《高等数学（经济类）下册 第2版》习题及答案 第十一章 级数习题答案

习题11-1(A)写出下列级数的前5项：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）.（2）.（3）.（4）．根据级数收敛于发散的定义判定下列级数的敛散性:（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由于，故有．由于，所以此级数发散．（2）由于，故有．由于，所以此级数收敛．（3）由于，故有．由于，所以此级数收敛．（4）由于，故有．由于，所以此级数发散．判定下列级数的敛散性:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）由于此级数的，所以此级数为首项，公比的等比级数，且，故此级数收敛于．（2）级数，由于级数是调和级数，且是发散的，所以原级数发散．（3）级数的一般项，且，故原级数发散．（4）由于此级数的，所以此级数为首项，公比的等比级数，且，故此级数发散．（5）．由于是首项为，公比的等比级数，故此级数收敛于，是首项为，公比的等比级数，故此级数收敛于，有性质2可知原级数收敛于．（6）由于，故有级数收敛于，级数发散，所以原级数发散．若级数收敛，求极限．解：由于数收敛，故由级数收敛的必要条件可知，所以．设银行存款的年利率为10%，若以年复利计算，应在银行中一次存入多少资金才能保证从存入之后起，以后每年能从银行提取500万元以支付职工福利直至永远．解：设为年复利率，由于以后每年需要支付500万元直至永远，故在银行存入的资金总额为．该幂级数是公比为，所以该级数的和函数．即银行应一次性存入5000万元才能保证以后每年能从银行提取500万元以支付职工福利直至永远．习题11-1(B)判定下列级数的敛散性:（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）级数的一般项，该级数的部分和，因此，．所以该级数收敛．（2）级数的一般项，故该级数的部分和，因此，．所以该级数收敛．（3）级数的一般项，故．所以该级数发散．（4）该级数可以写成，令，，由于级数收敛，发散，由级数的性质可知该级数发散．

习题11-2(A)用比较审敛法或其极限形式判定下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．解：（1）由于，又因为级数是发散的，由比较审敛法的极限形式可知，级数是发散的．（2）由于，级数是等比级数且是收敛的，由比较审敛法可知级数是收敛的．（3）由于，级数是调和级数且是发散的，由比较审敛法可知级数是发散的．（4）由于，又因为级数是发散的，由比较审敛法的极限形式可知，级数是发散的．（5）由于，级数是p-级数，且，故级数是收敛的，由比较审敛法可知级数是收敛的．（6）由于，又因为级数是p-级数，且，是收敛的，由比较审敛法的极限形式可知，级数是收敛的．（7）由于，又因为级数是等比级数且是收敛的，由比较审敛法的极限形式可知，级数是收敛的．（8）由于，级数是等比级数且是收敛的，由比较审敛法可知级数是收敛的．用比值审敛法判定下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由于，由比值审敛法可知该级数发散．（2）由于，由比值审敛法可知该级数收敛．（3）由于，由比值审敛法可知该级数收敛．（4）由于，由比值审敛法可知该级数收敛．习题11-2(B)用适当的方法判定下列级数的收敛性（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）由于．又因为是等比级数，是收敛的，由比较判别法可知原级数收敛．（2）由于，当时，，由比值审敛法可知该级数收敛；当时，级数发散；当时，，所以级数发散．（3）由于．当时，，由比值审敛法可知该级数收敛；当时，级数发散；当时，，所以级数收敛．（4）由于，且级数是收敛的，故原级数收敛．（5）由于，，且是发散的，由比较判别法的极限形式可知原级数是发散的．（6）由于，故由比值判别法可知原级数收敛．若正项级数收敛，证明级数与级数都收敛．证：（1）由于，且级数收敛，由比较审敛法的极限形式可知级数收敛．（2）由于，且级数收敛，故，所以，由比较审敛法的极限形式可知级数收敛．若存在，证明：正项级数收敛．证：由于，又因为级数是收敛的，由比较判别法的极限形式可知正项级数收敛．求下列极限（1）；（2）．解：（1）考虑级数，由于，且，故级数是收敛的．由级数收敛的必要条件可知．（2）考虑级数，由于，而收敛，由比较审敛法可知级数收敛，不妨记其和为，因此，所以．

习题11-3(A)讨论下列交错级数的收敛性:（1）；（2）．解：（1）由于，故此级数发散．（2）所给级数为交错级数满足，，满足莱布尼茨定理的条件，故此级数收敛．判定下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．解：（1）由于，因为级数是收敛的，所以原级数是绝对收敛的．（2）由于，故原级数绝对收敛．（3）由于，故原级数发散．（4）由于又发散；而对于，因为，所以收敛．所以原级数条件收敛．（5）由于，而，又所以原级数绝对收敛．（6）由于，又，所以发散；而对于，有，所以收敛．故原级数条件收敛．（7）由于，，所以发散；而对于，有，所以条件收敛．习题11-3(B)已知级数收敛，对于任意常数，证明：当时，级数绝对收敛．证：，，而收敛，收敛，所以收敛．所以级数当时绝对收敛．若存在，证明：级数绝对收敛．证：因为存在，可设即又收敛，所以收敛，因此绝对收敛．证明：．证：若考察级数因为，所以所以．判断级数是否收敛？若收敛是条件收敛还是绝对收敛？解：由于，而是发散的，所以发散；由于该级数是交错级数，不满足莱布尼茨定理，故用定义考虑，进一步，．所以为单调减少且有下界的数列，从而，又因为，所以，故原级数收敛．所以条件收敛．

习题11-4(A)求下列幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．解：（1）因为，所以收敛半径，收敛区间为；当时，级数为发散，当时，级数为发散，所以级数的收敛域为．（2）因为，所以收敛半径，收敛区间为；当时，级数为发散，当时，级数为收敛，所以级数的收敛域为．（3）因为，所以收敛半径，级数只在收敛，所以级数的收敛域为（4）因为，所以收敛半径，收敛域为（5）因为，所以收敛半径，收敛区间为；当时，级数为收敛，当时，级数为收敛，所以级数的收敛域为．（6）因为，所以收敛半径，收敛区间为；当时，级数为发散，当时，级数为收敛，所以时级数收敛，所以级数的收敛域为．（7）因为，故所以级数的收敛半径，收敛区间为；当时，级数为收敛，当时，级数为收敛，所以级数的收敛域为．（8）因为，故所以级数的收敛半径，收敛区间为；当时，级数为发散，当时，级数为发散，所以级数的收敛域为．利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：（1）；（2）；（3）．解：（1）级数的收敛域为，设其和函数为．（2）级数的收敛域为，设其和函数为，．（3）级数的收敛域为，设其和函数为，所以．习题11-4(B)若幂级数在点收敛，证明该级数在点处绝对收敛．解：幂级数在点收敛，即，所以满足而，所以原级数在处绝对收敛求下列幂级数的收敛域：（1）；（2）．解：（1）因为对于级数，有，故收敛半径；收敛区间为；对于级数，有，故收敛半径；收敛区间为；当时，级数发散，级数发散．当时，级数发散，级数发散．所以级数的收敛域为．（2）令，原级数变为，由此可知，所以，即原级数的收敛区间为当时，原级数收敛；当时，原级数收敛．故原级数的收敛域为．求幂级数的和函数，并求收敛域．解：级数，，所以原级数的和函数．求幂级数的和函数，指出收敛域，并计算．解：因为，，则，因此，所以，原级数的和函数因此，．

习题11-5(A)将下列函数展开成的幂级数，并求展开式的收敛区间:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）由于，并且，所以.（2）由于，又因为,所以.（3）由于，，所以.故.（4）由于，所以.（5）.将下列函数展开成的幂级数:（1）；（2）.解：（1）由于，并且，有，所以.（2）由于，并且，所以.所以.将函数展开成的幂级数.解：由于，并且有所以，.将函数展开成的幂级数.解：由于，并且，，所以.习题11-5(B)将函数展开成的幂级数，并指出收敛范围.解：由，得.将函数展开成的幂级数，并指出收敛范围.解：由于，所以.故，.将级数的和函数展开成的幂级数.解：.

总习题十一1．填空题（1）对级数，是它收敛的条件；（2）部分和数列有界是正项级数收敛的条件；（3）若级数绝对收敛，则级数必定；若级数条件收敛，则级数必定．解答：（1）必要；（2）充要；（3）收敛，发散．2．判定下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）．解：（1），因．而级数是发散的，故由比较审敛法的极限形式可知原级数发散．（2），由，故级数发散．（3），而级数是收敛的（由于，由比值审敛法可知收敛），故由比较审敛法知原级数收敛．（4），因，而发散，故由比较审敛法的极限形式可知原级数发散．注：求极限时，可以考虑极限．由，故，从而．（5），．由比值审敛法可知，当时级数收敛，当时级数发散．当时，原级数成为，由p-级数的结论知，当时级数收敛，当时级数发散．3．设正项级数和都收敛，证明级数也收敛．证：由于正项级数和都收敛，故有也收敛，由级数收敛的必要条件可知．由比较审敛法的极限形式，可知级数也收敛．4．讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性：（1）；（2）；（3）．解：（1）由于，故而级数发散，由比较审敛法的极限形式可知发散．而是交错级数且满足莱布尼茨定理的条件，因而收敛，故该级数条件收敛．（2）由于，由比值审敛法可知收敛，即原级数绝对收敛．（3）由于，，而级数收敛，由比较审敛法可知收敛，即原级数绝对收敛．5．求下列幂级数的收敛区间；（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由于，，有，故收敛半径为，收敛区间为．（2）由于，，有故