人教A版数学(选择性必修一讲义)第35讲拓展四：圆锥曲线的方程(面积问题)(学生版+解析)

第10讲拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）一、知识点归纳知识点一：三角形面积问题直线方程：知识点二：焦点三角形的面积直线过焦点的面积为注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数知识点三：平行四边形的面积直线为，直线为注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.知识点四：范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）（注意分三种情况讨论）（2）当且仅当时，等号成立（3）当且仅当时等号成立.（4）当且仅当时，等号成立(5)当且仅当时等号成立.二、题型精讲题型01椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积.【典例2】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知椭圆C：的一个焦点为，且离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．【典例3】（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆相外切，与圆相内切.(1)求动圆的圆心的轨迹方程；(2)过点的两直线，分别交动圆圆心的轨迹于、和、，.求四边形的面积.【变式1】（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点运动时，点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线相交于点，与轴相交于点，过点的另一条直线与相交于两点，且的面积是面积的倍，求直线的方程．

【变式2】（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点．(1)求椭圆的焦距和离心率；(2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线；(3)若是椭圆上的点，且，求的面积．【变式3】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知椭圆C：的上顶点为K，左右顶点分别为A，B，，的周长为．(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，O，B关于直线L对称，过直线L与x轴的交点作斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（异于A，B两点），直线AM，AN分别交直线L于P，Q两点，当四边形APBQ的面积为4时，求k的值．题型02椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，的上顶点到右顶点的距离为.(1)求的方程；(2)，为上的动点，设直线，的斜率分别为，，且.求的面积的最大值.【典例2】（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知的两顶点坐标．(1)求动点的轨迹的方程；(2)不垂直于轴的动直线与轨迹相交于两点，定点，若直线关于轴对称，求面积的取值范围．【典例3】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；(2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.①求证：直线恒过一定点；②设的面积为，求的最大值.【变式1】（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，的周长为8，且点在上．(1)求椭圆的方程；(2)设直线与圆：交于C，D两点，当时，求面积的取值范围．

【变式2】（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆．(1)求该椭圆的离心率；(2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为；(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△的面积的最小值．【变式3】（2023·北京大兴·校考三模）已知椭圆过点，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)直线分别交椭圆于、两点，若线段的中点在直线上，求面积的最大值.题型03双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知双曲线，及直线.(1)若与有且只有一个公共点，求实数的值；(2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线C的标准方程与离心率；(2)已知斜率为的直线与双曲线C交于x轴下方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求的面积．【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为．点在第一象限的双曲线上，过点作双曲线切线与直线交于点．(1)证明：；(2)已知斜率为的直线与双曲线左支交于两点，若直线，的斜率互为相反数，求的面积．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.【变式2】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，且，都在圆上，连接双曲线C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设P是双曲线C与圆在第一象限的交点，求的面积．题型04双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为2，记的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过的直线交曲线于两点（均位于轴右侧），关于原点的对称点为，求的面积的取值范围.【典例2】（2023·浙江金华·模拟预测）P是双曲线右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．(1)记P，Q的纵坐标分别为，求的值；(2)记的面积分别为，当时，求的取值范围．【变式1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点.以G为圆心作一个半径为6的圆，点P是圆上一动点，线段AP的垂直平分线与直线GP相交于点Q.(1)求Q的轨迹方程；(2)过原点斜率为的直线l交曲线Q于B，C两点，求四边形GBAC面积的最大值.【变式2】（2023·高二课时练习）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.(1)若点是的中点，求的值；(2)求面积的最小值.【变式3】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知双曲线，(1)求的值；(2)若线段的垂直平分线与抛物线交于两点，求的面积.【变式1】（2023·陕西安康·统考三模）已知抛物线的焦点为.(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线与抛物线交于两点，为抛物线上的点，且，，求的面积.【变式2】（2023秋·青海西宁·高二校考期末）设椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为4，且点为椭圆上一点.拋物线的焦点与点关于直线对称.(1)求椭圆及抛物线的方程；(2)直线与椭圆交于，与拋物线交于（异于原点），若，求四边形的面积.题型06抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设是抛物线上一点．(1)求抛物线方程；(2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M做两条直线分别交抛物线于A，B两点，若直线与的倾斜角互补，求面积的最大值．【典例2】（2023秋·高二单元测试）已知抛物线，点在抛物线上，且点到抛物线的焦点的距离为.(1)求；(2)设圆，点是圆上的动点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两点，求的面积的最大值.【变式1】（2023春·江苏南通·高二期末）抛物线的焦点，过C的焦点F斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，的面积为(1)求抛物线C的方程；(2)若P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求面积S的最小值．【变式2】（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为，且点与圆上点的距离的最小值为．(1)求的值；(2)若点在圆上，过点做抛物线的两切线，其中是切点，求面积的最大值．

第10讲拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）一、知识点归纳知识点一：三角形面积问题直线方程：知识点二：焦点三角形的面积直线过焦点的面积为注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数知识点三：平行四边形的面积直线为，直线为注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.知识点四：范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）（注意分三种情况讨论）（2）当且仅当时，等号成立（3）当且仅当时等号成立.（4）当且仅当时，等号成立(5)当且仅当时等号成立.二、题型精讲题型01椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由椭圆的定义可得，所以，，又因为，则，所以，椭圆的标准方程为.（2）解：设点、，由题意可知，直线的方程为，即.联立可得，解得，，

所以，.【典例2】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知椭圆C：的一个焦点为，且离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意得，，所以，，所以椭圆C的方程为.（2）因为直线的倾斜角为，所以斜率为，又直线过点，所以直线，联立，消去并整理得，，设，，则，，所以，所以.

【典例3】（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆相外切，与圆相内切.(1)求动圆的圆心的轨迹方程；(2)过点的两直线，分别交动圆圆心的轨迹于、和、，.求四边形的面积.【答案】(1)；(2).【详解】（1）设动圆的半径为，，∴，，∴，∴是以，为焦点，以为长轴长的椭圆，可设方程为，则，，∴的轨迹方程是；（2）

设，（为0时不符合题意），，，联立与椭圆的方程得：，，∴，同理设，不为0，可得，∴，∴，不妨取，，此时，∴而，同理，∴.【变式1】（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点运动时，点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线相交于点，与轴相交于点，过点的另一条直线与相交于两点，且的面积是面积的倍，求直线的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为点为线段的垂直平分线与半径的交点，所以，所以，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，在椭圆中，所以曲线的方程为．（2）由已知得，所以直线的方程为，所以点的坐标为．当直线的斜率不存在时，，或都与已知不符；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得，易知，则，，由的面积是面积的倍可得，化简得，即，又，所以，即，也就是，所以，解得，所以直线的方程为．

【变式2】（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点．(1)求椭圆的焦距和离心率；(2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线；(3)若是椭圆上的点，且，求的面积．【答案】(1)焦距为，离心率为(2)证明见解析(3)【详解】（1）由可知，，，故，所以焦距，离心率．（2）设，，由题意，，，，，，，，又，所以，得，方法一：由三点共线，则，即，同理可得，三点共线，则，即，故，即，又，，所以，所以，由，整理得，所以有，又，故，所以，所以三点共线．方法二：因为，，则，由得直线的方程为，与椭圆联立，得，则，所以，同理得，所以，，即三点共线．

（3）设，因为，，，①当直线的斜率不存在时，则，所以，，又是椭圆上的点，此时，故，②当直线的斜率存在时，可设，由，得，所以，，所以，又点在椭圆上，代入整理得，，从而，于是，点到直线的距离，所以．

【变式3】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知椭圆C：的上顶点为K，左右顶点分别为A，B，，的周长为．(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，O，B关于直线L对称，过直线L与x轴的交点作斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（异于A，B两点），直线AM，AN分别交直线L于P，Q两点，当四边形APBQ的面积为4时，求k的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴，①∵的周长为，∴，②联立①②，解得，，∴椭圆C的方程．（2）易知，，直线L：，直线L与x轴的交点为，设直线MN的方程为，联立直线MN与椭圆的方程，消去y得，设，，则，，，直线AM的方程为，令，则，∴；直线AN的方程为，令，则，∴，∵四边形APBQ的面积为4，∴，即，则，因此，即，化简得，将，代入得，进而，∴，化简得，进而，故．题型02椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，的上顶点到右顶点的距离为.(1)求的方程；(2)，为上的动点，设直线，的斜率分别为，，且.求的面积的最大值.【答案】(1)(2)1【详解】（1）由题意，在椭圆中，离心率为，由题知：，解得：，∴椭圆的方程为.（2）由题意及（1）得，在中，，为上的动点，设，，所以，，，∴，即，由对称性知直线斜率存在，设直线，

将代入，得：，∴，，，∵，∴，设到直线的距离为，，∵，，当且仅当时取等号，即，时，取最大值1.【典例2】（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知的两顶点坐标．(1)求动点的轨迹的方程；(2)不垂直于轴的动直线与轨迹相交于两点，定点，若直线关于轴对称，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，所以，因此动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且去掉椭圆与轴的交点，

设椭圆的标准方程为，则，解得，所以动点的轨迹的方程为．（2）由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，点，把代入椭圆方程可得：，，化为．，直线关于轴对称，，即，且，则，即，所以，化简得，所以，故直线经过定点．令，由于在上单调递增，所以，故因此，．【典例3】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；(2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.①求证：直线恒过一定点；②设的面积为，求的最大值.【答案】(1)，曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左､右顶点.(2)①证明见解析；②最大值为.【详解】（1）由题意，得，化简得，所以曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左､右顶点.（2）如图，

①证明：设.因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意，所以直线的斜率必不为0.设直线的方程为.由得，所以，且因为点是曲线上一点，所以由题意可知，所以，即因为所以，此时，故直线恒过轴上一定点.②由①可得，，所以当且仅当即时等号成立，所以的最大值为.【变式1】（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，的周长为8，且点在上．(1)求椭圆的方程；(2)设直线与圆：交于C，D两点，当时，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为的周长为8，所以，解得，将点的坐标代入椭圆方程，得，解得，所以椭圆E的方程为．

（2）由（1）知圆的方程为，设直线l的方程为，则圆心到直线l的距离，由，可得．设，，联立方程组，消去x得，则，，所以，设，则，设，易知在上单调递增，则在上单调递增，因为，所以．

【变式2】（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆．(1)求该椭圆的离心率；(2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为；(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△的面积的最小值．【答案】(1)(2)详见解析；(3)【详解】（1）椭圆中，，则，则，则椭圆的离心率为（2）当切线斜率存在时，其方程可设为，由，整理得，则，则此时方程的根为，则切点横坐标，切点纵坐标，则，，则切线方程为，整理得；当切线斜率不存在时，其切点为或，切线方程为，满足.综上，点是椭圆C上一点时，过点P的椭圆C的切线方程为（3）设，，则椭圆C在点的切线方程分别为，，又在两条切线上，则，，则直线的方程为，即由整理得，，则，则，又点M到直线的距离，则△的面积为令，则，，则，令，，则恒成立，则在上单调递增，则当且仅当即点M坐标为时等号成立，则△的面积的最小值为.

【变式3】（2023·北京大兴·校考三模）已知椭圆过点，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)直线分别交椭圆于、两点，若线段的中点在直线上，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）

.又在椭圆上

.所以，椭圆方程为.（2）由已知直线的斜率存在.设直线方程为，，，由，得．由，得．①，．

又中点在直线上，

即，将之代入①得，所以．，点到直线的距离，．设，．．时，的最大值为．题型03双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知双曲线，及直线.(1)若与有且只有一个公共点，求实数的值；(2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值.【答案】(1)或(2)【详解】（1）由，消去，得①，当，即时，方程①有一解，与仅有一个交点（与渐近线平行时）.当，得与也只有一个交点（与双曲线相切时），综上得的取值是或；（2）设交点，由，消去，得，首先由，得且，并且，又因为与的左右两支分别交于A､B两点，所以，即，解得，故.因为直线l与y轴交于点，所以，故.解得或.因为，所以.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线C的标准方程与离心率；(2)已知斜率为的直线与双曲线C交于x轴下方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求的面积．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题意知焦点到渐近线的距离为，则因为一条渐近线方程为，所以，又，解得，，所以双曲线的标准方程为，离心率为．（2）设直线：，，，联立则，所以，由解得（舍）或，所以，：，令，得，所以的面积为，【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为．点在第一象限的双曲线上，过点作双曲线切线与直线交于点．(1)证明：；(2)已知斜率为的直线与双曲线左支交于两点，若直线，的斜率互为相反数，求的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为，所以，，解得，所以，双曲线的标准方程为，因为过点作双曲线切线与直线交于点，故切线的斜率存在，所以，设，在点的切线方程为，联立方程得所以，，即①因为，代入①式得，解得所以，在点的切线方程为，所以点的坐标为，即，因为，所以所以，（2）解：由题，设直线的方程为，与双曲线方程联立得，设，所以因为直线，的斜率互为相反数，所以，所以，整理得：②将代入②整理得：③结合可知时，③式恒成立，所以，由（1）可知，，，所以，所以的面积.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.【答案】(1)（）(2)【详解】（1）设动点，由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动.，，动点在右侧，有，同理有，∵四边形的面积为8，∴，即，所以所求轨迹C方程为（）.（2）如图，设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，，，在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，则或，同时或，解得或.

，解得或（舍去）.时，直线的方程为，联立，消y得：，则或，得.直线的方程为，联立，消y得：，则或，得，，点Q到直线的距离

，.方法二：，，，则，.【变式2】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，且，都在圆上，连接双曲线C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设P是双曲线C与圆在第一象限的交点，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）由双曲线方程知：焦点，∵，都在圆，∴，解得（负值舍去），∵连接双曲线C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为，∴，得，①又，②联立①②，解得，或，，∵，∴，舍去，∴，，故双曲线C的标准方程为．（2）由（1）知：，，∴是圆的直径，∴，∴，∴，∴．题型04双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为2，记的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过的直线交曲线于两点（均位于轴右侧），关于原点的对称点为，求的面积的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）设点，依题意有，即，化简得.（2）设，，由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，整理可得，则，.由已知可得，，所以，所以.又，所以.设，则，且，所以.，当时，该式有最小值，所以的面积的取值范围是.【典例2】（2023·浙江金华·模拟预测）P是双曲线右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．(1)记P，Q的纵坐标分别为，求的值；(2)记的面积分别为，当时，求的取值范围．【答案】(1)3(2)【详解】（1）由已知条件得：，设PA，PB的斜率分别为，则QA，QB的斜率分别为，由即有．由即有而，．（2）由于，显然P，Q，B，A四点共圆，PO为直径，PQ中点为圆心，又则，

①，又

②，得：，解得．由，，而．．因为，根据单调性，求得【变式1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点.以G为圆心作一个半径为6的圆，点P是圆上一动点，线段AP的垂直平分线与直线GP相交于点Q.(1)求Q的轨迹方程；(2)过原点斜率为的直线l交曲线Q于B，C两点，求四边形GBAC面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）如下图所示，由题意可知点Q在线段AP的垂直平分线，所以，又点P是圆G上一动点，所以，所以；同理，若如下图所示则满足，所以，Q的轨迹满足，根据双曲线定义可知，Q点的轨迹是以为左右焦点，实轴长为的双曲线，可得，；所以Q的轨迹方程.（2）如下图所示，设直线l的方程为，联立整理可得，解得，不妨设，所以四边形GBAC面积又因为，所以，当时等号成立；即，所以四边形GBAC面积的最大值为.【变式2】（2023·高二课时练习）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.(1)若点是的中点，求的值；(2)求面积的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）设联立直线与双曲线方程，消去得，由韦达定理可知，联立直线与其中一条渐近线方程，解得即，同理可得，则，则可知的中点与中点重合.由于是的中点，所以，解得；（2）与联立，消去得由（1）知，.或由于，所以，又到直线的距离，所以整理得，令，则，当，即时，的最大值为2，所以的最小值为.【变式3】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知双曲线，其左、右焦点分别为、，上有一点P满足，．(1)求b；(2)过作直线l交于B、C，取BC中点D，连接OD交双曲线于E、H，当BD与EH的夹角为时，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意,，，，在中,由余弦定理得，，则，即，.（2）双曲线，，设直线BC的方程为，由，得，即，由题意，，设，则，则，则，则，，直线的方程为，由，得，由题意，解得，设，则，当BD与EH的夹角为时，，则，得，可知，所以，，，，，所以，即的取值范围是．题型05抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知抛物线T：和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点．(1)若F恰是椭圆C的焦点，求的值；(2)若，且恰好被平分，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）在椭圆中，，所以，由，得．（2）设直线l：，，，联立方程，消去x得，，则，设的中点，则，，设，，则直线MN的斜率为，，，相减得到，即，即，解得，由点G在椭圆内，得，解得，因为，所以p值是1，所以面积．【典例2】（2023春·湖北孝感·高二统考期中）如图所示，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为(1)求的值；(2)若线段的垂直平分线与抛物线交于两点，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由于点，可得，所以，所以直线的为，即，联立方程组，整理得，设，可得，且，又由，可得，所以，即，解得，所以抛物线的方程为.（2）解：设中点为，由（1）知，所以，所以，即，联立方程组，整理得，易得，设，可得，所以，所以.【变式1】（2023·陕西安康·统考三模）已知抛物线的焦点为.(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线与抛物线交于两点，为抛物线上的点，且，，求的面积.【答案】(1)；(2)32【详解】（1）解：由已知可得，解得，∴拋物线的方程为；（2）解：如图所示：

设，，，若轴，由得，，或，，此时不满足，∴不满足题意；设直线的方程为，直线的方程为，将代入抛物线方程得，，∴， .将代入抛物线方程得，∴①.直线的斜率为，同理直线的斜率为.∵，∴，∴，即②.由①②解得，将其代入①可得，解得或，当时，直线的方程为，，.∵，满足，∴， .∴，∴.同理可得，当时，直线的方程为，，，∵，满足，∴， .∴，∴，∴的面积为32.【变式2】（2023秋·青海西宁·高二校考期末）设椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为4，且点为椭圆上一点.拋物线的焦点与点关于直线对称.(1)求椭圆及抛物线的方程；(2)直线与椭圆交于，与拋物线交于（异于原点），若，求四边形的面积.【答案】(1)椭圆方程为，抛物线的方程为(2)【详