高中数学人教A版（2019）必修第一册 541-542正弦函数、余弦函数的图像与性质教案

新教材必修第一册

541正弦函数、余弦函数的图像

542正弦函数、余弦函数的性质

课标解读

1.正弦函数、余弦函数的图像（理解）

2.周期函数的概念.（了解）

3.正弦函数与余弦函数的性质.（理解）

学法指导

1.在学习本节内容时，应在三角函数定义的基础上，利用单位圆作出正弦函数和余弦函

数的图像，再利用图象形象直观探究、把握、记忆正弦和余弦函数的性质.

2.教材上重点研究了正弦函数的图象及性质，同学们可以通过类比学习余弦函数的性

质.

知识导图

知识全解

知识点1：正弦函数与余弦函数的图像

1.正弦函数的图象

（1）函数户sinx的图象

根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到y=sin~E[0,2组的图象，如图所示.

由诱导公式一可知，函数y=sinx,xe[2k7r,2（k+1闭,ZGZ且攵工0的图像与y=sinw[0,2%]的

图象形状完全一致,因此将函数y=sinx,xb0,2加的图象不断向左、向右平移(每次移动

24个单位长度)，就就可以得到正弦函数产sinx,xwR的图像.

观察下图，在函数y=sinx,xw［0,2组的图象上，以下五个点

(0,0),(-,1),(肛0),(―-1),(2匹0)

22

在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x£［0,2组的图象形状就基本

确定了,因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们

连接起来，得到正弦函数的的简图,这种作图方法叫做“五点(画图)法”

2.余弦函数的图象

(1)图象变换法作余弦函数的图象

由诱导公式六，我们知道丁ucosxusinCr+g,而函数y=sin(x+g,xcR的图象可以通过

正弦函数y=sin-xcR的图像.向左平移］个单位长度而得到，所以将正弦函数的图象

向左平移g个单位长度，就得到余弦函数的图象.

2

(2)五点法作余弦函数的图象

类似于正弦函数图象的作作法，从余弦函数y=cosx,xwR的图象可以看出，要作出函数

y=cosx在［0,2万］上的图象，起关键作用的五个点是：

(0,1),(-,0),(4,一1),(―,0),(2肛1)

22

先描出这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数、=*$工在。2封上的简图，再

通过左右平移（每次移动2万个单位长度）即可得到余弦函数y=cosx,xwR的图象.

3.正弦曲线、余弦曲线

正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦函数和余弦曲线.

它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.

例1-1:(1)作出函数y=2sinx(04x<24)的简图;

（2）作出函数y=1-cosx（0Wx42/r）的简图.

答案：（1）

例1-2：作出函数已=的简图.

答案:

-2ir-F01T2^

知识点2：正弦函数、余弦函数的性质

1.周期函数

（1）定义：一般地，设函数/（幻的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每

一个xe。都有x+Tc。，且f(x+T)=/(x),那么函数/(幻就叫做周期函数俳零常数了叫

做这个函数的周期函数.

(2)最小正周期：如果在周期函数/3)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个

最小正数就叫做了。)的最小正数就叫做/(x)的最小正周期.

2.正弦函数、余弦函数的性质

正弦函数与余弦函数的图像与性质如下表：

函数y=sinxy=cosx

函数7p\y*

-1

定义域RR

值域[-14][-1,1]

周期性最小正周期：24最小正周期：2冗

奇偶性奇函数偶函数

单增区间[----+2攵肛一+2攵乃](2GZ)\-7l+2k7T,2k7C](kGZ)

22

调

减区间[—+2k,7T,—+2上4](欠wZ)[2左4,7i+2kil(kGZ)

性22

当x=匹+2k;r(k€Z1时，当x=2k7T(kwZ)时，y=1;

2max

小=1；当工=手+224

最值当x=7T+2k兀(ksZ)时，ymax=1;

(ZeZ)时，ymin=-l.Vmin=T•

对称中心：(5■,())(%£Z)对称中心：(k7T+-fi)(keZ)

图象的对称性2

对称轴方程：x=k;r+—(keZ)对称轴方程：x=kn(kGZ)

2

例23若函数y=sin“D=cosx在区间D上都是增函数，则区间D可以是()

A•(吟。.唔D得次

例2・4:设Q=COSC,Z?=sin^^,c=cos—,贝()

1264

K.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

答案：A

例2.5：求下列函数的定义域和值或：

(1)y=2-sinx;(2)y=-v-3sinx;(3)y=lgcosx.

答案：(1)[1,3]；(2)[0,拘；(3)(-oo,0].

重难拓展

知识点3：函数周期性的探究

1.对周期函数定义的理解

在已知函数/(x)是周期函数的前提下，对于一个非零常数7为函数/(幻的周期的反面理

解是只要/(幻定义域中有一个值使得/(%+7)=/30)，则T就不是/0)的周期.例如,

对于f(x)=sinx,我们在得到它是以2万为周期的周期函数后，一个自然的问题是：还有

没有其他的数是正弦函数的周期？例如卫是不是它的周期？可以得到，虽然对于常数

2

T=|,对自变量工取%2时(壮Z)时都有f(x+g=f(x),但并非“每一个值”都成立，

如自变量x取m时就有因此工不是正弦函数的周期.

66262

2.周期函数定义的几点说明

(1)周期函数的定义是对定义域中的每一个值来说的.如果只有个别的x满足

/(x+T)=/(x),那么丁是不能成为f(x)的周期的.

(2)从等式来看，自变量x本身所加的非零常数才是周期，如=了不

是周期，而应写成/d人十T)=/d(人十2T)]=/(L),即27是/(~L)的周期.

2222

（3）不是所有的函数都是周期函数，如y=x+l就不是周期函数.

（4）周期函数的周期不唯一，如果丁是函数f（x）的周期，那么且女工0）也是函数

/3）的周期.

（5）设周期为7的函数的定义域为M,若xwM,则必有x+仃且〃wO）.因此周

期函数的定义域一定既无上界也无下界.

（6）函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.若一个函数为周期函数，则只需研究

它在一个周期范围内的整体性质，就可以知道它的整体性质.

3.对最小正周期概念的理解

（1）不是所有的周期函数都存在最下正周期的.

例如，常数函数/*）=c（c为常数），所有非零常数都是它的周期，显然在非零实数组成

的集合中，不存在最小的正数，所以常数函数不存在最小正周期.

Lx是有理数

又如函数Q（x）=<

0,x是无理数

任何一个非零有理数都是它的周期，但没有最小正周期.

（2）说明某正数是函数的最小正周期，只需说明比该周期小的任意正数都不是该函数

的周期即可.

（3）若无特别说明，本书中所说的周期一般都是最小正周期.

4.一类周期函数的周期公式

（1）一般地，函数"45抽（血+9）（448为常数，且AwO,©工0）.的最小正周期丁=

㈤

⑵若函数y=/（x）的周期是T'则函数…川+⑺的周期为击C常数，且A,。,

6)*0).

5.抽象函数的周期性

（1）若函数/（X）（X£R）满足了（a+x）=/s+x）（"b）,则函数/"）是周期函数，|6-创为它

的一个周期.

(2)若函数f(x)(xwR),满足，3+x)=-f(b+x)("b),则函数/(x)是周期函数，2\b-a\

为它的一个周期.若b=0,则/(%)的一个周期为21al.

(3)若函数和/(x)(xeR)的图象有两条对称轴x=4x=gz"),则函数/⑴是周期函数,

2为它的一个周期.

(4)若函数〃幻的图象存在对称中心A(a,0),B(b,0)(4Hb),则函数/(x)为周期函数，

且2|b-〃|为它的一个周期.

(5)若函数/(X)的图象存在对称轴/:x=a,对称中心B(A0)("b),,则函数f(x)为周

期函数，且4g-为它的一个周期.

(6)若f(x+a)=/一或/•*+〃)=-，一，则21al为函数/a)的一个周期.

fWf(x)

例3-6：求下列函数的最小正周期:

(1)y=sin(3x+—);(2)y=|cos(2x+—)|.

46

答案」1)V⑵5

例3-7：干支纪年法(农历)是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法

并存.黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法.干支是天干地支的总称，把干

支顺序相配正好六十为一周期凋而复始，循环记录.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、

壬、癸十个符号叫做天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二

个符号叫做地支，受此周期规律的启发，可以求得函数/(x)=sin与+cos3x的最小正周期

为()

A.15乃B.12乃C.6万

答案：C

例38若对于任意实数X,都有/a)=〃Aa)+/(x+a),(常数〃为正整数)，则/a)是

否为周期函数？若为周期函数，求它的一个周期；若不是周期；若不是周期函数，说

明理由.

答案：由f(x)=f(x-a)+f(x

得f(x+a)=f(x)+f(x+2a)②，

由①+②得f(x-a)+/(x+2a)=0,

所以fG)=-f(x+3a)

f(x+3d)=-/(x+6a)

所以/(幻=/。+6/

故函数f(x)为周期函数，周期为6a.

例3-9：(多选题)定义[幻表示不超过♦的最大整数，例如，口.5]=1,[-1.5]=-2,若

/(x)=sin(x-[x]),则下列结论中正确的是()

A.y=/(x)是奇函数

B.y=/(x)是周期函数，周期为1

C.y=/a)的最小值为0,无最大值

D.y=f(x)无最小值，最大值为sin1

答案：BC

知识点4：正弦型函数y=AsinM+e)(Aw0)及余弦函数y=Acos@r+夕)(A+0)的性质

1.函数正弦型函数》=〃山(5+0)0400)及余弦函数产入05(5+°)(人。0)的性质

函数y=Asin(oix+0)y=Acos@r+°)

定义域RR

值域[-|A|,|A|][-|A|,|A|]

当A>0,①>0时，将以+夕视为一个整体，带入y=$指3或》=cosx相应的

单调性

单调区间求解；当A<0或0<0时，注意单调区间的变化.

当°=攵乃(2£Z)时为奇函数当夕=k4(kEZ)时为偶函数

奇偶性

当夕=&乃±彳(女£2)时为偶函数当e=人乃士々丘Z)时为奇函数

周期性T3T=—

㈤\(o\

图象对将侬+0视为一个整体，带入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称

称性中心的横坐标满足的方程求解

2.三角函数的最值与单调性、奇偶性、周期性的联系

(1)三角函数的最值与单调性之间的联系

相邻两个最大值之间的距离为一个周期，两个最大值之间有一个最小值，从左至右第

一个最大值对应的与与最小值对应的与之间构成的区间为减区间，第一个最小值对

应的/与第二个最大值对应的与+r所构成的区间，从而三角函数

y=Asin(5+0)(A>O)的单调递减区间为[kT+x0,kT+(x0+^-)](A:GZ),单调递增区间为

[kT+(x0+^),kT+(x0+T)(keZ)],单调递增区间为伙丁+(%+多，敏+(/+丁)](&£2).

当然也可以从右至左来看，最大值对应的自变量的值向左半个周期所对应的区间为增

区间，此时三角函数y=Asin(〃+e)(A>0)的单调递增区间为k7+(%-夕,仃+/)](ZeZ),

单调递减区间为伙7+/,仃+(/+1)](%£Z)

函数的最小值的相应情况可类似讨论.

(2)三角函数的最值与奇偶性之间的联系

三角函数丁=Asin(atv+oXA,3，e为常数，旦AwO)为偶函数当且/(0)=0取得最值.

三角函数丫=公山(皿+姒40,夕为常数，且A00)为奇函数当且仅当/(0)=0.

(3)三角函数的最值与周期性之间的联系

由三角函数的图象可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期7,相邻最大值与最小

值之间的区间长度叫，相邻的图象最高(低)点与图象与谕的交点之间的区间长度

为右

例4-10：(多选题)关于函数f(x)=3sin(2x-?)+l(xwR),下列命题正确的是()

A.若/(%)=/(%)=1，是乃的整数倍

B.原函数等价于/(x)=3cos^-—)+1

6

C./(x)的图象关于点(亨J)对称

4

D./(x)的图象关于直线.后对称

答案：BD

例4-11若函数)，=sin(x+0)(OW°W;r)是R上的偶函数，则。等于()

A.0B.£

答案：C

例4-12：若金行点是函数〃33+夕)(0＞。)的两个相邻的零点，则」).

3

A.2B.-C.1D.-

22

答案：A

题型与方法

题型1：正、余弦函数图象的应用

L函数图形的识别问题

例13.函数/（x）=cosx-ln（V7石-%）在上的图象大致为（）

r'

-1/&

C

答案：B

例14：（多选题）已知函数的部分图象如图所示，将此图象作以下变化

l+2sinx

后的图象可以与原来图象重合的变换方法是（）

A.若着x轴上一点旋转180°4，

B.沿x轴正方向平移UUUUU

C.以犬轴为轴作对称

D.以x轴的某一条垂线为轴作轴对称.

答案：BD

变式训练1：

1.函数“r）=（e'-er）.sinx的大致图象为（

答案：D

2.解三角不等式

例15:不等式sin(2x+马，的解集为______________

32

答案：[x\-—+k7T<X<-+k7C.kEZ｝

124

3.利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题

|,>0,若函数图象上关于原点对称的点至

例16：已知函数/(X)=cos(x)u

-logd(-x),x<0(。>。且。*1)

少有3对，则实数。的取值范围是()

B•(汐

A"c(o4)D.(y-4)

答案：A

变式训I练2：若集合加=｛例5山62；,0«8«万｝,^=｛6>|cos<9<pO<6><^)Mr>N=

答案：『"努｝

3o

变式训练3：方程f=cosx的实数解的个数为

。案:|

题型2：值域与最值问题

1.利用三角函数的有界性和单调性求值域(或最值)

例"：求下列函数的值域；

(1)y=2sin(2x+—),xe—

362

(2)y=|sin^|+sinx

答案：(1)[-后,2](2)[0,2]

2.化为/(sinx)或^(cosx)型函数求值域(或最值)

例18：求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值:

(1)y=-sin2x+V3sinx+—;

4

/c、2・y兀71、

\2)y=cosx-sinx9xe[——，一]

44

5.,_1-V2

答案：(1)y=2;y=^--V3.(2)y

maxminm4；Jmin=2

3.分离常量求值域(或最值)

例19：求函数丁=也二的值域.

sinx-1

答案：||,+8)

变式训练4：求下列函数的值域:

(1)y=Vcos(sinx);(2)y=l-2sin2x+2cosx.

（2）l-13J

答案：（1）[VcoslJl；

题型3：单调性问题

1.求正、余弦型函数单调递减区间

（母题）例20：函数y=2sin（2x.）的单调递增区间为

答案：[--+k/r,—+k;r],kGZ

1212

子题1：函数y=-2sin（2x-§的单调减区间为

答案：|一~—+k7ri—+k7r],keZ

子题2：函数y=2sing-2x）+l的单调递增区间为.

答案：[2^+左江,口^+左江],4£Z

例21：已知函数/（x）=sin（s•十号侬＞0）在区间[-女，当上是增函数，且在区间10㈤上恰

336

好取得一次最大值1，则①的取值范围是（）

A.（0,-]C.[-,1]D.[l,-）

5256522

4案,

变式训练5:函数k2sinaq）aw[r,0]）的单调递增区间是（）

B.[—]一勺C.[-^,0]D.[-J,0]

o663o

答案：D

变式训练6:当/=?时，函数/(x)=sin(2/+°)取得最大值，则了⑴的一个单调减区间是

().

A•邑玛B.(g,当C.(f㈤D.(?㈤

633623

答案：B

2.比较大小

例22：比较下列各组数的大小

.10乃1.11万

(1)sin与s1n廿

17

5TI-14乃

(2)cos——与cos---;

39

(3)sin(cosa)与cos(sina)(0<a<9.

答案：(1)>(2)>(3)<

题型4：奇偶性与对称性问题

1.由函数奇偶性确定参数的值

例23:已知函数/(%)=&sin(x+军+0)是奇函数，则*的值可以是()

4

A.0B.--C.-D.乃

42

答案：B

2.三角函数图象的对称性

例24:如果函数y=3cosQ八十⑼的图象关于点(专,0)中心对称，那么IR的最小值为

答案：J

6

例25:已知函数/3=2的@¥+9)(0>0)的图象关于直线工=看对称，且吗)=0,贝1」力的

最小值为()

A.2B.4C.6D.8

答案：A

变式训练7：已知函数〉=5山(2%+夕)在％=工处取得最大值，则函数y=cosQx+0)的图象

6

()

A.关于点6,0)对称B.关于点(工0)对称

63

C.关于直线X=巳对称D.关于直线彳=工对称

63

答案：A

题型5:函数的周期性

例26：求下列函数的最小正周期.

⑴f(x)=；cosQx+[);

(2)f(x)=|sinx|.

答案：(1)]；(2)7T

例27:已知函数/a)=sin(o«十马(30),若函数/(八)图象的一个对称中心到对称轴的距

离的最小值为?，则/的值为

答案：I

变式训练8.已知产sinw3>0)的图象在。1]上有10个最高点，则o的取值范围为()

A.[—,—)B.[20^,22^]C.[—,—]DJ20肛221)

2222

答案：A

题型6:函数y=Asin(oir+e)性质的综合应用

例28:已知函数f(x)=2sin(2x+马+〃+1(其中a为常数).

6

(1)求/(幻的单调区间；

(2)当xe[0,多时，/a)的最大值为4,求a的值;

(3)求使取最大值时x的取值集合.

答案：(1)函数/(力的单调递增区间是[-£+以C+&m(kwz),单调递减区间是

36

[―+to,—+k兀](keZ).

(2)最大a=L(3){x\x=—+k^,keZ).

易错提醒

易错1：忽略有界性

例29:求函数y=cos?x+2asinx-3M€H的最大值.

答案：若aw[-1』时,最大值为/-2；

若av-1时，最大值为-加-3;

若a>l时，最大值为2a-3.

易错2：忽略定义域

例30：函数yfogzlsina+g］的单调增区间为

:(―g+2攵zr，k+2攵〃],左eZ

高考链接

考向1:正弦、余弦函数的图象

例31：函数/（劝=®二在［_肛）］上的图象大致为（）

COSX+X

考向2：正、余弦函数的单调性

例32：已知函数〃Msin⑶+》则/⑶的单调递增区间为--------

「2匕r7t2k冗7T..)

----------,------+—],keZ

34312

考向3：正余弦函数的最值

例33：设函数fa）=cos（B/）Q〉0）,若/*）«/（马对任意的实数式都成立，则。的最小

64

值为-

答案：I

例34:函数f(x)=sin2x+6cosx-](x£[0,g)的最大值是

答案：1

考向4：正、余弦函数的周期性与对称性

例35：函数f(x)=sin(2x+1)的最小正周期为()

A.47rB.2万C.兀D.—

2

串案J

变式探源1:逆向问题一一由一条对称轴方程确定参数值

1.己知函数尸sin(2x+e)(g<°<g的图象关于直线x对称，则尹的值是

答案：E

6

变式探源2：逆向问题一一由两条对称轴的方程确定①的值

2.若直线工=&»=芷是函数f(x)=sin奴3>0)图象的两条相邻的对称轴，则。=__

44

A.2B.-C.10.-

22

答案：A

考向5：正、余弦函数的综合问题

例37：关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下列四个结论:

①是偶函数；

②/(©在区间名㈤上单调递增；

③/*)在［-肛乃］上有4个零点；

④/*)的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是()

A.①②④B.②④C.①④D.①③

答案：c

基础巩固

1.函数〃x)=cos(&+g)的最小正周期为()

26

A.—B.C.2万D.4万

2

2.下列函数的图象中，关于直线x=对称的是()

6

A.y=sin(x+y)B.y=sin(2x+y)C.y=cos(x+—)D.y=cos(2x+—)

3.若函数/(工)=(：05芭工£(-2%,2乃)，则不等式4。)>0的解集为()

A.(0,1)B.乌,2万)C.(-^-|)D.(0,g5.,2%)5-',一,

4在(0,2/r)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是()

A,冗冗、/54.口/兀、「,45不、c/万\✓5TF37r、

424444

5.方程sin%=lgx的实数根有()

A.1个B.2个C.3个D.无穷多个

6.已知函数f(x)=sin(2x+三)，则()

AJ(x)的最小值为-1B.点脸,。)是/⑴的图象的一个对称中心

CJ&)的最小正周期为乃D./U)在(-1,0)上单调递增

6

能力提升

7.函数/(x)=sin(2x-?)在区间［0弓］上的最小值为()

A.-lB.--C.—D.0

22

8.设fa)=cos(x+§,则下列结论错误的是()

A.7(x)的一个周期为-2%B.y=/(x)的图象关于直线x片对称

C./(x+7)的一个零点为x=gD./(x)在(工㈤上单调递减

62

9.已知奇函数/(x)=2cos@