人教A版数学(选择性必修一讲义)第20讲2.4.1圆的标准方程(学生版+解析)

第07讲2.4.1圆的标准方程课程标准学习目标①理解圆的定义及确定圆的几何要素。②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。通过本节课的学习，了解与掌握确定圆的位置，大小的几何要素，能根据相关条件求出圆的标准方程，并能解决与圆有关的问题.知识点01：圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为,半径为,为圆上任意一点，可用集合表示为：知识点02：圆的标准方程我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.【即学即练1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.故选：A.知识点03：点与圆的位置关系判断点与：位置关系的方法:（1）几何法（优先推荐）设到圆心的距离为，则①则点在外②则点在上③则点在内（2）代数法将点带入：方程内①点在外②点在上③点在内【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？【答案】答案见解析【详解】圆心为,半径为5的圆的标准方程是．把点的坐标代入方程的左边,得,左右两边相等,点的坐标满足圆的方程,所以点在这个圆上．把点的坐标代入方程的左边,得,左右两边不相等,点的坐标不满足圆的方程,所以点不在这个圆上．又因为点到圆心A的距离．故点在圆内．知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;①若点在外，则;②若点在上，则;③若点在内，则;【即学即练3】（2021秋·高二课时练习）已知圆，则圆上的点到点距离的最大值为_____.【答案】6【详解】因为圆的方程为，所以圆心坐标为，半径,又圆心到点的距离为，所以圆上的点到点的距离的最大值为，故答案为：6题型01求圆的标准方程【典例1】（2023·高二课时练习）已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是______.【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）圆心在轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______．【变式2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）过三点、、的圆的圆心坐标为___________.题型02由圆的方程求圆心或半径【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（

）A．圆的圆心为，半径为5B．圆的圆心为，半径为C．圆的圆心为，半径为D．圆的圆心为，半径为【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（

）A． B．9 C．4 D．8【变式1】（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．12【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．2题型03点与圆的位置关系【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（

）.A． B．C． D．【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）点与圆的位置关系是（

）A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（

）A． B．C． D．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若点在圆内，则实数的取值范围为____________.题型04与圆有关的最值问题【典例1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆：，过点的两条直线，互相垂直，圆心到直线，的距离分别为，，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．4【典例2】（2023秋·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点，当圆到原点的距离在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程；【变式1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是__________．【变式2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)设为圆上的一个动点，为坐标原点，求的中点的轨迹方程.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（

）A． B．C． D．2．（2023·北京海淀·校考三模）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B．1 C． D．3．（2023春·四川南充·高二校考阶段练习）圆的圆心、半径是（）A．，4 B．，2 C．，4 D．，24．（2023春·新疆省直辖县级单位·高二校考开学考试）已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（

）A．（﹣1，1） B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}5．（2023秋·河北保定·高二统考期末）圆关于直线对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．6．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为；乙：该圆经过点；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（

）．A．2 B．4 C． D．8．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．3二、多选题9．（2023·江苏·高二假期作业）过点与且半径为2的圆的方程可以为（

）A． B．C． D．三、填空题10．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知直线平分圆且与互相平行，则的距离是__________.四、解答题11．（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知点求：(1)过点A，B且周长最小的圆的方程；(2)过点A，B且圆心在直线上的圆的方程.12．（2023秋·高一单元测试）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.B能力提升1．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）动直线平分圆的周长，则的最小值（

）A． B． C． D．2．（2023·河北邯郸·统考三模）在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（

）A． B．2 C．4 D．163．（2023·甘肃·模拟预测）已知，是圆上的两个动点，若点在以为直径的圆上，则的最大值为（

）A． B． C． D．C综合素养4．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为.(1)求点和点的坐标：(2)以为圆心作一个圆，使得、、三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.

第07讲2.4.1圆的标准方程课程标准学习目标①理解圆的定义及确定圆的几何要素。②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。通过本节课的学习，了解与掌握确定圆的位置，大小的几何要素，能根据相关条件求出圆的标准方程，并能解决与圆有关的问题.知识点01：圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为,半径为,为圆上任意一点，可用集合表示为：知识点02：圆的标准方程我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.【即学即练1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.故选：A.知识点03：点与圆的位置关系判断点与：位置关系的方法:（1）几何法（优先推荐）设到圆心的距离为，则①则点在外②则点在上③则点在内（2）代数法将点带入：方程内①点在外②点在上③点在内【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？【答案】答案见解析【详解】圆心为,半径为5的圆的标准方程是．把点的坐标代入方程的左边,得,左右两边相等,点的坐标满足圆的方程,所以点在这个圆上．把点的坐标代入方程的左边,得,左右两边不相等,点的坐标不满足圆的方程,所以点不在这个圆上．又因为点到圆心A的距离．故点在圆内．知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;①若点在外，则;②若点在上，则;③若点在内，则;【即学即练3】（2021秋·高二课时练习）已知圆，则圆上的点到点距离的最大值为_____.【答案】6【详解】因为圆的方程为，所以圆心坐标为，半径,又圆心到点的距离为，所以圆上的点到点的距离的最大值为，故答案为：6题型01求圆的标准方程【典例1】（2023·高二课时练习）已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由圆C：可知圆心，，故以为直径的圆的圆心为，半径为，故所求圆的方程为：.故选：D【典例2】（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是______.【答案】【详解】、,的中点坐标为，即为圆心坐标，又圆的半径为则所求圆的方程为.故答案为：.【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）圆心在轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______．【答案】或.【详解】由题意，设圆的方程为，因为点在圆上，可得，解得b＝0或b＝－8，所以所求圆的方程为或.故答案为：或.【变式2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）过三点、、的圆的圆心坐标为___________.【答案】【详解】设圆的方程为：，代入点的坐标有：，所以，所以圆的方程为：.故答案为：.题型02由圆的方程求圆心或半径【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（

）A．圆的圆心为，半径为5B．圆的圆心为，半径为C．圆的圆心为，半径为D．圆的圆心为，半径为【答案】ABD【详解】对于A：由圆可得：圆心为，半径为，故选项A错误；对于B：由圆可得：圆心为，半径为，故选项B错误，对于C：由圆可得：圆心为，半径为，故选项C正确；对于D：由圆可得：圆心为，半径为，故选项D错误，故选：ABD.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，因此，即，∴，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9.故选：B.【变式1】（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．12【答案】D【详解】因为直线经过圆的圆心，故，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：D【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】由题意得圆心为（1,1），因为直线过圆心，所以，即，所以，所以当时，的最小值为.故选：A题型03点与圆的位置关系【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（

）.A． B．C． D．【答案】B【详解】圆的圆心为，半径为，由得，则两直线与的交点为，依题意得，解得.故选：B【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）点与圆的位置关系是（

）A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定【答案】B【详解】圆的圆心为，半径，，故点在圆内.故选：B【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】由已知条件可得，即，解得.故选：AD.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若点在圆内，则实数的取值范围为____________.【答案】【详解】解：由题意得点在圆内，解得所以实数的取值范围为故答案为：题型04与圆有关的最值问题【典例1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆：，过点的两条直线，互相垂直，圆心到直线，的距离分别为，，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【详解】过圆心C分别作直线，的垂线，垂足分别为，．，互相垂直，所以四边形为矩形．由圆C：，可得，又，，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为1，故选：B.【典例2】（2023秋·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点，当圆到原点的距离最小时，圆的标准方程为______．【答案】【详解】由可得线段中点坐标为，又，所以垂直平分线的方程为，所以圆心C在线段垂直平分线上，当圆C到原点O的距离最小时，则,所以直线方程为，联立，所以圆心,又半径,故圆的方程为：故答案为：【变式1】（2023春·广西·高一校联考阶段练习）若复数满足，则的最大值为（

）A． B． C．7 D．【答案】C【详解】复数满足，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，的几何意义为圆上的点与的距离，所以的最大值为．故选：C.【变式2】（2023·甘肃酒泉·统考三模）点在圆上，点，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【详解】圆的圆心，半径为，由于在圆外，．故选：D.题型05与圆有关的对称问题【典例1】（2023秋·四川成都·高二统考期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】圆的圆心为，半径为，关于直线的对称点是，所以圆的圆心是，半径是，所以圆的方程为.故选：B【典例2】（2023春·四川凉山·高二校考阶段练习）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是___________【答案】【详解】解：圆的圆心为，圆的圆心为，则线段的中点为，因为圆和圆关于直线对称，所以，所以直线的方程是，即，故答案为：【变式1】（2023秋·四川成都·高二统考期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】圆与圆关于直线对称，则圆心与圆关于对称可得，化简得，解得又两圆半径相等，故圆的方程为故选：B【变式2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）已知圆的圆心坐标为，半径为2，圆与圆关于轴对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为圆与圆关于轴对称，所以圆的圆心与点关于轴对称，所以的坐标为，又圆的半径为2，所以圆半径为2，所以圆的方程为，故选：C.题型06轨迹方程【典例1】（2023秋·高一单元测试）已知定点，是圆上的一动点，是的中点，则点的轨迹方程是_______________.【答案】【详解】如图所示，

设，，则，①因为Q为AP的中点，所以，②所以由①②得：，即：，所以点Q的轨迹方程为：.故答案为：.【典例2】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是______．【答案】【详解】

如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为的一条中位线，，即有DQ∥OP，且，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上，所以Q的轨迹方程为.故答案为：.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程；【答案】【详解】设，线段的中点，因为为线段的中点，，，，即，得.所以点的轨迹方程是．【变式1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是__________．【答案】【详解】设，，则由已知可得.又是线段的中点，所以有，所以，所以有，整理可得.所以的轨迹方程是.故答案为：.【变式2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)设为圆上的一个动点，为坐标原点，求的中点的轨迹方程.【答案】(1)；(2).【详解】（1）设圆心C的坐标为，半径为r，∵圆心C在直线上，∴，∵圆C经过，两点，∴，即，化简得：，又，所以，∴圆心C的坐标为，，所以圆C的标准方程为：；（2）设，，∵M为OP的中点，∴，∴，∵P在圆C上，∴，即，∴OP的中点M的轨迹方程为.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为，故选：D.2．（2023·北京海淀·校考三模）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】圆的圆心为，因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在直线上，所以，解得.故选：A3．（2023春·四川南充·高二校考阶段练习）圆的圆心、半径是（）A．，4 B．，2 C．，4 D．，2【答案】D【详解】圆的圆心为半径故选：D4．（2023春·新疆省直辖县级单位·高二校考开学考试）已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（

）A．（﹣1，1） B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}【答案】A【详解】由于（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，所以点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离d＜2，即：，整理得：﹣1＜a＜1.故选：A.5．（2023秋·河北保定·高二统考期末）圆关于直线对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设圆的圆心关于直线对称的点为，则有整理得解得，因为关于直线对称的两个圆半径相等，所以所求圆的半径为2，所以所求圆方程为，故选:C.6．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为；乙：该圆经过点；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【详解】设.假设甲错误，乙丙丁正确，，，矛盾，所以甲正确.假设乙错误，甲丙丁正确，由甲、丙正确可知圆的方程为，不满足上式，矛盾，所以乙正确.假设丙错误，甲乙丁正确.由乙丁得，与半径为矛盾，所以丙正确.假设丁错误，甲乙丙正确，则由甲丙可知圆的方程为，满足上式，符合题意.综上所述，结论错误的同学是丁.故选：D7．（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（

）．A．2 B．4 C． D．【答案】C【详解】因为，圆的标准方程为，所以半径，圆心，当直线l与直线CP垂直时，所截得弦长AB最短．此时，所以．故选：C．8．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【详解】设，因为，所以，因为，所以相当于圆上的点到点距离，所以的最大值为圆心到点距离与圆的半径的和，即.故选：C.

二、多选题