《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 13-3 二阶常系数线性差分方程_第1页
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第十三章差分方程第三节二阶常系数线性差分方程一、二阶常系数齐次线性差分方程的解法二、二阶常系数非齐次线性差分方程的解法三、小结二阶常系数线性差分方程的一般形式为其中是常数，当不恒等于零时，称差分方程是非齐次的；当恒等于零时，称差分方程是齐次的，可表示为称方程(2)是方程(1)所对应的齐次线性差分方程.一、二阶常系数齐次线性差分方程的解法因为齐次差分方程可化为代入方程，得所以特征根特征方程(ii)(i)(iii)特征方程有一对共轭复特征根则通解为解：例1所以原方程的通解为特征方程为得特征根为例2解：所以原方程的通解为特征方程为得特征根为这是二阶常系数齐次线性差分方程，其特征方程为解

原方程可改写为易知此特征方程有两个共轭的复根即则所以原方程的通解为解：例4所以原方程的通解为特征方程为得特征根为由初始条件可得解得所以原方程满足初始条件的特解为二、二阶常系数非齐次线性差分方程的解法由解的结构知，差分方程(1)的通解由两项的和组成：一项是该方程的一个特解，另一项是对应的齐次差分方程的通解.在前一部分已经讨论完齐次线性差分方程的通解，所以接下来只讨论特解的求法.1、

f(x)为多项式型：此时，差分方程(1)可写为利用差分的概念，上面的方程可化为若是上面方程的解，则有这里Qn(x)是n次待定多项式，k的取值按下列方式确定因此可假设差分方程的解为以下的待定式解：例5

则特征根为特征方程为所以原方程对应的齐次线性差分方程的通解为由于1不是特征根，且右端函数为一次多项式，则可令特解为将代入原方程，有求得所以从而，原方程的通解为解：则特征根为特征方程为所以原方程对应的齐次线性差分方程的通解为由于1是特征根且为单根，而右端函数为一次多项式，则可令特解为例6将代入原方程，有求得所以从而，原方程的通解为解：例7所以原方程对应的齐次线性差分方程的通解为特征方程为得特征根为由于1是特征根且为二重根，而右端函数为零次多项式，则可令特解为将代入原方程，有求得所以特解为从而，原方程的通解为由初始条件可得因此所求的特解为2、f(x)为指数函数与多项式之积型：此时，差分方程(1)可改写为若作变换则上面的方程可化为这是右端函数为多项式型的非齐次线性差分方程.由待定系数法得它的特解，则原方程的特解为解：例8所以齐次线性方程的通解为原方程对应的齐次线性方程为特征方程为则特征根为这是属于右端函数为零次多项式的情形.令特解为将其代入原方程，经化简得解：例8特征方程为由于1不是特征根，且上面方程的右端函数为零次多项式，所以可令特解为解得特征根为将代入以上方程，整理并比较两边同次幂的系数，可得则有进而有因此原方程的通解为三、小结1、二阶常系数齐次线性差分方程的解法(1)写出

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