考场仿真卷03-2021年高考数学（文）模拟考场仿真演练卷(新课标Ⅰ卷)（解析版）

绝密★启用前

2021年高考数学（文）模拟考场仿真演练卷

第三模拟

本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净

后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.满足{0,1}117={。,1,2}的集合7的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】依题意得2€7，，7={2}或7={0,2}或7={1,2}或7={0,1,2},，T的个数有4个,

故选D

4；

2.己知复数2=——，则|z+i|=

1+z

A.V13B.26C.V15D.V26

【答案】A

4z4z（l-z）4+4/-〜?f—

【解析】z=「ff=—^=2+2i,|z+/|=3+2/=V32+22=V13.故选A.

1+z+211

3.随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.下图

是2012-2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）

2012-2020年我国快递业务量变化情况

口快递业务量（亿件）。同比增速

A.这9年我国快递业务量有增有减

B.这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%

C.这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%

D.这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件

【答案】D

【解析】由条形图可知，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误；将各年我国快递业务量同比增速按

从小到大排列得：25.3%,26.6%,28.0%.30.5%,48.0%,51.4%，51.9%，54.8%,61.6%,

故中位数为第5个数48.0%，故5错误；这9年我国快递业务量同比增速的极差为

61.6%-25.3%=36.3%>36%,故C错误；由条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过210

亿件，故快递业务量的平均数超过210亿件，。正确.故选D.

x+y-3<0

4.若实数x,>满足约束条件<x—y+120,则z=x—2y的最大值为（）

y>0

A.-1B.-3C.3D.5

【答案】C

x+y—3Ko

【解析】由约束条件，x-y+120得如图所示的三角形区域，

y>0

x+y-3=0[x=3

1717.

由＜可得＜,将z=x-2y变形为y=-x——，平移直线丁=一%——，由图可知当直

,、八2222

_y=0(y=o

y=经过点(3,0)时，直线在V轴上的截距最小，z=x-2y最大，最大值为z=3—2x0=3

故选C.

5.如图所示，流程图所给的程序运行结果为S=840,那么判断框中所填入的关于人的条件是()

A.k<5?B.k<4?

C.k<3?D.k<2?

【答案】B

【解析】由程序流程的输出结果，知：1、S=l,k=7：执行循环，5=7,%=6；

2^5=7,4=6：执行循环，5=42,攵=5；

3、S=42,攵=5：执行循环，5=210,2=4；

4>5=210,4=4：执行循环,S=840,2=3；

由题设输出结果为S=840,故第5步输出结果，此时％=3<4.故选B.

6.已知平面向量。=(2,—1),石=(—3,2),则a,(a—B)=()

A.13B.1C.-1D.-11

【答案】A

【解析】因为％=(2,-1)石=(一3,2),所以H=(5,—3),所以7(£-4=2X5+(-1)X(—3)=13,

故选A.

7.一个长方体的平面展开图如图所示，其中AB=4，AD=2，DH=血,点M为AB的中点，则将

该长方体还原后，A”与CM所成角的余弦值为（）

“KN.

A.-B.且C.好D.正

3332

【答案】B

【解析】将该长方体还原后的直观图如图所示，

取CO的中点N,则易证得A7W/CM，所以N/MN（或补角）即为异面直线与CM所成的角，

易求得AN=CM=2五,AH=HN=R，由余弦定理得cosNHAN=四上竺匕二”=且

2AH-AN3

故选B.

8.在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年

《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲I，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中

国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.

现有一个剩余问题：在（1,2021］的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺

序排列，得到数列｛%｝，则数列｛q｝的项数为（）

A.101B.100C.99D.98

【答案】A

【解析】由题意可知，数列｛《,｝中的项由小到大排列依次为21、41、61、81、…，

可知数列｛/｝是以21为首项，以20为公差的等差数列，则a„=21+20（〃-1）=20〃+1,

由1<勺<2021可得1<2O〃+1W2O21,解得0<“W101,则〃e｛1,2,3,…,1（）1｝,

因此，数列｛4｝的项数为101.故选A.

（1\a（1\b1

2c

9.若-=log26Z,-=b\c=2',则。力,c的大小关系是（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.h<c<a

【答案】B

|1

【解析】分别画出函数y=（；）\y=log2X,y=x2的图象，如图所示，由图象，可得。<匕<。.

故选B.

z?>o）的左焦点为尸，过点尸且与y轴平行的直线与双曲线交

于A,5两点，若口AOB为等腰直角三角形（。为坐标原点），则双曲线。的离心率为（）

D1+A/5

A.石R1+6c.f

2-2

【答案】D

9可得小目,

【解析】设点尸的坐标为（一c,0）,则可得直线*=与工=1联立,

a2Ia）

（b2]b2

B-c,一—,又因为口AO3为等腰直角三角形，所以幺=c，即6=ac，c^_ac_^=0,整理得

、a

e2_e—l=0,解得6=1±@或6=匕@（舍），故选D.

22

11.已知函数/(x)=Asin3%+")(A>0,/>0,1例<乃)的部分图象如图所示，将/(X)的图象向右平移

(a>0)个单位长度,得到函数g(x),若g(x)满足g(2万-x)=g(x),则a的最小值为()

71兀5乃

A.—B-看C.一D.—

12412

【答案】D

【解析】法一：由图可知，A=l，图象过71点l1,0

124312㈤

.,.(y=2.v/(x)的图象过点

.(c乃|,7兀1

/.sin2x—+69=1=>2x----\-(p=2k九+€Z)=0=2.乃+、(％GZ),

I12?12”

,.19l<乃，:.(p=—

3

71

・•・/(x)=sinf2x+yj,g(x)=sin2(x-a)\+——sinI2x-2aH—j,

)3

由g(2万一x)=g(x),得g(x)的图象关于直线对称,

JI

所以g(不)=sinI2^,-2(74--I=-sinI2^-—I=±1,

33

...2〃一(=]+&%(&EZ),...a=~^+~Y^Ez),又Q>0,

5万

所以品加=五，故选。・

/冗TTTTTTKTT

法二：1=3■一五=：=7=%，故/(x)图象对称轴可表示为工=己+号，

8(2乃一力=8(6=8(%)的图象的一条对称轴为关=万，

口-TT/)rr

当左=1时，可知彳=万的左侧/(X)图象离X=万最近的对称轴为X=—+y,

77757r

故。的最小值为乃一一,故选£>.

1212

12.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴

鞠''就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某'‘鞠”的表面上有四个点A,

B,C,。满足AB=80=8=01=08=1()311,AC=15cm,则该“鞠”的表面积为()

350乃2700乃2

A.cm-B.cm-

33

c3500735^2

C.350^cm2D.-------------cm-

27

【答案】B

【解析】由已知得^ABD，△C8D均为等边三角形.如图所示,

设球心为O,△8CO的中心为0',取50的中点尸，连接Af,CF,00'，OB，O'B，A。，

则A尸J.8D，CFA.BD,得BD_L平面AFC,且可求得AE=CF=5&cm，而4C=15cm,所以

乙4户C=120°.在平面A尸C中过点A作C尸的垂线，与。尸的延长线交于点E,由平面AFC,得

班)1AE，故A£_L平面BCD，过点。作OGLAE于点G，则四边形O'EGO是矩形.

则O'B=BCsin60°x|=-^l(cm)，O'F=；0'8=^(cm),

AE=AFsin60°=y(cm),EF/IFsin30°

设球的半径为R,OO=xcm,则由00'-+O'B2=OB2，Ofic=AG2+GO2，

得人吧迪+述］+偿

3123JUJ

2

解得x=5cm,R=J乎cm.故三棱锥A-BCD外接球的表面积S=4兀R，=一工（cm）.

二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.己知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去

过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对.若

甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是.

【答案】丙

【解析】若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海，

若乙或丙说得不对，则得出与''甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，故去过北京的是丙.

14.设｛4｝是首项为2的等比数列，s.是其前"项和.若44+%=0,则§6=

【答案】三

16

【解析】设等比数列｛&｝的公比为q，则+将％=2代入得24+1=0,得夕=—g，

4(1-0_2(1-区)

21

所以1

「qilT6

+2

15.若函数/（x）=lnx+x与8（力=生子的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线y=2x+l平行,

X-L

则实数加=.

17

【「案1—

8

【解析】设函数/（力=1办+》图象上切点为（工,%）,因为r（%）=，+i,所以广（/）='+1=2,得

X%

玉）=1，所以为=/（/）=/⑴=1，所以切线方程为yT=2（x-l）,即y=2x-l,设函数8仙卜生了

x-1

2(x-1)—(2x-m)_m-2

的图象上的切点为a,%）（王wi）,因为g'（X）

d)2"(X-l)2,所以

.w-2,2x.-m.

g("i)=7----F=2，即加=2万一4%+4,又y=2玉-1=8(为)=------,即"？=一2汇+5%-1,

玉一1

所以2x；—4X|+4=—2x1+5^!—1,4x；-9芭+5=()，解得演=^或斗=1(舍),

f5V517

所以机=2x--4x-+4=—.

⑷48

jr

16.抛物线丁=2如（〃>0）的焦点为/，准线为/,A、8是抛物线上两个动点，且满足乙4必=§,

设线段A3的中点/在/上的投影为N,则匕\MVN的\最大值是.

|AB|

【答案】1

【解析】过A作于Q,过B作BP1）于P,设|AF|=a、|BF|=6,如图所示，根据抛物线的定义,

可知|4尸|=|4。］、|8/日32|,

在梯形ABPQ中，有|MN|=g(a+。)，在口45b中，

jr

|AB\^=a2+b2-2abcos—=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,

,..,a+b..(a+b)2,a+b

又,/ab<2|AB:2、J^>\A4B\>,

•MM<5(。+与

=1,，故\M土N\的最大值是L

\AB\~~a+h\AB\

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必

须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.（12分）如图，在四边形ABC。中，ABHCD,NAOC=90°,DABC为锐角三角形，且他=3,

AC=S，ZABC=60°.

（1）求sinN84c的值；

（2）求△BCD的面积.

【解析】（1）在锐角□ABC中，AB=3,AC=@,NABC=60°,

由正弦定理得sinNACB=.・sin乙48c=九旦，©分）

AC14

乂因为口46。为锐角：:角形

cosNACB=^.（4分）

14

•/sinZ.BAC-sin乃一（g+NACB]=sin（q+ZACS）,

sinABAC—sinZACB-cos—+cosZACB-sin—=x—+x.（6分）

331421427

（2）QAB//CD，

;.ZACD=ZBAC,

而

/.sinZ.ACD=sinABAC=-----.（8分）

7

在MADC中，A£>=ACxsinNAC£>=V^x四=6，

7

:.CD=4AC2-AD2=2,（10分）

,•*SBCD=SACD,

又SACD=；ADXCD=®

•・SBCD=G（12分）

18.(12分)如图，四棱锥3—AC£>石中，AE//CD,ACLCD,C£)=CB=2AE=2AC=2,平面

平面ACOE,点尸为8D的中点.

(1)求证：所〃平面ABC；

(2)若砂_LC£>,求四棱锥AC。石的体积.

【解析】(1)证明：取BC的中点G，连接GF,GA.

•••点/为3。的中点，

.-.GF//CD,且GF=LC£>.

2

又CDHAE，CD=2AE,

:.GF//AE,RGF^AE,

四边形AEFG为平行四边形，

：.EF//AG,（4分）

乂砂2平面ABC,AGu平面ABC，

.•.EF〃平面ABC.（6分）

（2）•:EFLCD,

:.CD±AG,

V.AC.LCD,ACcAG=A,\C£）A平面ABC,

:.CD±BC.

又平面BCD±平面ACDE,平面BCDf］平面ACDE=CD,

平面ACDE,.・.BC为四棱锥6—ACDE的高，（9分）

\-CD=CB=2AE=2AC=2,

V=

■■B-ACDE；S梯形ACOE,BC=：X1（AE+C。）XBC=；X（1+2）X2=1.（12分）

J3Z0

19.（12分）某公司对项目进A行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表:

项目A投资金额x（单位：百万元）12345

所获利润y（单位：百万元）0.30.30.50.91

（1）请用线性回归模型拟合y与X的关系，并用相关系数加以说明;

（2）该公司计划用7百万元对A、3两个项目进行投资.若公司对项目5投资X（14XW6）百万元所获得

049

的利润V近似满足：y=0.16x-一三+0.49,求A、3两个项目投资金额分别为多少时.，获得的总利润

x+1

最大？

附：①对于一组数据（x，x）、（工2，%）、……、（七，K），其回归直线方程§=》x+由的斜率和截距的最

^x^-nx-y

小二乘法估计公式分别为：方=号------二-，a=3-bx.

2-2

七一办

Zi=\

^x^-nx-y

②线性相关系数/=//,I、/“、.一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）

J]?；-哪?-少

认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.

参考数据：对项目A投资的统计数据表中£>/=11，$>：=2.24,744*2.1.

i=li=l

【解析】（1）对项目A投资的统计数据进行计算，有嚏=3，5=0.6,»；=55,

5__

八E-v,X-5x-yH_9

所以5="^^--------=55二5x3,=O'2，。=y-标=0.6—02x3=0,

E^,2-5X

i=l

所以回归直线方程为：y=Q,2x-

___________11-9

线性相关系数「=io.、/5

H一蝗层y,J（55-5X32）X（2.24-5X0.62）

2

0.9534>0.95,

V44

这说明投资金额x与所获利润y之间的线性相关关系较强，

用线性回归方程y=o.2x对该组数据进行拟合合理；（6分）

（2）设对8项目投资x（lWx46）百万元，则对A项目投资（7-力百万元.

049049

所获总利润y=0.16x一一—+0.49+0.2（7一x）=1.93———+0.04（%+1）

049

<1.93-2卜订0.04（x+l）=1.65.

0.49

当且仅当0.04（x+l）即x=2.5时取等号,

x+1

所以对A、3项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大.（12分）

20.（12分）已知椭圆E:=+3=1（。>。〉0）的左、右焦点分别为大，鸟，M为椭圆上一动点，当△〃百人

CTh

b

的面积最大时，其内切圆半径为椭圆£的左、右顶点分别为A,B,且|AB|=4.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过大的直线与椭圆相交于点C,。（不与顶点重合），过右顶点5分别作直线8C,3。与直线无=7

相交于N,M两点,以MN为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

【解析】（1）由题意及三角形内切圆的性质可得

'•2c2='（2a+2c>2,化简得£='①

223a2

又|AB|=2。=4,

所以。=2，C=1»b=yjCT—（?-5/3»

所以椭圆E的标准方程为三+二=1.(4分)

43

(2)由(1)知耳(-1,0),5(2,0),

由题意，直线CD的斜率不为0,

设直线CD的方程为x^my-\.

22

代入椭圆E的方程土+上■=1，

43

整理得(3m1+4)/-6my-9=0.

设C(Xi，y),£)(%,%)，

6m9

则%+必=E'②(6分)

3m2+4

直线BC:y=(x-2).

my,-3

所以以为直径的圆的方程为

MN、

(x+4)(x+4)+|y+=0,

7

即x~+8x+16+y~

"⑺消潟一3)="③

由⑨得.6y।6%⑵孙%—18(X+)，2)=6牝

myy-3my2-3-3)(wy2-3)

36芦必=________36x%________

=-9

2

(.my]-3)(m%-3)my以一3加(X+%)+9

代入③得圆的方程为V+8x+7+y2-6根)，=0.(10分)

y=0

若圆过定点,则I?

x+8x+7=0

x=-lx=-7

解得《或*

y=0y=0

所以以MN为直径的圆恒过两定点（—7,0）,（—1,0）.（12分）

21.(12分)已知函数/(x)=lnx—ax(«GR).

（1）若J'（x）存在极值，求。的取值范围;

(2)当a=—l时,求证：f[x)<xex-\.

【解析】⑴函数/（x）的定义域为（0,+纥），

r（x）=L=d,

XX

当a40时，对任意的x＞0，/'（x）＞0，

故“X）在（0,+纺）上单调递增，/（X）无极值：（2分）

当a＞0时•，当力时，/'（x）＞0,〃x）单调递增:

当无时，/'（x）＜0,〃x）单调递减.

故/（X）在尤=：处取得极大值，无极小值.（4分）

综上所述，若〃力存在极值，则。的取值范围为（0,+纥）.（5分）

(2)H|ci——1时，x£x—1—/(x)—x£x—InX—X—1.

设网芯)=旄2-lnx-x-1,其定义域为(0,+8),

则证明人(x)20即可.(6分)

Y,1

//(x)=(x+l)ex-----,设〃(x)=//(%),

x

则M(x)=(x+2)e'+二>0,

故函数”(x)在(0,+。)上单调递增.(7分)

0,/⑴=2e-2>0.

••.〃（％）=0有唯一的实根!€（；，1］，且e*°=｝，（9分）

/.x0=—Inx0.

当O<x<Xo时，〃'（x）<0：

当x>x（）时，〃'（x）>0,

故函数/z（x）的最小值为人（%）.（11分）

>〃（%）=/浮-In/—/-1=1+/—1=0.

：.f（x）<xex-1.（12分）

（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4~4：坐标系与参数方程］（10分）