人教A版高中数学选修2-1测试题卷（全套）及答案

...wd......wd......wd...高中数学选修2-1测试题全套及答案一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．给出命题：“假设x2＋y2＝0，则x＝y＝0〞，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0个B．1个C．2个 D．3个2．假设命题p∨q与命题都是真命题，则 ()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假一样设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．假设命题p：∀x∈A，2x∈B，则〔〕A．p：∀x∈A，2x∉BB．p：∀x∉A，2x∉BC．p：∃x0∉A，2x0∈B D．p：∃x0∈A，2x0∉B4．命题“假设f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数〞的否命题是()A．假设f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．假设f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．假设f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．假设f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数5．设U为全集，A,B是集合，则“存在集合使得是“〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件命题“假设△ABC有一内角为eq\f(π,3)，则△ABC的三内角成等差数列〞的逆命题〔〕A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题7．假设“0＜x＜1〞是“(x－a)[x－(a＋2)]≤0〞的充分不必要条件，则实数a的取值范围是〔〕A．(－∞，0]∪[1，＋∞) B．(－1，0)C．[－1，0] D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)8．命题p：假设a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：假设函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．以下说法中正确的选项是()A．“p∨q〞是真命题B．“p∧q〞是假命题C．p为假命题D．q为假命题9．以下命题中是假命题的是()A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβB．对任意x>0，有lg2x＋lgx＋1>0C．△ABC中，A>B的充要条件是sinA>sinBD．对任意φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数10．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是〔〕A．a>b＋1B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b311．A：，B：，假设A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．(4，+∞)B．[4，+∞)C．(-∞，4]D．(-∞，-4)12．命题p:不等式(x-1)(x-2)>0的解集为A，命题q:不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集为B，假设p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．(－2，－1] B．[－2，－1]C．[－3,1] D．[－2，＋∞)二、填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在题中横线上〕13假设关于x的不等式|x－m|＜2成立的充分不必要条件是2≤x≤3，则实数m的取值范围是________．14．假设命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0〞是真命题，则实数a的取值范围是________．15．关于x的方程x2－(2a－1)x＋a2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的a的取值范围是________．16．给出以下四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，假设a＋b≠6，则a≠3或b≠3〞是一个假命题；③“x>2〞是“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)〞的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．17．命题p：∀x∈[1,2]都有x2≥a．命题q：∃x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0成立，假设命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________．18．如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则丁是甲的__________条件．三、解答题〔本大题共6小题，共60分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔10分〕命题p:假设则二次方程没有实根.(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假,并证明你的结论.20．〔10分〕集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，假设命题“A∩B＝〞是假命题，求实数m的取值范围．21．〔10分〕P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，假设存在，求出m的范围；假设不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，假设存在，求出m的范围；假设不存在，请说明理由．22．〔10分〕c>0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx在R上单调递减；命题q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上为增函数，假设命题p∧q为假，命题p∨q为真，求实数c的取值范围．23．〔10分〕命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2a≤0，假设命题p∨q是假命题，求a的取值范围．24．〔10分〕数列{an}的前n项和为Sn，数列{eq\r(Sn＋1)}是公比为2的等比数列．证明：数列{an}成等比数列的充要条件是a1＝3.参考答案选择题1.D2.B3.D4.B5.C6.D7.C8.B9.D10.A11.D12.A提示：1．逆命题为：假设x＝y＝0，则x2＋y2＝0，是真命题．否命题为：假设x2＋y2≠0，则x≠0或y≠0，是真命题．逆否命题为：假设x≠0或y≠0，则x2＋y2≠0，是真命题．2．“〞为真命题，则命题p为假，又p或q为真，则q为真，应选B.21世纪教育网3．由命题的否认的定义及全称命题的否认为特称命题可得．命题p是全称命题：∀x∈A，2x∈B，则p是特称命题：∃x0∈A，2x0∉B.应选D.4．原命题的否命题是既否认题设又否认结论，故“假设f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数〞的否命题是B选项．育网版权所有5．6．原命题显然为真，原命题的逆命题为“假设△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为eq\f(π,3)〞，它是真命题．7．(x－a)[x－(a＋2)]≤0⇒a≤x≤a＋2，由集合的包含关系知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤0，,a＋2≥1，))⇒a∈[－1，0]．2·1·c·n·j·y8．因为当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，所以命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x＋2，x>0，))综上可知，“p或q〞是假命题.9．对于A，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tanα＋tanβ，因此选项A是真命题；对于B，注意到lg2x＋lgx＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lgx＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，因此选项B是真命题；对于C，在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB(其中R是△ABC的外接圆半径)，因此选项C是真命题；对于D，注意到当φ＝eq\f(π,2)时，y＝sin(2x＋φ)＝cos2x是偶函数，因此选项D是假命题.10.a>b＋1⇒a－b>1>0⇒a>b，但a＝2，b＝1满足a>b，但a＝b＋1，故A项正确．对于B，a>b－1不能推出a>b，排除B；而a2>b2不能推出a>b，如a＝－2，b＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C项错误；a>b⇔a3>b3，它们互为充要条件，排除D.11．由题知，当时，，假设A是B的充分不必要条件，则有且，故有，即；当时，B=，显然不成立；当时，，不可能有，故.12.不等式〔x-1〕〔x-2〕>0，解得x>2或x<1，所以A为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x2＋(a－1)x－a>0可以化为(x－1)(x＋a)>0，当－a≤1时，解得x>1或x<－a，即B为(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此时a＝－1；当－a>1时，不等式(x－1)(x＋a)>0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此时－a<2，即－2<a<－1.综合知－2<a≤－1.二、填空题13.(1，4)14.[－8,0]15.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(9,4)))16.①②17.(－∞，－2]∪{1}18.充分不必要提示：13．由|x－m|＜2得－2＜x－m＜2，即m－2＜x＜m＋2.依题意有集合{x|2≤x≤3}是{x|m－2＜x＜m＋2}的真子集，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2＜2,m＋2＞3))，由此解得1＜m＜4，即实数m的取值范围是(1，4)．14．由题意知，x为任意实数时，都有ax2－ax－2≤0恒成立．当a＝0时，－2≤0成立．当a≠0时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＝a2＋8a≤0))得－8≤a＜0，所以－8≤a≤0.15.设方程的两根分别为x1，x2，当有一个非负实根时，x1x2＝a2－2≤0，即－eq\r(2)≤a≤eq\r(2)；当有两个非负实根时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝〔2a－1〕2－4〔a2－2〕≥0，,x1＋x2＝2a－1＞0，,x1x2＝a2－2≥0))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a≤9，,a＞\f(1,2)，,a≤－\r(2)或a≥\r(2).))即eq\r(2)≤a≤eq\f(9,4).综上，得－eq\r(2)≤a≤eq\f(9,4).16.①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，假设a＝3且b＝3，则a＋b＝6〞，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③eq\f(1,x)<eq\f(1,2)，则eq\f(1,x)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－x,2x)<0，解得x<0或x>2，所以“x>2〞是“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)〞的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性一样，故④正确．17.假设p是真命题，即a≤(x2)min，x∈[1,2]，所以a≤1；假设q是真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有解，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.命题“p且q〞是真命题，则p是真命题，q也是真命题，故有a≤－2或a＝1.三、解答题19.解：(1)命题p的否命题为:假设则二次方程有实根.(2)命题p的否命题是真命题.证明如下:所以二次方程有实根.故该命题是真命题.20.解：因为“A∩B＝∅〞是假命题，所以A∩B≠∅.设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，则U＝{m|m≤－1或m≥eq\f(3,2)}．假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m∈U，,x1＋x2≥0，,x1x2≥0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m∈U，,4m≥0，,2m＋6≥0))⇒m≥eq\f(3,2).又集合{m|m≥eq\f(3,2)}关于全集U的补集是{m|m≤－1}，所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．21.解：(1)不存在.由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，因为x∈P是x∈S的充要条件，所以P＝S，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,m＝9，))这样的m不存在．存在.由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以m≤3.又1+m≥1-m,所以m≥0.综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．22.解：因为函数y＝cx在R上单调递减，所以0<c<1.即p：0<c<1，因为c>0且c≠1，所以p：c>1.又因为f(x)＝x2－2cx＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上为增函数，所以c≤eq\f(1,2).即q：0<c≤eq\f(1,2)，因为c>0且c≠1，所以q：c>eq\f(1,2)且c≠1.又因为“p或q〞为真，“p且q〞为假，所以p真q假或p假q真．①当p真，q假时，{c|0<c<1}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c\a\vs4\al(|)c>\f(1,2)且c≠1))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c\a\vs4\al(|)\f(1,2)<c<1)).②当p假，q真时，{c|c>1}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c\a\vs4\al(|)0<c≤\f(1,2)))＝∅.综上所述，实数c的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c\a\vs4\al(|)\f(1,2)<c<1)).23.解：由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0,所以x＝eq\f(a,2)或x＝－a，所以当命题p为真命题时eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))≤1或|－a|≤1，所以|a|≤2.又“只有一个实数x0满足不等式xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2a≤0〞，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，所以Δ＝4a2－8a＝0，所以a＝0或a＝2.所以当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.所以命题“p或q〞为真命题时，|a|≤2.因为命题“p或q〞为假命题，所以a>2或a<－2.即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．24.证明:因为数列{eq\r(Sn＋1)}是公比为2的等比数列，所以eq\r(Sn＋1)＝eq\r(S1＋1)·2n－1，即Sn＋1＝(a1＋1)·4n－1.因为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1，n＝1，,3〔a1＋1〕·4n－2，n≥2，))显然，当n≥2时，eq\f(an＋1,an)＝4.①充分性：当a1＝3时，eq\f(a2,a1)＝4，所以对n∈N*，都有eq\f(an＋1,an)＝4，即数列{an}是等比数列．②必要性：因为{an}是等比数列，所以eq\f(a2,a1)＝4，即eq\f(3〔a1＋1〕,a1)＝4，解得a1＝3.综上，数列{an}成等比数列的充要条件是a1＝3.第二章圆锥曲线与方程测试题一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，那么抛物线的方程是〔〕A．y2＝－16xB．y2＝12xC．y2＝16xD．y2＝－12x2．设F1，F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点．假设点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝〔〕A．5B．3C．7D．3或73．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，F1，F2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M到F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|的长为〔〕A．1B．2C．3D．44．“2<m<6〞是“方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1〔a>0，b>0〕的焦距为4，一个顶点是抛物线y2＝4x的焦点，则双曲线的离心率e等于〔〕A．2B．eq\r(3)C．eq\f(3,2)D．eq\r(2)6．点A〔3，4〕，F是抛物线y2＝8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|AM|＋|MF|最小时，M点坐标是〔〕A．〔0，0〕B．〔3，2eq\r(6)〕C．〔3，－2eq\r(6)〕D．〔2，4〕7．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1〔a>0，b>0〕的离心率为eq\f(\r(5),2)，则椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的离心率为〔〕A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(2),2)8．设F1，F2是双曲线x2－eq\f(y2,24)＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于〔〕A．4eq\r(2)B．8eq\r(3)C．24D．489．点A〔1，2〕是抛物线C：y2＝2px与直线l：y＝k〔x＋1〕的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l的距离是〔〕A．eq\f(\r(2),2)B．eq\r(2)C．eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)10．假设点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为〔〕A．6B．3C．2D．811．以F1〔－2，0〕，F2〔2，0〕为焦点的椭圆与直线x＋eq\r(3)y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为〔〕A．3eq\r(2)B．2eq\r(6)C．2eq\r(7)D．eq\r(7)12．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1〔a>0，b>0〕的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线交双曲线的左、右支分别于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为〔〕A．y=±3xB．y=±2xC．y=±〔1+〕xD．y=±〔－1〕x二、填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在题中横线上〕13．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是＿＿＿＿＿．14．中心在原点，焦点在x轴上，假设长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是＿＿＿＿＿．15．假设点P在曲线C1：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，点Q在曲线C2：〔x－5〕2＋y2＝1上，点R在曲线C3：〔x＋5〕2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是＿＿＿＿＿．16．点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A〔eq\f(7,2)，4〕，则|PA|＋|PM|的最小值是＿＿＿＿＿．17．F1为椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A、B两点，则|F1A|＋|F1B|的值为＿＿＿＿＿．18．过抛物线y2=2px〔p>0〕的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在y轴上的正射影分别为D，C，假设梯形ABCD的面积为10，则p=＿＿＿＿＿．三、解答题〔本大题共6小题，共60分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔10分〕双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线方程．20．〔10分〕点P〔3，4〕是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a＞b＞0〕上的一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，假设PF1⊥PF2．试求：〔1〕椭圆的方程；〔2〕△PF1F2的面积．21．〔10分〕抛物线y2＝2px〔p>0〕有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为5eq\r(13)，求此抛物线方程．22．〔10分〕抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点〔AB不垂直于x轴〕，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q〔6，0〕，求此抛物线的方程．23．〔10分〕设双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1〔a>0〕与直线l：x＋y＝1相交于两点A、B．〔1〕求双曲线C的离心率e的取值范围；〔2〕设直线l与y轴的交点为P，且eq\o(PA,\s\up10(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up10(→))，求a的值．24．〔10分〕椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a>b>0〕的离心率为eq\f(\r(6),3)，且经过点〔eq\f(3,2)，eq\f(1,2)〕．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过点P〔0，2〕的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB〔O为原点〕面积的最大值．参考答案一、选择题1．C2．D3．D4．B5．A6．D7．C8．C9．B10．A11．C12．C提示：1．由题设知直线3x－4y－12＝0与x轴的交点〔4，0〕即为抛物线的焦点，故其方程为y2＝16x．2．因为双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝7或3．3．由题意知|MF2|＝10－|MF1|＝8，ON是△MF1F2的中位线，所以|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝4．4．假设eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))所以2<m<6且m≠4，故2<m<6是eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆的必要不充分条件．5．依题意，得c＝2，a＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝2．6．由题知点A在抛物线内．设M到准线的距离为|MK|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，当|MA|＋|MK|最小时，M点坐标是〔2，4〕．7．因为在双曲线中，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，在椭圆中，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，所以椭圆的离心率e＝eq\f(\r(3),2)．8．由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝eq\f(1,2)×6×8＝24．9．将点〔1，2〕代入y2＝2px中，可得p＝2，即得抛物线y2＝4x，其焦点坐标为〔1，0〕，将点〔1，2〕代入y＝k〔x＋1〕中，可得k＝1，即得直线x－y＋1＝0，所以抛物线C的焦点到直线l的距离d＝eq\f(|1－0＋1|,\r(2))＝eq\r(2)．10．由椭圆方程得F〔－1，0〕，设P〔x0，y0〕，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝〔x0，y0〕·〔x0＋1，y0〕＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋yeq\o\al(2,0)，因为P为椭圆上一点，所以eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋3〔1－eq\f(x\o\al(2,0),4)〕＝eq\f(x\o\al(2,0),4)＋x0＋3＝eq\f(1,4)〔x0＋2〕2＋2，因为－2≤x0≤2，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6．11．根据题意设椭圆方程为eq\f(x2,b2＋4)＋eq\f(y2,b2)＝1〔b>0〕，则将x＝－eq\r(3)y－4代入椭圆方程，得4〔b2＋1〕y2＋8eq\r(3)b2y－b4＋12b2＝0，因为椭圆与直线x＋eq\r(3)y＋4＝0有且仅有一个交点，所以Δ＝〔8eq\r(3)b2〕2－4×4〔b2＋1〕〔－b4＋12b2〕＝0，即〔b2＋4〕·〔b2－3〕＝0，所以b2＝3，长轴长为2eq\r(b2＋4)＝2eq\r(7)．12．根据双曲线的定义有|CF1|－|CF2|=2a，而|BC|=|CF2|，那么2a=|CF1|－|CF2|=|CF1|－|BC|=|BF1|，而又由双曲线的定义有|BF2|－|BF1|=2a，可得|BF2|=4a，由于过F1作圆x2+y2=a2的切线交双曲线的左、右支分别于点B、C，那么sin∠BF1F2=，那么cos∠BF1F2=，根据余弦定理有cos∠BF1F2==，整理有b2－2ab－2a2=0，即〔〕2－2－2=0，解得=1+〔=1－<0舍去〕，故双曲线的渐近线方程为y=±x=±〔1+〕x．二、填空题13．eq\f(1,8)14．eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝115．1016．eq\f(9,2)17．eq\f(8\r(2),3)18．3提示：13．由x2＝eq\f(1,4)y知，p＝eq\f(1,8)，所以焦点到准线的距离为p＝eq\f(1,8)．14．依题意知：2a＝18，所以a＝9，2c＝eq\f(1,3)×2a，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝81－9＝72，所以椭圆方程为eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1．15．依题意得，点F1〔－5，0〕、F2〔5，0〕分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|〔|PF2|＋1〕－〔|PF1|－1〕|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．16．设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F〔eq\f(1,2)，0〕，又点A〔eq\f(7,2)，4〕在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－eq\f(1,2)，则|PM|＝d－eq\f(1,2)，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥eq\f(9,2)．17．设点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝x－1，))消去y整理得3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(4,3)，易得点A〔0，－1〕、B〔eq\f(4,3)，eq\f(1,3)〕．又点F1〔－1，0〕，因此|F1A|＋|F1B|＝eq\r(12＋－12)＋eq\r(\f(7,3)2＋\f(1,3)2)＝eq\f(8\r(2),3)．18．由抛物线y2=2px〔p>0〕得其焦点F〔，0〕，直线AB的方程为y=〔x－〕，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕〔假定x2>x1〕，由题意可知y1<0，y2>0，联立，整理有y2－2py－p2=0，可得y1+y2=，y1y2=－p2，则有x1+x2=，而梯形ABCD的面积为S=〔x1+x2〕〔y2－y1〕==10，整理有p2=9，而p>0，故p=3．三、解答题19．解：设双曲线的方程为42·x2－32·y2＝λ〔λ≠0〕，从而有〔eq\f(\r(|λ|),4)〕2＋〔eq\f(\r(|λ|),3)〕2＝100，解得λ＝±576，所以双曲线的方程为eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1和eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1．20．解：〔1〕因为P点在椭圆上，所以eq\f(9,a2)＋eq\f(16,b2)＝1，①又PF1⊥PF2，所以eq\f(4,3＋c)·eq\f(4,3－c)＝－1，得：c2＝25，②又a2＝b2＋c2，③由①②③得a2＝45，b2＝20，则椭圆方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1；〔2〕S＝eq\f(1,2)|F1F2|×4＝5×4＝20．21．解：设抛物线y2＝2px〔p>0〕的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y＝－eq\f(1,2)x，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y2＝2px，))可得点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))；解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x，,y2＝2px，))可得点B的坐标为〔8p，－4p〕．因为|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝5eq\r(13)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p2,4)＋p2))＋〔64p2＋16p2〕＝325，所以p＝2，所以所求的抛物线方程为y2＝4x．22．解：设抛物线的方程为y2＝2px〔p>0〕，其准线方程为x＝－eq\f(p,2)，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，因为|AF|＋|BF|＝8，所以x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝8，即x1＋x2＝8－p，因为Q〔6，0〕在线段AB的中垂线上，所以QA＝QB，即〔x1－6〕2＋yeq\o\al(2,1)＝〔x2－6〕2＋yeq\o\al(2,2)，又yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，所以〔x1－x2〕〔x1＋x2－12＋2p〕＝0，因为x1≠x2，所以x1＋x2＝12－2p，故8－p＝12－2p，所以p＝4，所以所求抛物线方程是y2＝8x．23．解：〔1〕联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－a2y2－a2＝0，,x＋y＝1，))消y得x2－a2〔1－x〕2－a2＝0，即〔1－a2〕x2＋2a2x－2a2＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－2a2,1－a2)，,x1x2＝\f(－2a2,1－a2).))因为与双曲线交于两点A、B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,4a4＋8a21－a2>0))，可得0<a2<2且a2≠1，所以e的取值范围为〔eq\f(\r(6),2)，eq\r(2)〕∪〔eq\r(2)，＋∞〕；〔2〕由〔1〕得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－2a2,1－a2)，,x1x2＝\f(－2a2,1－a2).))因为eq\o(PA,\s\up10(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up10(→))，所以x1＝eq\f(5,12)x2，则eq\f(17,12)x2＝eq\f(－2a2,1－a2)，①eq\f(5,12)xeq\o\al(2,2)＝eq\f(－2a2,1－a2)，②由eq\f(①2,②)得，a2＝eq\f(289,169)，结合a>0，则a＝eq\f(17,13)．24．解：〔1〕由e2＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(2,3)，得eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，①由椭圆C经过点〔eq\f(3,2)，eq\f(1,2)〕，得eq\f(9,4a2)＋eq\f(1,4b2)＝1，②联立①②，解得b＝1，a＝eq\r(3)，所以椭圆C的方程是eq\f(x2,3)＋y2＝1；〔2〕易知直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得〔1＋3k2〕x2＋12kx＋9＝0，令Δ＝144k2－36〔1＋3k2〕>0，得k2>1，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，则x1＋x2＝－eq\f(12k,1＋3k2)，x1x2＝eq\f(9,1＋3k2)，所以S△AOB＝|S△POB－S△POA|＝eq\f(1,2)×2×|x1－x2|＝|x1－x2|，因为〔x1－x2〕2＝〔x1＋x2〕2－4x1x2＝〔－eq\f(12k,1＋3k2)〕2－eq\f(36,1＋3k2)＝eq\f(36k2－1,1＋3k22)，设k2－1＝t〔t>0〕，则〔x1－x2〕2＝eq\f(36t,3t＋42)＝eq\f(36,9t＋\f(16,t)＋24)≤eq\f(36,2\r(9t×\f(16,t))＋24)＝eq\f(3,4)，当且仅当9t＝eq\f(16,t)，即t＝eq\f(4,3)时等号成立，此时k2＝eq\f(7,3)，△AOB面积取得最大值eq\f(\r(3),2)．第三章空间向量与立体几何一、选择题1．假设A(0，－1，1)，B(1，1，3)，则|AB|的值是()．A．5B．C．9D．32．化简＋－－，结果为()．A．B．C．D．3．假设a，b，c为任意向量，m∈R，则