即，直线的斜率之积，又椭圆C的短轴长为，即，所以，故椭圆C的方程为（2）圆可化为，则圆心为，半径为，由是圆上一动点，且，可得，如图，

设，则，所以，当，即时，，即，符合题意，由，可得，即；当即时，，即，化简得，所以，这与矛盾，不符合题意.综上，椭圆C的离心率的范围为19．【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）存在，【详解】（1）因为点P为圆A的“黄金点”，所以，即，所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，故点P所在曲线的方程为（2）（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则所以，即点P在圆上，则P是圆和的交点.因为P，Q均为圆“”的