人教A版数学(选择性必修一讲义)第25讲第二章直线和圆的方程测评卷(综合卷)(学生版+解析)

，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023·江苏·高二假期作业）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（

）A．B．C．以点为直角顶点的直角三角形D．以点为直角顶点的直角三角形10．（2023春·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期中）已知圆：与圆：外切，则的值可以为（

）A． B． C． D．11．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知直线与圆，则（

）A．直线与圆一定相交 B．直线过定点C．圆心到直线距离的最大值是 D．使得圆心到直线的距离为2的直线有2条12．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知分别为圆与圆上的两个动点，为直线上的一点，则（

）A．的最小值为B．的最小值为C．的最大值为D．的最小值为三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若两条平行直线：与：间的距离为2，则______.14．（2023秋·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______15．（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为______.16．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）对非原点O的点M，若点在射线上，且，则称为M的“r-圆称点”，图形G上的所有点的“r-圆称点”组成的图形称为G的“r-圆称形”．的“3-圆称点”为______，圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为______．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线，求：(1)过点且与直线l平行的直线的方程；(2)过点且与直线l垂直的直线的方程．18．（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知直线，.(1)若，求实数的值；(2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值.19．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上．(1)求圆的方程；(2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．20．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知圆经过点，，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.(1)求圆的方程；(2)求过点的圆的切线方程.21．（2023秋·高一单元测试）已知直线：与圆O：相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．

(1)求的取值范围；(2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．22．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点．(1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心；(2)当弦长时，求直线的方程；(3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．

第二章直线和圆的方程章节验收测评卷(综合卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）直线的倾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【详解】因为的斜率，所以其倾斜角为30°.故选：A.2．（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知命题：直线与平行，命题，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】直线与平行，则，解得或，所以命题等价于或，命题．则由命题不能得到命题，但由命题可得到命题，则是的充分不必要条件．故选：A．3．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以圆的标准方程为.故选：A4．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题知：，，，，.因为和有公共点，所以，解得.故选：C5．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】过点作，垂足为点，如图所示：设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，此时；当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故选：D.6．（2023秋·高一单元测试）已知实数满足，则的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【详解】法一：令，则，代入原式化简得，因为存在实数，则，即，化简得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，则，，所以，则，即时，取得最大值，法三：由可得，设，则圆心到直线的距离，解得故选：C.7．（2023·全国·模拟预测）设，均为正实数，若直线被圆截得的弦长为2，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】圆的圆心为，半径为，由题意可知，圆心到直线的距离为，两边平方并整理，得，由基本不等式可知，，即，解得或，当且仅当时，取等号，于是有或,的取值范围是.故选：C.8．（2023秋·湖南张家界·高二统考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，点M在圆上，取点，连接，有，当点不共线时，，又，因此∽，则有，当点共线时，有，则，因此，当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取等号，所以的最小值为.故选：C二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023·江苏·高二假期作业）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（

）A．B．C．以点为直角顶点的直角三角形D．以点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：AC10．（2023春·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期中）已知圆：与圆：外切，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，因为圆：与圆：外切，所以，即，解得或.故选：AC.11．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知直线与圆，则（

）A．直线与圆一定相交 B．直线过定点C．圆心到直线距离的最大值是 D．使得圆心到直线的距离为2的直线有2条【答案】AB【详解】可化为，对于B，令，解得，则直线过定点，B正确；可化为，所以圆心的坐标为，半径为3.对于A，，则点在圆内，从而直线与圆一定相交，故A正确；对于C，设圆心到直线的距离为，则，则C错误；对于D，因为圆心到直线的距离为2，所以，解得，所以使得圆心到直线的距离为2的直线有且仅有1条，则D错误．故选：AB12．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知分别为圆与圆上的两个动点，为直线上的一点，则（

）A．的最小值为B．的最小值为C．的最大值为D．的最小值为【答案】AC【详解】圆的标准方程为，所以其圆心为，半径为，圆的标准方程为，所以其圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，则解得即.如图，连接交直线于点，连接，此时三点共线，最小，则最小，所以3，故A正确、B错误；因为，所以当取到最大值且点共线时，取到最大值．由图可知，，所以的最大值为，故C正确；时，不能共线，最小值不存在，D错误.故选：AC三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若两条平行直线：与：间的距离为2，则______.【答案】或【详解】由题意可得：，解得或.故答案为：或.14．（2023秋·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______【答案】2【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆的圆心距，两圆内切，，可得，所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2．故答案为：2．15．（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为______.【答案】【详解】如图，曲线是以为圆心，以为半径的圆，则根据圆的性质可知，的最小值为，设关于直线的对称点为，则可得，解得，即，连接，分别交直线与圆于，则，当且仅当三点共线时取等号，此时取得最小值，所以的最小值为.故答案为:16．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）对非原点O的点M，若点在射线上，且，则称为M的“r-圆称点”，图形G上的所有点的“r-圆称点”组成的图形称为G的“r-圆称形”．的“3-圆称点”为______，圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为______．【答案】【详解】由题意得：，又，所以，又点在射线上，即在轴正半轴上，故的“3-圆称点”为；设圆（不包含原点）的一点，，设其“r-圆称点”为，则，即，又点在射线上，不妨设，，所以，整理得：，综上，，即，故圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为.故答案为：，.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线，求：(1)过点且与直线l平行的直线的方程；(2)过点且与直线l垂直的直线的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为直线的斜率为，所以与直线l平行的直线的斜率为，又所求直线过，所以所求直线方程为，即．（2）因为直线的斜率为，所以与直线l垂直的直线的斜率为，又所求直线过，所以所求直线方程为，即．18．（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知直线，.(1)若，求实数的值；(2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值.【答案】(1)(2)或【详解】（1）直线，．则，解得或，当时，，，则直线，重合，不符合题意；当时，，，则直线，不重合，符合题意，故.（2）当，即时，，直线在两坐标轴上的截距为，满足直线在两个坐标轴上的截距相等；当且时，则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，由题意可知，，解得，当时直线，显然不符合题意，综上所述，或．19．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上．(1)求圆的方程；(2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为圆过，则的中垂线过圆心，设的中点为，则，因为，所以的中垂线方程为，即，又圆心在，联立，解得，因此圆心，半径，所以圆的方程为.

.（2）因为，所以在圆外，过作圆的切线，若切线斜率不存在时，则切线方程为，满足与圆相切，若切线斜率存在时，设切线方程，即，则，解得，所以切线方程为，即.综上：切线方程为或.20．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知圆经过点，，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.(1)求圆的方程；(2)求过点的圆的切线方程.【答案】(1)选择见解析，(2)或【详解】（1）选择①：联立，解得，所以，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．

(1)求的取值范围；(2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．【答案】(1)(2)的最大值为2，取得最大值时【详解】（1）解法一：由题意知：圆心到直线的距离，因为直线与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，O三点构成三角形，所以，得，解得且，所以的取值范围为.解法二：联立，化简得：，得，因为A，B，O三点构成三角形，所以所以的取值范围为.（2）直线：，即，点O到直线距离：，所以所以，（且）设，则，所以所以当，即，即时，所以的最大值为2，取得最大值时.22．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点．(1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心；(2)当弦长时，求直线的方程；(3)设，试问是否