《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 第13章 差分方程

第十三章差分方程第一节函数的差分与差分方程的基本概念一、差分的概念二、差分方程的概念三、常系数线性差分方程解的结构四、小结引例某商家经营一种产品，记第t月初的存货量是则ΔR(t)记录的就是商家相邻两月库存量的改变量.如果记R(t)，第t月的进货量和出售量分别是P(t)和Q(t),则第

一、函数的差分第t+1

月初的存货量是R(t+1)应是即1、差分的定义函数的差分.定义1设有函数y=f(x)，其中自变量的取值为非负整数，函数y的取值为一个序列或记为当自变量由x改变到x+1时，相应的函数值的改变量称为函数y=f(x)在点x的差分（也称为一阶差分），记为Δyx，即解：例1

解：即：常数的一阶差分为零.例2

一般地，指数函数y=ax（其中a>0且a≠1），解：例3Δyx=ax(a-1).例4解：解：例5解：例6

2、一阶差分的运算性质与导数的四则运算法则类似.一阶差分的几何意义：由差分的定义，函数y=f(x)在点x的（一阶）差分可化为表示经过点(x,yx)与点(x+1,yx+1)的直线的斜率.定义2对于函数y=f(x)，一阶差分函数Δyx的差分称为函数y=f(x)的二阶差分，记为Δ2yx，即类似地，可以定义三阶差分、四阶差分、…二阶或二阶以上的差分统称为高阶差分．解：例7说明：对于n次多项式，它的n阶差分是常数，n阶以上的差分均为零．解：例8可以看到，一阶差分Δyx可以用yx的两个相邻的值表示；二阶差分Δ2yx可以用yx的三个相邻的值表示；三阶差分Δ3yx可以用yx的四个相邻的值表示．即：n阶差分Δnyx是函数yx的n+1个相邻值的线性组合.定理1

设有函数yx=f(x)，则定义3含有未知函数及其差分的等式称为差分方程.它的一般形式是由定理1，yx的高阶差分可以用yx的相邻值表示，则有二、差分方程的一般概念定义4含有未知函数的相邻值的等式称为差分方程.它的一般形式是或例如:

差分方程可化为又可化为定义5差分方程中含有的未知函数yx的最大下标与最小下标的差称为该差分方程的阶.例如，二阶三阶一阶三阶定义6对于n阶差分方程若有函数ux，使得则称此函数ux为差分方程的解.若ux中含有n个相互独立的任意常数，则称此函数ux为差分方程的通解；若ux中不含有任意常数，则称此函数ux为差分方程的特解.一般地，为得到差分方程的特解（确定通解中的任意常数），需要知道一些附加的条件，即定解条件.对于n阶差分方程，常见的定解条件是以下的初始条件：初值问题：求满足给定初始条件的差分方程解的问题.其中，是已知的常数.n阶常系数线性差分方程的一般形式为三、常系数线性差分方程解的结构其中是常数，当不恒等于零时，称差分方程是非齐次的；当恒等于零时，称差分方程是齐次的，即为也是差分方程(2)的解.定理2设

是齐次线性差分方程(2)的解，则也是差分方程(2)的解，定理3

设

是齐次线性差分方程(2)的n个线性无关的解，则与齐次线性微分方程解的结构类似.是非齐次线性差分方程(1)的通解.定理4

设

是非齐次线性差分方程(1)的一个特解，Yx是方程(1)对应的齐次线性差分方程(2)的通解，则说明：“非齐次的通解”=“齐次的通解”+“非齐次的特解”.与非齐次线性微分方程解的结构类似.定理5设

分别是以下非齐次线性差分方程的特解，则是差分方程的特解.证明例9四、小结1、差分的定义2、差分方程与差分方程的阶3、差分方程的解、定解条件和通解4、常系数线性差分方程解的结构第十三章差分方程第二节一阶常系数线性差分方程一、一阶常系数齐次线性差分方程二、一阶常系数非齐次线性差分方程三、小结一阶常系数线性差分方程的一般形式为其中是常数，当不恒等于零时，称差分方程是非齐次的；当恒等于零时，称差分方程是齐次的，即为称(2)是(1)所对应的齐次线性差分方程.一、一阶常系数齐次线性差分方程1、迭代法齐次线性差分方程可化为于是，利用数学归纳法可证明若令y0=C(任意常数)，则差分方程(2)的通解为解：例1将方程变形为由于y0=1，则有所以，原方程满足初始条件y0=1的特解为2、特征根法齐次线性差分方程可化为即这说明齐次差分方程的解与它的一阶差分只相差一个常数因子倍数，故可认定yx是某个指数函数，不妨设将其代入齐次差分方程，得即所以从而由解的结构可得齐次线性差分方程的通解为因此是齐次差分方程的一个解.特征方程特征根解：例2特征方程为得特征根所以原差分方程的通解为例3

解：将差分方程改写为得特征根特征方程为所以原差分方程的通解为由初始条件y0=3，得C=3，因此所求的特解为二、一阶常系数非齐次线性差分方程由解的结构知，差分方程(1)的通解由两项的和组成：一项是该方程的一个特解，另一项是对应的齐次差分方程的通解.在前一部分已经讨论完齐次线性差分方程的通解，所以接下来只讨论特解的求法.1、迭代法差分方程(1)可化为以此类推，由数学归纳法得差分方程(1)的一个特解为又因为差分方程(1)对应的齐次线性差分方程的通解为所以差分方程(1)的通解为解：例4

其通解为再利用迭代法，可得原方程的一个特解所以原差分方程的通解为原方程对应的齐次线性方程为解：例5

其通解为再利用迭代法，可得原方程的一个特解所以原差分方程的通解为原方程对应的齐次线性方程为2、待定系数法[1]f(x)为多项式型：差分方程(1)可改写为因此可假设差分方程的解为以下的待定式这里Qn(x)是n次待定多项式，k的取值按下列方式确定解：例6

所以齐次线性方程的通解为原方程对应的齐次线性方程为特征方程为则特征根为又因为1不是特征根，且右端函数为零次多项式，则可设特解为将代入原方程，有得b=1.于是原方程的通解为解：例7所以齐次线性方程的通解为又因为1是特征根，且右端函数为二次多项式，则可设特解为原方程对应的齐次线性方程为特征方程为则特征根为将代入原方程，有于是有所以原方程的通解为此时差分方程(1)可写为[2]f(x)为指数函数与多项式之积型：这是右端函数为多项式型的非齐次线性差分方程.由待定系数法得它的特解，则原方程的特解为解：例8所以齐次线性方程的通解为原方程对应的齐次线性方程为特征方程为则特征根为由于1不是特征根，且上面方程的右端函数为一次多项式，所以可假设再求原方程的一个特解.代入原方程，化简得解：例8比较同次幂的系数，得于是得到原方程的一个特解因此，原方程的通解为此时差分方程(1)可写为[3]f(x)为三角函数型：它对应的齐次线性差分方程的通解为(i)(ii)解：例9

三、小结1、一阶常系数齐次线性差分方程求通解(1)写出相应的特征方程；(2)求出特征根；(3)写出通解.2、一阶常系数非齐次线性差分方程求通解第十三章差分方程第三节二阶常系数线性差分方程一、二阶常系数齐次线性差分方程的解法二、二阶常系数非齐次线性差分方程的解法三、小结二阶常系数线性差分方程的一般形式为其中是常数，当不恒等于零时，称差分方程是非齐次的；当恒等于零时，称差分方程是齐次的，可表示为称方程(2)是方程(1)所对应的齐次线性差分方程.一、二阶常系数齐次线性差分方程的解法因为齐次差分方程可化为代入方程，得所以特征根特征方程(ii)(i)(iii)特征方程有一对共轭复特征根则通解为解：例1所以原方程的通解为特征方程为得特征根为例2解：所以原方程的通解为特征方程为得特征根为这是二阶常系数齐次线性差分方程，其特征方程为解

原方程可改写为易知此特征方程有两个共轭的复根即则所以原方程的通解为解：例4所以原方程的通解为特征方程为得特征根为由初始条件可得解得所以原方程满足初始条件的特解为二、二阶常系数非齐次线性差分方程的解法由解的结构知，差分方程(1)的通解由两项的和组成：一项是该方程的一个特解，另一项是对应的齐次差分方程的通解.在前一部分已经讨论完齐次线性差分方程的通解，所以接下来只讨论特解的求法.1、

f(x)为多项式型：此时，差分方程(1)可写为利用差分的概念，上面的方程可化为若是上面方程的解，则有这里Qn(x)是n次待定多项式，k的取值按下列方式确定因此可假设差分方程的解为以下的待定式解：例5

则特征根为特征方程为所以原方程对应的齐次线性差分方程的通解为由于1不是特征根，且右端函数为一次多项式，则可令特解为将代入原方程，有求得所以从而，原方程的通解为解：则特征根为特征方程为所以原方程对应的齐次线性差分方程的通解为由于1是特征根且为单根，而右端函数为一次多项式，则可令特解为例6将代入原方程，有求得所以从而，原方程的通解为解：例7所以原方程对应的齐次线性差分方程的通解为特征方程为得特征根为由于1是特征根且为二重根，而右端函数为零次多项式，则可令特解为将代入原方程，有求得所以特解为从而，原方程的通解为由初始条件可得因此所求的特解为2、f(x)为指数函数与多项式之积型：此时，差分方程(1)可改写为若作变换则上面的方程可化为这是右端函数为多项式型的非齐次线性差分方程.由待定系数法得它的特解，则原方程的特解为解：例8所以齐次线性方程的通解为原方程对应的齐次线性方程为特征方程为则特征根为这是属于右端函数为零次多项式的情形.令特解为将其代入原方程，经化简得解：例8特征方程为由于1不是特征根，且上面方程的右端函数为零次多项式，所以可令特解为解得特征根为将代入以上方程，整理并比较两边同次幂的系数，可得则有进而有因此原方程的通解为三、小结1、二阶常系数齐次线性差分方程的解法(1)写出相应的特征方程；(2)求出特征根；(3)写出通解.2、二阶常系数非齐次线性差分方程的解法第十三章差分方程第四节差分方程在经济管理中的应用一、存贷款相关的模型二、动态供需均衡模型（蛛网模型）三、国民收入相关的模型四、小结

在经济与管理的许多实际问题中，所涉及的变量数据常常以等间隔时间周期进行统计，这就导致其中有关的变量是离散化取值的，它们之间的关系往往是以差分方程的形式体现．

本节通过举例来说明差分方程在经济管理中的简单应用．一、存贷款相关的模型例1（存款模型）设将资金存于某金融机构，初始资金量为

Z0=100万，按期结息，每一期的利率为r=4%，求第10期期末的资金总量Z10.解由题意，第n期期末和第n+1期期末时的资金总量的关系为上式可化为这是一个一阶常系数齐次线性差分方程，特征方程为所以是特征根，从而上面差分方程的通解为一、存贷款相关的模型例1（存款模型）设将资金存于某金融机构，初始资金量为

Z0=100万，按期结息，每一期的利率为r=4%，求第10期期末的资金总量Z10.解由初始资金量为

Z0，可得C=Z0，则第n期期末时的资金总量为这里Z0=100万，r=4%，求第10年末的资金总量为例2

（贷款模型）

设某人向银行贷款A0元，用于购买某件商品，贷款年限为n年，约定按月等额还款，假定年利率为r，求该借款人每月需向银行还款多少元？特别地，当A0=600000元、r=6%和n=10时，借款人每月需向银行还款多少元？解设借款人每月还款a元.记从借款之日起，第t个月还款后尚欠银行At元，总计还款期限为12n个月，则有以下差分方程即又由于贷款年限为n年（12n个月），则有A12n=0，所以可求得每月的还款金额为这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，利用待定系数法可求得其通解为再由初始贷款金额A0元，可得因此有举例说明：当A0=600000元、r=6%和n=10时，计算得每月还款额为二、动态供需均衡模型（蛛网模型）例1在普通市场中，一种商品的价格和消费者对该种商品的需求量是相互影响的，多呈负相关的走势．用Dt表示第t期该商品的供给量，

St表示第t期该商品的供给量，

Pt表示第t期该商品的价格.第t期的需求量依赖于同期价格，假设它们之间的关系（需求函数）为其中a,b为常数.第t期的供给量依赖于前期价格，即供给量滞后于价格一个周期，假设它们之间的关系为其中a1,b1为常数，且b1≠b.

求供需均衡（Dt=St）的条件下，商品的价格随时间的变化规律.解：由题意，供需均衡（Dt=St）时，得上式亦可化为这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，它对应的齐次线性差分方程的通解为所以商品的价格随时间的变化规律为利用待定系数法，可求得它的一个特解说明：1.如果供需平衡，并且商品价的价格保持不变，即则可求得静态均衡价格此时，需求函数和供给函数可改写为如果将这两个函数的图形画在同一个坐标平面上，记其交点为

称为该种商品的静态均衡点．2.如果已知初始价格

则可得所以此时商品的价格随时间的变化规律为（1）当

时，有，这表明没有外部干扰因素，商品的价格将固定在常数值上，也就是前面所说的静态均衡．（2）当

时，商品价格随着时间t的变化而变化.容易看出，当且仅当时，有也就是说，当商品的价格

随着时间t的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格.下图给出了不同情形下商品的价格（纵轴）与供需（横轴）的关系图示．可以看到上图的形状类似于蜘蛛网，因此称上面的模型为蛛网模型．三、国民收入相关的模型（哈罗德(HarrodR