《数学实验 第4版》课件 4.2 离散数据的曲线拟合

1第四章数值分析

实验4.1插值

实验4.2离散数据的曲线拟合数学实验实验4.3MATLAB数值积分与微分实验4.4常微分方程的数值解2实验4.2离散数据的曲线拟合一、离散数据的多项式拟合二、曲线拟合的线性最小二乘法三、应用举例数学实验3实验4.2离散数据的曲线拟合一、离散数据的多项式拟合p=polyfit(x,y,n)用多项式拟合一组离散数据就是寻找一组多项式的系数使得多项式能够较好的拟合这组数据.它与实验4.1的插值法不同,数据不能保证都在拟合多项式曲线上，但能使整体拟合误差较小.在MATLAB中,多项式拟合可以通过polyfit函数来实现,该函数的调用格式为p是多项式系数按降幂排列得出的行向量.4利用poly2sym(p)可以得出相应多项式的表达式.如果要计算拟合多项式在x处的值y,输入y=polyval(p,x),就可输出y的值.求本章例4中，数据组的3次、6次和8次多项式并作图例6解输入：x=[0.004.749.0519.0038.0057.0076.0095.00114.00133.00152.00171.00190.00];y=[0.005.238.1011.9716.1517.1016.3414.6312.166.697.033.990.00];p3=polyfit(x,y,3);y1=polyval(p3,x);p6=polyfit(x,y,6);y2=polyval(p6,x);plot(x,y,'*',x,y1,'--',x,y2,'-.')↙实验4.2离散数据的曲线拟合5从图4.6可见，6次拟合多项式比3次多项式的拟合效果好.实验4.2离散数据的曲线拟合6在命令窗口输入：P6=polyfit(x,y,6);y2=polyval(p6,x);P8=polyfit(x,y,8);y3=polyval(p8,x);plot(x,y,'*'x,y2,'—.',x,y3)↙实验4.2离散数据的曲线拟合由图4.7所示，8次多项式比6次的拟合效果更好.可见，随着多项式次数的不断增加，拟合的效果也越来越好，当拟合多项式的次数就能得出较好的效果.那么利用多项式进行拟合时，是否多项式的次数越高拟合效果一定就越好呢？7设已知数据来自函数8次多项式拟合，并作图.例7解试用生成的数据进行3次、6次和在命令窗口输入：x0=-1:.01:1;y0=1./(1+9*x0.^2);p3=polyfit(x0,y0,3);y1=polyval(p3,x0);p6=polyfit(x0,y0,6);y2=polyval(p6,x0);p8=polyfit(x0,y0,8);y3=polyval(p8,x0);plot(x0,y0,'*',x0,y1,'--',x0,y2,'-.',x0,y3)↙8由图4.8可以看出,多项式拟合的效果并不一定总是很精确的.下面我们来介绍另一种方法—曲线拟合的线性最小二乘法.实验4.2离散数据的曲线拟合图4.89二、曲线拟合的线性最小二乘法最小,就是曲线拟合得最好.曲线拟合常用的方法是线性最小二乘法.

曲线拟合（curvefitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系.实验4.2离散数据的曲线拟合已知某函数的一组测量数据根据这组数据寻求曲线逼近曲线因为测量时可能产生误差,所以我们不要求都经过这些点,只要与的距离最为接近,即10一般情况下,可以假设数据拟合曲线为将（2）代入(1),上述问题转化为根据多元函数极值的必要条件实验4.2离散数据的曲线拟合11可以证明方程组(4)的系数矩阵是可逆的,则方程组(4)有唯一解于是有这种求拟合曲线的方法称为曲线拟合的线性最小二乘法.实验4.2离散数据的曲线拟合12在MATLAB优化工具箱中，提供了函数lsqcurvefit,求解最小二乘曲线拟合问题.该函数的调用格式为a=lsqcurvefit(fun,a0,x,y)其中，fun是自定义函数的MATLAB表示，可以用inline('函数内容'，自变量列表)；a0是a的初始预测值，使用方法见例8.实验4.2离散数据的曲线拟合13三、应用举例用切削机床进行金属品加工时，为了适当的调整机床，需要测定刀具的磨损速度.在一定的时间测量刀具的厚度，得数据如下表所示：例8切削时间t/h012345678刀具厚度y/cm30.029.1

28.428.1

28.0

27.727.5

27.227.0切削时间t/h910111213141516刀具厚度y/cm26.8

26.5

26.326.125.725.324.824.0假设经验公式是试用最小二乘法确定实验4.2离散数据的曲线拟合14解定义函数f，在命令窗口输入:f=inline('a(1).*t.^3+a(2).*t.^2+a(3).*t+a(4)','a','t')确定经验公式的系数并作图，在命令窗口输入:t=[0:1:16];y=[30.029.128.428.128.027.727.527.227.026.826.526.326.125.725.324.824.0];a0=[0,0,0,0]a=lsqcurvefit(f,a0,t,y)y1=a(1).*t.^3+a(2).*t.^2+a(3).*t+a(4);plot(t,y,'*',t,y1)↙实验4.2离散数据的曲线拟合a=-0.00290.0678-0.713329.824915系数散点及拟合曲线图，实验4.2离散数据的曲线拟合如图4.9所示.16例9在加压实验中的应力-应变关系测试点的数据如下表所示：已知应力-应变关系可以用一条指数曲线来描述.即假设使用最小二乘法确定参数实验4.2离散数据的曲线拟合17解选取指数函数作拟合时,在拟合前需作变量代换,化为将(6)变形后取对数，得令式（7）化为在命令窗口输入：x=[500*1.0e-61000*1.0e-61500*1.0e-62000*1.0e-62375*1.0e-6];y=[3.100*1.0e+32.470*1.0e+31.953*1.0e+31.515*1.0e+31.217*1.0e+3];实验4.2离散数据的曲线拟合18w=[1.552.472.933.032.89];plot(x,w,'*')↙holdon,y1=exp(8.3020)*x.*exp(-495.4888*x);plot(x,y1,'r-'),holdoff↙实验4.2离散数据的曲线拟合z=log(y)↙z=8.03927.81207.57717.32327.1041a=polyfit(x,z,1)↙a=-495.48888.3020k1=exp(8.2959)