《高等数学（经济类）下册 第2版》习题及答案 第8、9章 向量代数与空间解析几何、多元函数微分学

习题8-1（A）1．求空间两点与之间的距离．解：．2．写出点的对称点坐标：（1）分别关于、、平面的对称点坐标；（2）分别关于轴、轴、轴的对称点坐标；（3）关于原点的对称点坐标．答案：（1）；；．（2）；；．（3）．3．判断由，，三点构成的三角形的形状．解：因为，，，进一步，计算可得，所以为直角三角形．4．求点到各个坐标轴之间的距离．答案：点到轴的距离，点到轴的距离，点到轴的距离．5．在轴上求一点，使它到点和的距离相等．解：由题意设点，且满足，即，解得，所以．6．一动点与定点的距离为，求动点所满足的方程．解：由题意，所以，即．一动点与两定点与距离相等，求动点所满足的方程．解：由题意，即，整理得．

习题8-2（A）1．设向量，，求．解：．2．已知点是线段的中点，是线段外一点，若，，求．解：由题意知，，因此，．3．设点分别是四边形两对角线与之中点，若，，求．解：设中点为，中位线，中位线，所以在中，．4．已知向量，求以及与平行的单位向量．解：，与平行的单位向量．5．若，，且向量与的夹角为，求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．6．已知向量、，求、及．解：；；，，由可知，所以．7．设，，求向量的方向角和方向余弦．解：，，方向余弦，，方向角，，．8．一向量的终点为且它在轴、轴、轴上的投影依次为，和，求这个向量的起点的坐标．解：由题意可知，设点坐标为，则，，，解得，，，所有点坐标为．9．若向量与向量垂直，求值．解：，解得或．10．求与向量、都垂直的单位向量．解：由题意，且，故所求单位向量为．11.已知点，，，求．解：因为，，所以，因此．12．若与垂直且都是单位向量，求以，为邻边的平行四边形面积．答案：．解析：由题意，由向量积的几何意义可知该平行四边形的面积为：．习题8-2（B）1．证明向量与向量垂直．证：，因为，故，所以．2．用向量证明三角不等式．证：设，，，则，两边平方得，即．又因，，，又，所以即，故．3．已知向量满足，，，求．解：，，，所以．4．已知向量满足，且，，求．解：，因为，，，则，又因，，所以．5．已知向量、、两两垂直，且、、，设，求以及与的夹角．解：，所以.又因，所以，故与的夹角．6．两个非零向量和满足如下条件：向量与垂直，并且向量与垂直，求向量，的夹角．解：设向量与的夹角为，由，有；由，有，上述两个方程联立，解得，得，所以向量与的夹角为．

习题8-3（A）分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点且垂直于轴；（2）过点且平行于平面；（3）过点且与线段垂直，其中为坐标原点；（4）过三点，，；（5）线段的垂直平分面，其中，；（6）平行于平面且过点；（7）过轴和点；（8）过轴且垂直于平面；（9）过原点及点且垂直平面；（10）过点且在轴和轴上的截距分别为和．解：（1）由于所求平面垂直于轴，故所求平面平行于平面，所以所求平面的方程为；（2）设所求平面为，又因为其过点，代入得，所以所求平面方程为；（3）向量即为所求平面的法向量，又平面过点，所以所求平面方程为，即；（4）所求平面的法向量为，代入点，得到所求平面方程为，即；（5）即为所求平面的法向量，且过线段的中点，所以所求平面方程为，即；（6）由题意所求平面垂直于轴，且过点，所以所求平面方程为；（7）设所求平面方程为，代入点得，所以所求平面方程为；（8）所求平面的法向量为，且过原点，所以所求平面方程为；（9）所求平面的法向量为，所以所求平面方程为；（10）由题意设所求平面的截距式方程为，其中为平面在轴上的截距，代入点，解得，所以所求平面为．指出下列各平面的特殊位置，并作平面的草图：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．答案：（1）平面；（2）垂直于轴的平面；（3）平行于轴的平面；（4）平行于轴的平面；（5）在轴、轴和轴上截距全为1的平面；（6）在轴、轴和轴上截距分别为2、和4的平面；求平面与平面的夹角．解：，，，所以两平面夹角．一平面过点且在各坐标轴上的截距相等，求该平面方程．解：由题意设所求平面方程为，代入得，所以所求平面为．一平面过点，且与平面和都垂直，求该平面方程．解：由题意知所求平面的法向，又知其过点，所以得到所求平面方程为，即．求点到平面的距离．解：由点到平面的距离公式可得．习题8-3（B）1．一平面过两点，,且在三个坐标轴上的截距之和为零，求该平面方程．解：设所求平面方程为，且，将点，代入平面方程中，联立方程组解得，或，所以所求平面方程为或．2．一动点与平面的距离等于它到轴的距离，求动点的轨迹．解：由题意点到轴的距离为，点到平面的距离为，所以，解得，即为动点的轨迹．3．设平面位于平面与平面之间，且将此两平面的距离分为︰，求平面的方程．解：平面与之间的距离为．设所求平面方程为，则与的距离应为，与的距离应为，而，于是，得，所以所求平面方程为．4．一平面与平面平行，若点到两平面的距离相等，求该平面的方程．解：依题意设所求平面方程为，又点到两平面的距离相等，则，即，得，（舍），所以所求平面方程为．5．求过轴且与点的距离为的平面方程．解：由过轴，设所求平面方程为，由点到的距离为，有，即，得，所求方程为，即．6．求平行于平面且与三坐标平面所构成的四面体的体积为个单位的平面的方程．解：设所求平面的方程为，即，由题意，解得，所求平面方程为．

习题8-4（A）分别求满足下列各条件的直线方程：过点且与直线平行；过原点垂直于平面；过两点，；过点且与两平面及都平行；过点且与直线平行．答案：（1）；（2）；（3）（或）；（4）；（5）．分别求满足下列各条件的平面方程：过点且垂直于直线过点及直线；过轴，且平行于直线：过两平行直线与．答案：（1）；（2）；（3）；（4）．用对称式方程及参数方程表示直线解：先在直线上找一点，令，解方程组，得.故点在直线上．再求直线的方向向量，由题意可知，所以对称式方程为，从而参数式方程为求两直线与的夹角．解：由已知，有直线的方向向量为，直线的方向向量为，由夹角公式可得，所以．求直线与平面的夹角．解：直线的方向向量，平面的法线向量，由直线与平面的夹角公式，有．6．试确定下列各组中的直线与平面的位置关系：（1）和；（2）和；（3）和；（4）和．答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行；（4）垂直．求直线与平面的交点．解：将直线改写为参数方程，将其代入到平面方程之中，有，即，得，再将代到直线的参数方程之中，得，所以直线与平面的交点为．8．设直线，，求同时平行于且与它们等距的平面方程．解：所求平面的法向量，则其方程为，下面求．在上取点，在上取点，利用点到平面距离相等可得：，解得.因此，所求平面为．9．求点在平面点上的投影．解：做过点且垂直于平面的直线方程为，该直线与平面的交点即为所求的投影点．习题8-4（B）1．求点关于直线的对称点的坐标．解：设，过做平面，则的方程为，求得直线与平面的交点为，则点是线段的中点，因此由中点公式得．2．求原点关于平面的对称点.解：过原点做该平面的垂线，代入平面方程解得，得直线与平面的交点为．设所求对称点为，则有，所以．3．求点到直线的距离．解：过点作一个垂直于直线的平面，方程为，即将直线的参数方程代入到平面方程中，得所以直线与平面的交点坐标为，所以点到直线的距离为点与交点的距离，即所求距离为．4．设直线在平面上的投影方程为，在平面上的投影方程为，求直线在平面上的投影方程．解：设过直线的平面束方程为，即，若该平面与轴平行，则有，所以在平面上的投影方程为．5．若直线与相交，求的值及其交点的坐标．解：两直线相交即共面，有，，，所以．下面求交点：将直线方程改写为参数方程，，与相交时，下列方程组应有解：，解得，代入参数方程得到交点坐标为．求过直线且与球面相切的平面方程．解：所求平面为，即，球心为原点，到平面的距离等于半径，所以，分子分母平方相等化简得，即，解得或，代入方程，得所求平面为或．7．求过原点，且经过点到直线的垂线的平面方程．解：由已知得的方向向量，过点做直线的垂直平面，其方程为，即.设交点为直线与此平面的交点，解得.由于所求平面过原点，可设其方程为,将、坐标代入平面方程得：解得.故所求平面方程为．

习题8-5（A）分别写出满足下列各条件的曲面方程：（1）以点为球心，为半径的球面方程；（2）以点为球心，且过原点的球面方程；（3）与两定点和等距的动点轨迹；（4）与原点及定点的距离之比为1﹕2的动点轨迹．答案：（1）；（2）；（3）；（4）．2．求出下列球面方程的球心坐标及半径：（1）；（2）．答案：（1）球心，半径；（2）球心，半径．写出满足下列条件的旋转曲面方程：（1）面上抛物线绕轴旋转一周；（2）面上直线绕轴旋转一周；（3）面上椭圆分别绕及轴旋转一周；（4）面上双曲线分别绕及轴旋转一周．答案：（1）；（2）；（3）绕轴：，绕轴：；（4）绕轴：；绕轴：．4．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称：（1）；（2）；（3）.答案：（1）在平面直角坐标系下表示一条直线，在空间直角坐标系下表示一个平面；（2）在平面直角坐标系下表示一条双曲线，在空间直角坐标系下表示一个双曲柱面；（3）在平面直角坐标系下表示一个椭圆，在空间直角坐标系下表示一个椭圆柱面；．5．画出下列各方程所表示的曲面：（1）；（2）（3）；（4）．答案：略．习题8-5（B）一球面过原点和、和，求该球面的方程．解：设球面方程为，由于它过、和，因此解得因此，该球面的方程为．画出下列各曲面所围立体的图形:（1），，，，（在第一卦限内）；（2），，，，（在第一卦限内）．答案：略．

习题8-6（A）说出下列曲线的名称，指出曲线的特点并作出曲线的草图.（1）（2）（3）（4）答案：（1）直线；（2）圆；（3）双曲线；（4）抛物线．2．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称．（1）（2）答案：（1）在平面直角坐标系下表示一个点，在空间直角坐标系下表示一条直线；（2）在平面直角坐标系下表示两个点，在空间直角坐标系下表示两条直线.求曲线在面上的投影．解：由有.因此，曲线在面上的投影为求曲线在面上的投影．解：由有.因此，曲线在面上的投影为画出下列空间区域的草图．（1）由平面及三个坐标面围成；（2）由圆锥面及上半球面围成；（3）由抛物面，平面，及围成；（4）是由不等式及确定的第一卦限的部分．答案：略．6．作出下列空间区域在面及面上的投影区域．（1）介于球面内的圆柱体；（2）由圆锥面及抛物柱面围成．答案：略．习题8-6（B）分别求母线平行于轴与轴且都通过曲线的柱面方程．答案：平行于轴：；平行于轴：．求曲线的参数方程．答案：．

总习题八一、填空题1．设向量，，且，，与的夹角，则向量与的数量积；答案：．解析：．2．同时垂直于和的单位向量为；答案：．解析：，所以，即为所求单位向量．3．设单位向量的两个方向余弦为，，则向量的坐标为；答案：．解析：设第三个方向角为，由，得所以．4．过点且平行于直线和直线的平面方程是；答案：．解析：由题意可求得两直线的方向向量分别为，，所以所求平面的法向量为，又因为所求平面过点，由点法式得平面方程为，化简得．5．过点且与平面垂直的直线方程为；答案：．解析：因为所求直线与所给平面垂直，所以方向向量为由对称式得所求直线方程为．6．过点且通过直线的平面方程是；答案：．解析：点与题中的直线共面，所以点和直线通过的点所形成的向量，直线的方向向量为，所求平面的法向量为，所求平面方程为．7．平面上的抛物线绕轴旋转所形成的旋转曲面方程是，绕轴旋转所形成的旋转曲面方程是；答案：绕轴的旋转曲面方程是，绕轴的旋转曲面方程是．8．曲线在平面上的投影是；答案：．解析：曲线在坐标平面上的投影是坐标平面上的柱面与坐标平面的交线，坐标平面上的柱面方程是，坐标平面的，故投影方程是．二、选择题：1．设向量与满足，则与一定（）；(A)平行(B)同向(C)反向(D)垂直答案：C．解析：当与反向时，，故选C．2．设向量，则有（）；.(A)与垂直(B)与垂直(C)与垂直(D)与平行答案：C．解析：两边乘以，则，故与垂直.3.已知向量的方向平行于向量和之间的角平分线，且，则（）；(A) (B)(C)(D)答案：A．解析：由题意可知，则，，于是可设，又因，故，解得，所以，选A．4．设空间直线的方程为，则该直线必定（）；(A)过原点且垂直于轴 (B)不过原点但垂直于轴(C)过原点且垂直于轴 (D)不过原点但垂直于轴答案：A．解析：直线通过原点，且直线的方向向量为，轴的单位向量为，所以，，选A．5．已知平面通过点，且垂直于直线，则平面的方程是（）；(A)(B)(C)(D)答案：B．解析：由题意所求平面的法向量就是所给直线的方向向量，即，所以平面的方程为，选B．6．若直线与直线垂直，则（）；(A)(B)(C)(D)答案：.解析：直线的方向向量，直线的方向向量，由题意知，故，所以.7．下列结论中错误的是（）；(A)表示椭圆抛物面(B)表示双叶双曲面(C)表示圆锥面(D)表示抛物柱面 答案：B.解析：双叶双曲面的方程为，故选择B.8．曲线在坐标平面上的投影是（）；(A)(B)(C)(D)答案：C．解析：联立两个曲面和，消去得到在坐标平面上的柱面方程为，该柱面与坐标平面的交线即为所求投影，故选C．三、解答题.1．一单位向量与轴轴的夹角相等，与轴夹角是前者的倍，求向量.解：设，由，有，即，所以或（舍去），于是或.2．设非零向量满足，计算极限．解：原式．3．求平面与的等分角平面方程．解：设所求平面为，即，依题意有，解得，代入所设方程有和．4．过点，求垂直于直线且与轴相交的直线方程.解：设所求直线方程为，由与已知直线垂直，有=1\*GB3①；又设与轴交点为，有=2\*GB3②，由=1\*GB3①、=2\*GB3②两式得，所求直线方程是.5．求与已知直线及相交，且平行于直线的直线方程．解：由题意可知所求直线的方向向量，以参数形式表示直线和，则与和的交点分别为和，显然只需确定和之中的一点即可，因，故，即，解得，从而知，所以所求直线方程经整理得．6．指出下列方程所表示的曲面的名称，若是旋转面，指出它是什么曲线绕什么轴旋转而成的．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．答案：（1）旋转椭球面．可看成椭圆绕轴旋转而成，或者椭圆绕轴旋转而成．（2）单叶旋转双曲面．可看成双曲线绕轴旋转而成，或者双曲线绕轴旋转而成．（3）双叶旋转双曲面．可看成双曲线绕轴旋转而成，或者双曲线绕轴旋转而成．（4）旋转抛物面．可看成抛物线绕轴旋转而成，或者抛物线绕轴旋转而成．（5）双曲抛物面．（6）旋转锥面．可看成射线绕轴旋转而成，或者射线绕轴旋转而成．7．指出曲面在下列各平面上的截痕是什么曲线，并写出其方程：（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）双曲线，方程为（2）椭圆，方程为（3）两条直线，方程为和（4）双曲线，方程为习题9-1（A）1．求下列各函数的表达式：（1）设函数，求，．解：，．（2）设函数，已知时，，求及的表达式．解：由时，，有，即，所以；而．（3）设函数，求．解：．（4）设函数，求的表达式．解：（方法1）因为，所以．（方法2）令，则，于是，所以．2．求下列各函数的定义域，并作定义域草图：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由且，得定义域．（2）由及，有，得定义域．（3）由，有，得定义域．（4）由，有，或，得定义域．3．求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）．（2）．（3）因为有界，而，所以．（4）．（5）（6）．4．证明下列极限不存在：（1）；（2）．证明：（1）沿取极限，则，当取不同值时，该极限值不同，所以极限不存在．（2）沿取极限，；沿取极限，．由于，所以极限不存在．习题9-1（B）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为（单位：元），两个市场的销售量各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是，试用表示该厂生产此产品的利润．解：根据已知，设，由时，；时，，有得，于是．由时，；时，，有得，于是．两个市场销售该产品的收入为，该产品的成本．根据利润等于收入减去成本，得．2．求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）．（2）法1：令，则当时，，所以．法2：因为时，与是等价无穷小，所以．（3）因为，而，，根据“夹逼准则”得．（4）令，则当时，（其中在区间内任意变化），所以．3．证明极限不存在．证明：沿取极限，；沿取极限，．因此，极限不存在．4．讨论函数在点处的连续性．解：沿取极限，由，有，所以函数在点处不连续．

习题9-2（A）1.求下列函数的偏导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．解：（1），．（2），．（3），．（4），．（5），．（6），．（7），由变量的对称性，得．（8），．（9），，．（10），，．2.求曲线在点处的切线与轴正向的夹角．解：，，用表示曲线在点处的切线与轴正向的夹角，则，所以．3.设，求及．解：因为，所以，因为，所以．4.求下列函数的高阶导数：（1）设，求.解：（2）设，求，和；解：，，，，，．5.验证：（1）设函数，证明．证：因为，，，，，，所以，．（2）设，求证.证明：原结论成立．习题9-2（B）1．设一种商品的需求量是其价格及某相关商品价格的函数，如果该函数存在偏导数，称为需求对价格的弹性、为需求对价格的交叉弹性．如果某种数码相机的销售量与其价格及彩色喷墨打印机的价格有关，为，当，时，求需求对价格的弹性、需求对价格的交叉弹性．解：由，，有，，当，时，需求对价格的弹性：，需求对价格的交叉弹性：．2.设，求，.解：.3.设函数证明在点处的两个偏导数都不存在．证：因为极限不存在，极限不存在，所以在点处的两个偏导数都不存在．4.设，求，和．解：，，，，．5.设函数，证明．证明：将函数改写为，则，，由变量的对称性，有，，所以．习题9-3（A）1．求下列函数的全微分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）因为，，所以．（2）因为，，所以．（3）因为，，所以．（4）因为，，所以（5）因为，，，所以．（6）因为，，，所以．2.求函数在点处的全微分．解:在点处，分别有因此，我们有3.求函数当，时的全微分．解因为，，，，所以，4.求函数在点处当时的全微分．解由于所以，当时，函数在点（2，1）处的全微分为习题9-3（B）1.计算的近似值．解：设函数．显然，要计算的值是函数在时的函数值取因为所以由公式得．2．计算的近似值．解：考虑函数，取，而，，、、，则．3.设函数在点点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数的可微性．解：因为，，所以在点处函数的两个偏导数都存在，且．再讨论可微性，函数在处的全增量用表示，则，记，则不存在（沿取极限，其值为；沿取极限，其值为），所以函数在点处不可微．进而得偏导（函）数在点处不连续（若偏导（函）数在点处连续，根据可微的充分条件，则函数在点可微，与函数不可微矛盾）．

习题9-4（A）1.求下列函数的全导数：（1）设函数，求；（2）设函数，而，，求全导数；（3）设函数而是的可微函数，求．解：（1）=.（2）（3）2.求下列函数的一阶偏导数：（1）设函数，而，，求和；（2）设函数，求和．解：（1），，（2）这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令，则，．3.求下列函数的一阶偏导数（其中函数具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1），．（2），．（3），．（4），，．4.设函数，其中是可微函数，证明．证：因为，，所以．5.设函数，其中是可微函数，证明．证：因为，，所以．6.利用全微分形式的不变性求函数的全微分．解令，由一阶全微分形式的不变性，我们有，注意到又都是的函数，并且将它们带入上式，得习题9-4（B）1.求下列函数的二阶偏导数（其中函数具有二阶连续偏导数）：（1）；（2）；解：（1），，，，．（2），，，，．2.设函数，其中函数有二阶连续偏导数，求．解：，．3.设有连续的一阶偏导数，且.求，并证明解由链式法则，得于是有

习题9-5（A）1.若函数分别由下列方程确定，分别求：（1）；（2）；（3）；解（1）法1：设，则，所以法2：方程两边同时对求导，有，解得．（2）方程两边同时对求导，有，解得．（3）令则2.设由方程所确定的隐函数，求解令，当时，此时，所以，.3.设函数，而函数由方程确定，求全导数．解：方程两边同时对求导，有，得，．4.若函数分别由下列方程确定，求及．（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）法1：设，则，所以．法2：方程两边对求导，有，得，方程两边对求导，有，得．（以下都按方法2作）（2）方程两边同时对求导，有，得，方程两边同时对求导，有，得（或由变量的对称性，得）．（3）方程两边对求导，有，即，而，所以，得，由变量对称性有．（4）方程改写为，方程两边对求导，有，得，方程两边对求导，有，得．5.设，求.解：令则6.若函数，，都是由方程确定的隐函数，其中有一阶连续非零的偏导数，证明．证：因为，所以．7.若是的函数，并由确定，求.解：令因此，，习题9-5（B）1.设函数，而函数、分别由方程及确定，求全导数．解：方程两边同时对求导，有，得，方程两边同时对求导，有，得，所以．2．设函数，而由方程确定，求．解：方程两边同时对求导，有，用、代入，有，得．于是，所以．3．设，求，，.解：令则把看成的函数对求偏导数得整理得把看成的函数对求偏导数得整理得把看成的函数对求偏导数得整理得4.若函数由方程确定，求．解：方程两边对求导，有，得，由变量的对称性，得．法１：等式两边同时对求导，有，即所以．法２：．5.设具有连续的偏导数，方程（其中是非零常数）确定是的隐函数，且，求.解：令因此.6.求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数：（1）求和．（2）求及．解：（1）方程组两边同时对求导，有消去，有，得，而．（2）方程组两边同时对求导，有（1）（2），有，得，再代入到（2）之中得．方程组两边同时对求导，有与前面解法类似，得，．

习题9-6（A）1.求下列函数的极值：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）定义域为全平面，并且函数处处可微．由得唯一驻点．，，根据二元函数极值的充分条件，点是函数的极大值点，极大值为，该函数无极小值．（2）定义域为全平面，并且函数处处可微．由即得函数的所有驻点是．，对上述诸点列表判定：所以函数的极大值为，极小值为．（3）定义域为全平面，并且函数处处可微．由得唯一驻点．，、、，，根据二元函数极值的充分条件，点是函数的极小值点，极小值，该函数无极大值．（4）定义域为全平面，函数处处可微．由得唯一驻点．由于在点处函数的二阶偏导数不存在，不能用定理8.2判定，为此根据极值的定义，当（即非点）时，所以点是该函数的极大值点，极大值为，该函数无极小值．2.求函数的极值．解：由，解出在点处，所以函数在处由极小值.3.求曲面上到原点距离最近的点．解：设，则，解出因为是在时的唯一驻点，由题意可知在的曲面上存在与原点距离最小的点，所以即为所求的点．4.将正数12分成三个正数之和使得为最大.解令,则解得唯一驻点，故最大值为5.用面积为12（m2）铁板做一个长方体无盖水箱，问如何设计容积最大？解设水箱的长、宽、高分别为，体积为，则目标函数为（），附加条件是．设（），由得唯一可能极值点，根据实际意义，当长方体表面积一定是其体积有最大值，所以当长、宽都为2（m），高为1（m）时无盖长方体水箱容积最大(此时体积为4（m3）)．6.在斜边长为的直角三角形中，求周长最大的三角形及其周长．解：设两直角边长分别为，三角形周长为，则目标函数是（），附加条件为．设，由在时得唯一可能极值点，由实际意义，斜边长为一定的直角三角形中，周长有最大值，所以当两直角边长都为（即等腰直角三角形）时，其周长最大，且最大周长为．7.有一宽为24的长方形铁板，把它折起来做成一断面为等腰梯形的水槽．问怎么折才能使断面的面积最大．解设折起来的边长为，倾角为（图8-17），那么梯形的下底长为，上底长为，高为，所以断面的面积为，即.为求其最大值，我们先来解方程组由于，将上述方程组两边约分，得解这个方程组，得根据题意，断面面积的最大值一定存在，又由的定义，因此最大值点只可能在区域的内部或开边界上取到．但当时，的最大值为72．因此，该函数的最大值只能在区域的内点处取得，而它只有一个稳定点，因此可以断定是其最大值．即将铁板折起8，并使其与水平线成角时所得断面面积最大．习题9-6（B）1.求由方程确定的函数的极值..解将方程两边分别对求偏导由函数取极值的必要条件知,驻点为,将上方程组再分别对求偏导数,故,函数在有极值.将代入原方程,有（舍去）.此时，,所以为极大值.2.求二元函数在直线，轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.解令得区域内唯一驻点,且,再求在边界上的最值在边界和上,在边界上，即，于是,由,得比较后可知为最大值,为最小值.3.求椭圆上竖坐标的最小值与最大值．解：目标函数为，附加条件是，及．设，由得可能极值点.由于椭圆是有界闭曲线，它的竖坐标一定有最小值与最大值，所以当时最小，且最小值为，当时最大，且最大值为．4.平面截圆柱面得一椭圆周，求此椭圆周上到原点的最近点及最远点．解这是求空间中既在平面也在圆柱面上的点到原点的距离或函数的最大值与最小值．因此函数为目标函数，条件及都是变量满足的约束条件．为此构造拉格朗日函数.解方程组解得可能极值点为于是，经过比较得到，到原点的距离最近点为到原点的距离最远点是习题9-71.为了弄清楚某企业利润和产值的函数关系，我们把该企业从2010年到2019年间的利润（百万元）和产值（百万元）的统计数据列表如下：年份20102011201220132014201520162017201820194.925.004.934.904.904.954.984.995.02