专题五 探究性几何-2021年中考数学三轮冲刺复习专项训练

2021年中考数学三轮冲刺复习专题五探究性几何

一、单选题

1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角相等

2.小亮是一个很爱动脑筋的小男孩.一天，小亮正准备把一卷用完了的透明胶扔掉时，他突发奇想，如果

我把它叠成了一个正六边形，那该多好啊！于是小亮开始动手折叠.折叠步骤如下：第一步，把2米长的

长方形透明胶沿AB折叠，A8=2cm；第二步，沿8折叠；第三步，沿EF折叠回原来位置，这时刚好叠成

正六边形的第一层，然后依次重复上述折叠过程，间最多可叠（）层

A.16B.20C.22D.19

3.如图，在△ABC中，ZC=90°,以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、

N为圆心，大于*MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法错误的是

（）

B.点D到AB边的距离就等于线段CD的长

C.SAABD=SAACDD.AD垂直平分MN

4.如图，AB与。。相切于点B,OA=2,NOAB=30。，弦BCIIOA,则劣弧馥;的长是（）

一,拓

C.HD.云

5.一个大矩形按如图方式分割成6个小矩形，且只有标号为②，④的两个小矩形为正方形，若要求出

△ABC的面积，则需要知道下列哪个条件？（）

A.⑥的面积B.③的面积C.⑤的面积D.⑤的周长

6.如图，在△ABC中，ZACB=a,将△ABC绕点C顺时针方向旋转到△ABC的位置，使AA1IBC,设旋转

角为B，则a,6满足关系（）

A.a+B=90°B.a+20=18O°C.2a+B=180°D.a+B=180°

7.如图，菱形OABC的顶点。在坐标原点，顶点A在x轴上，ZB=120°,0A=2,将菱形OABC绕原点顺时

8.如图，四边形ABCD中，ADIIBC,ZABC+ZDCB=90°,且BC=2AD,以AB、BC、DC为边向外作正方形,

其面积分别为Si、Sz、SB,若Si=3,53=9,则S2的值为（）

A.12B.18C.24D.48

9.如图，正方形ABCD的边长为2,其面积标记为Si,以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角

三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2,…按照此规律继续下去，则S2016的值为

()

10.下图是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以◎为起点结六条线©星.◎啜”魏一.◎步，@固;@配后，

再从线期虱上某点开始按逆时针方向依次在凝说尊织麻暧:，◎幻，◎宏，QF，◎成…上结网,

若将各线上的结点依次记为1、2、3、4、5、6、7、8、...，那么第2020个结点在()

A.线像/上B.线OD上C.线OE上D.线腐上

二、填空题

11.如图，点E为矩形息馥&的总西边上一点，以窗宵:为折痕将△就就:向上折叠，点B恰好落在.总演

边上的点F处，若息曹•=岁，彦呢=多则懿:的长是.

13.找出如下图形变化的规律，则第100个图形中黑色正方形的数量是.

■=■口=......

图..■■■■■■■■■■■■

(1)(2)(3)(4)(5)

14.如图，给正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5.若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方

向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次"移位如：一小球在编号为3的顶

点上时'那么它应走3个边长，即从3玲4玲5玲1为第一次"移位"，这时它到达编号为1的顶点；然后从

1玲2为第二次"移位若这个小球从编号为2的顶点开始，第2019次"移位"后，则它所处顶点的编号是

15.已知正方形ABCiDi的边长为1,延长CiDi到Ai,以AiCi为边向右作正方形A1C1C2D2,延长C2D2

到A2,以A2c2为边向右作正方形A2c2c3D3(如图所示)，以此类推....若AiJ=2,且点A,D2,

D3,…，Dio都在同一直线上，则正方形A9c9C10D10的边长是.

三、综合题

16.如图，在数轴上方作一个4x4的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连结四边中点A,B,C,D得

到一个正方形，点A落在数轴上，用圆规在点A的左侧的数轴上取点E使AE=AB.若点A在原点右侧且到

原点的距离为1个单位，则点E表示的数是。

17.阅读：如图1,G是四边形ABCD对角线AC上一点，过G作GEIICD交AD于E,GFIICB交AB于F,若

EG=FG,则有BC=CD成立，同时可知四边形ABCD与四边形AFGE相似.

公路

图2

解答问题：有一块三角形空地，如图2,△ABC,BC靠近公路，现需在此空地上修建一个正方形广场，其

地为草坪，要使广场一边靠公路，且面积最大，如何设计？请你在下面的图中画出此正方形，（不写画法,

保留痕迹）

18.问题背景:

如图1:在四边形ABCD中，AB=AD,NBAD=120。，ZB=ZADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点，且

NEAF=60。.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE2AADG,再证明

△AE这AAGF,可得出结论，他的结论应是什么;

探索延伸:

如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分别是BC,CD上的点，且NEAF=*

工

zBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西30。的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。

的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度

前进，舰艇乙沿北偏东50。的方向以80海里/小时的速度前进，L5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇

分别到达E,F处，且两舰艇之间的夹角为70。，试求此时两舰艇之间的距离.

19.如图

（1）问题背景：如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,NBAD=120。，NB=NADC=90°,E、F分别是BC,

CD上的点，且NEAF=60。，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是延

长FD到点G,使DG=BE,连结AG,先证明△ABE空△ADG,再证明△AEF空△AGF,可得出结论，他的结

论应是;

（2）探索延伸：如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,NB+ND=180。，E,F分别是BC,CD上的点，

且NEAF=与NBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）结论应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（。处）北偏西30。的A处，舰艇乙在指

挥中心南偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60

海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50。的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观

测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰艇与指挥中心。之间夹角NEOF=70。，试求此时两舰艇之间的

距离.

20.如图1,点0是线段AD的中点，分别以A。和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角

形OCD,连接AC和BD,相交于点E,连接BC.

s

（2）求NAEB的大小.

（3）如图2,aOAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将AOCD绕点。旋转（ZkOAB和AOCD

不能重叠），求NAEB的大小.

21.如图，已知△ABC。以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE、CD。

（1）请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹卜

（2）证明:BE=CDo

22.如图，C是募赢的一定点，D是弦AB上的一定点，P是弦CB上的一动点.连接DP,将线段PD绕点P

顺时针旋转除f得到线段我W.射线覆物与.蜀叔交于点Q•已知短史=会由，设P，C两点间的距离为

xcm.P,D两点间的距离p,Q两点的距离为竽产工

小石根据学习函数的经验，分别对函数居，羯,随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小

石的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了芳1，与x的几组对应值：

x/cm0123456

■4.293.331.651.221.502.24

/cm

相

0.882.843.574.044.173.200.98

/cm

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数据所对应的点我小胡，并画出函

数居，海的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ,当△DPQ为等腰三角形时，PC的长度约为cm.（结果

保留一位小数）

23.如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90。，EC的延长线交BD于

点P.

（1）把△ABC绕点A旋转到图1,BD,CE的关系是（选填"相等"或"不相等"）；简要说明理由；

（2）若AB=3,AD=5,把△ABC绕点A旋转，当NEAC=90。时，在图2中作出旋转后的图形，求PD的值,

简要说明计算过程；

（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为,最大值为.

24.。。的半径为5,AB是。。的直径，点C在。。上，点D在直线AB上.

（1）如图（1）,已知NBCD=NBAC,求证：CD是。。的切线；

（2）如图（2）,CD与0。交于另一点E.BD：DE：EC=2：3：5,求圆心。到直线CD的距离；

（3）若图（2）中的点D是直线AB上的动点，点D在运动过程中，会出现C,D,E在三点中，其中一点

是另外两点连线的中点的情形，问这样的情况出现几次？

25.如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是t*怎，点P为一个动点，过点P作x轴的垂线物理，垂

足为H,点P在运动过程中始终满足步.=好环（提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为值二不中、

闻小3,则加城=如一侬山鹉一第方

（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0.5）

（2）设动点P的坐标为乐:e,求y关于X的函数表达式：填写下表，并在给定坐标系中画出函数的图

（3）点C关于x轴的对称点为叁,，点P在直线篁：＞的下方时，求线段.好长度的取值范围

26.（操作体验）

如图①，已知线段AB和直线I,用直尺和圆规在I上作出所有的点P,使得NAPB=30。，如图②，小明的

第一步：分别以点A,B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点。；

第二步：连接OA,0B；

第三步：以0为圆心，0A长为半径作。0,交I于步”好雪；

所以图中外,•玛即为所求的点.（1）在图②中，连接步题:好圈说明N酰通=30。

（方法迁移）

（1）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P,使得NBPC=45。，（不写做法，保留作图痕

迹）.

（2）已知矩形ABCD,BC=2.AB=m,P为AD边上的点，若满足NBPC=45。的点P恰有两个，则m的取值范

围为•

（3）已知矩形ABCD,AB=3,BC=2,P为矩形ABCD内一点，且NBPC=135。，若点P绕点A逆时针旋转90。

到点Q，则PQ的最小值为.

27.

（1）如图1，已知圆◎，点，4、存在圆上，且d的圆密为等边三角形，点烂为直线?与圆◎的一个交

点.连接我婀密，证明：N且号龙=兮4

（2）【方法迁移】如图2,用直尺和圆规在矩形息感直:超内作出所有的点步，使得连露婆：=4手（不写

作法，保留作图痕迹）.

（3）【深入探究】己知矩形总感短a能：=当£,息密=蒲，浮为盘为边上的点，若满足

z起步值：=4.窗的点p恰有两个，求输的取值范围.

（4）已知矩形息馥&,*盛=£虢:=•事,修为矩形息馥虫内一点，且央号照=j*r，若点

烂绕点且逆时针旋转M到点融，求烂蹩的最小值，并求此时，艰聆的面积.

⑴

答案解析部分

一、单选题

1.B

2.C

3.C

4.B

5.A

6.C

7.A

8.D

9.C

10.B

二、填空题

11.10

12.②⑤

13.150个

14.1

15.f

三、综合题

16.「垂

17.如图四边形EFGH即为所求:

18.解：问题背景：

EF=BE+DF,证明如下:

在^ABE和4ADG中，

甲管=港法

国=濯期海,

离=.僦7

.".△ABEm△ADG(SAS),

，AE=AG,NBAE=NDAG,

ZEAF=BAD,

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,

ZEAF=ZGAF,

在4AEF和4GAF中，

=舄◎

W就您.螃=

1睛*=总声

：.△AEF号△AGF(SAS),

EF=FG,

FG=DG+DF=BE+DF,

EF=BE+DF；

故答案为EF=BE+DF.

探索延伸：

上述结论EF=BE+FD成立，

理由：如图2,延长FD到点G,使得DG=BE,连接AG,

G

ZB=ZADG,

AB=AD,

△ABEm△ADG(SAS),

AE=AG,ZBAE=ZDAG,

•••ZEAF=BAD,

1

・•.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZDAF+ZBAE=ZBAD-ZEAF=*NBAD,

/.ZGAF=ZEAF,

又..AG=AE,AF=AF,

・•.△AFG2△AFE(SAS),

・•.EF=GF,

,/GF=DF+DG=DF+BE,

/.EF=BE+FD；

实际应用：

如图3,连接EF,延长AE、BF相交于点C,

图3

在四边形AOBC中，

1

ZAOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,NFOE=70°=AOB,

Jk.

又OA=OB,ZOAC+ZOBC=(90°-30°)+(70°+50°)=60°+120°=180°,

・・•图3符合探索延伸的条件，

,EF=AE+FB=1.5x(60+80)=210(海里)，

即此时两舰艇之间的距离210海里.

19.(1)EF=BE+DF

(2)解:EF=BE+DF仍然成立

证明如下:延长FD到G,使DG=BE,

连接AG,如图2

ZB+ZADC=180"

ZADC+ZADG=180°

ZB=ZADG

在』ABE和^ADG中

f盯察〜彦

:连龙口£上四卷

(.意港匚久心

/.△ABEM△ADG(SAS)

/.AE=AG,ZBAE=ZDAG

,/ZEAF=ZBAD

11

/.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=:争NBAD

/.ZEAF=ZGAF

|i乌瑟Ei律

在^AEF和△GAF中A&■舄蕃二:段蜕靖

I.，妍

JI就医

心溪蕊•小仁区线睛$

1舄产口;好

△AEF些△AGF(SAS)

EF=FG

•・,FG=DG+DF

「.EF=BE+DF

(3)解：如图，连接EF,延长AE、BF相交于点C

由题意得：ZAOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,NEOF=70°

ZEOF=ZAOB

又••OA=OB,ZOAC+ZOBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°

「•符合⑵的条件

・,・结论EF=AE+BF成立

EF=1.5x(60+80)=210海里

答：此时两舰艇之间的距离是210海里.

20.(1)证明：..煤尊工短◎且小毓雅、粉@箱都为等边三角形,

；«?=或@4=慈比

:2流出=&『，

:求:◎喔为等边三角形，

..区.砒接=工1彦密=「%r,

在山调蜜:和醒随窗中，

j趣=算毅

酸：=感算，

匕号《溷=£4馥：

.-.丛镭君笃缠施密

(2)证明:如图所示:

•・•△6@算和Z\d遨◎都是等边三角形，

且点。是线段国为的中点，

.■.&£}=&^-.=G®=1=X2=®r，

...X4=2季,

又■.■X441£S=

:心=氯「

同理，£，6=案5"，

二金用虑潘=

;星国成濯=6：便

(3)证明：如图所示:

,/A后◎算相△,缄◎都是等边三角形，

.侬=磔&溪1=区2=6。

又•.•©©=»

..侬?=嗨*04=CC%

.•.溪4=溪至，溪五=溪胃.

..溪步《斓=溪1+溪昌.

H点CC：=S3T

：.花加密=溪且◎窗：

.^44X,54迄期魏=1M:笈6+W744僦她;=1卷Q"，

」.当富士=/金&

.'.£%=金却

又..：公笈成需=H0一意第,厘超=&±4淀&

...溪且龙港=XI4溪⑥一H寺;=溪厘+XS-X§：=X3»

:片.蝠啬=&cr

21.(1)解：如图

(2)证明：

V△ABD和4ACE都是等边三角形,

.,.AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°

.,.ZBAD+ZBAC=NCAE+ZBAC

即NCAD=ZEAB

F靖=,姆

V在aCAD和^EAB中，：：X短皤=X龙且曷

用底：=.息彦

/.△CAD合△EAB

.,.BE=CD

22.(1)2.36

(2)解：函数yi、丫2的图象如图所示:

(3)1.26或5.84

23.(1)解：相等

理由：,「△ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

/.BA=CA,ZBAD=ZCAE,DA=EA,

△ABD皂△ACE,

BD=CE；

(2)解：作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示:

,/ZEAC=90°,

ZPDA=ZAEC,ZPCD=ZACE,

/.△PCD-△ACE,

.算盘cs

,,维二曾

二•PD=/料;

若点B在AE上，如图2所示:

•・•ZBAD=90°,

中，血济二=毋「

RSABDBD=BE=AE-AB=2,

,/ZABD=ZPBE,ZBAD=ZBPE=90°,

二△BAD-△BPE,

•­•S=B即誓嗑,

解得PB=磊朝

PD=BD+PB=M+袅桓'=普跖,

(3)1；7

24.(1)证明：如图(1),连接0C,

OA=OC,

ZOAC=ZOCA,

又「AB是。。的直径,

ZACB=90°,

又ZBCD=ZBAC=ZOCA,

ZBCD+ZOCB=90°,即OC±CD,

.CD是。。的切线

(2)解：；NADE=NCDB,ZBCD=ZEAD,

，△BCD-△EAD,

.S幽

••近=凄

.窿砂盛建

":微一的'-'菰，

又•••BD：DE：EC=2：3：5,。。的半径为5,

/.BD=2,DE=3,EC=5,

如图(2),连接OC、0E,则AOEC是等边三角形,

作OFXCE于F,则EF=4CE=旨，0F="后,

圆心。到直线CD的距离是a而.

图（2）

（3）解：这样的情形共有出现三次：

当点D在。。外时，点E是CD中点，有以下两种情形，如图1、图2；

当点D在。。内时，点D是CE中点，有以下一种情形，如图3.

25.（1）解：若点P经过点C,则PH=5,

/.PF=PH,

故点P经过点c；

（2）解：由PH=PF得仅一用（，/一'盟望=承，

化简得：炉=，承一•冽：4■各

故y与x的函数表达式为呈=黜._当；一骗

分别将x=0、2、4,6、8代入表达式中，则对应的y=5、2、1、2,5,

填写表格为:

式02468

呼52125

函数图象如下:

（3）解：设直线总:浮的函数表达式为丫=1«<+13,

将点F（4,2）、点宏（0,-5）代入，得:

解得：尸，

%=-S

直线宏^的函数表达式为炉=事.一%

将苗=争、一%代入承一室4•茅得：

条-5=§承一虫+