2024-2025学年福建省莆田某中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省莆田十五中高三（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合2="6Z|x（久—3）<0},B={-1,2,3},则4nB=（）

A.{2}B.{2,3}C.{-1,1,2,3}D.0

2.若a,beR,贝ij“a>12b>1”是“ab>1且a+%N2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.已知a-bG[0,1],a+be[2,4]-则4a-2b的取值范围是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

4.不等式/-2x+m>0在R上恒成立的必要不充分条件是（）

A.m>2B.0<m<1C.m>0D.m>1

5.若关于X的一元二次不等式a/+ft%+c>0的解集为{%[%<;或%>求关于光的不等式c/+5%+

。<0的解集是（）

A.{x|-3<%<—2}B.{x|2<x<3}

C.{x\x>3或％<2}D.{x\x>—2或X<—3]

6.某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用工

年的维修总费用为争万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（）

A.7B.8C.9D.10

±9

1且+>m2

已知。b---2zn恒成一，则实数m的取值范围为（）

7.log2a+log22a

A.(—co,-1]U[3,8)B.(—8,-3]U[l^oo)

C.[-1,31D.[-3,1]

1

y>

8.对任意实数x>1,2-不等式赤f恒成立，则实数a的最大值为（）

A.2B.4C.詈D.272

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知a>b>0,则下列说法正确的是（）

Abb+22a+ba

A%>mB.诋(石

C.2<a>yj~a^b+^fbD.1g竽>幽产

10.已知正数a,b满足a+2b=1,贝!|()

A.ab的最大值为擀B-+［的最小值为9

4ab

C.a2+462的最小值为。D.2。+4b的最小值为

4

11.设对于定义域为。的函数y=/Q),若存在区间［a,切=使得/(©同时满足：

①f(x)在［a,句上单调;

②当f(x)的定义域为［a,0时，f(x)的值域也为［a,切则区间［a,句为该函数的一个“和谐区间

下列说法正确的是()

A.区间［-4,0］是f(久)=/_4久的一个“和谐区间”

B.函数/(乃=%3的所有“和谐区间”为Qi］,

C.若函数〃久)k存在“和谐区间”，则实数k的取值范围是［1,3

D.函数f(x)=一2+3存在“和谐区间”

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合M={x\x2-4<0},N={x\y=lg(l-%)},则MUN=.

13.设函数f(x)=<8^,则函数%)的定义域为.

14.定义在R上的函数/(x)满足/(x)=、「，则/(2025)的值为

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

设函数/(久)=V2+x+In(4—久)的定义域为4集合B=［x\m+1<x<2m-1}.

(1)求集合A;

(2)若P：xe4,q-.xeB,且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

16.(本小题12分)

已知集合4={%|<0},B={久|2—m<x<m+l］.

(1)当m=2时，求4CB;

(2)若力UB=4,求实数6的取值范围.

17.(本小题12分)

某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车.已知该客车每年的营运总收入为30万

元，使用光年。eN+)所需的各种费用总计为2万2+6久万元.

(1)该车营运第几年开始赢利(总收入超过总支出，今年为第一年)；

(2)该车若干年后有两种处理方案：

①当赢利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；

②当年平均赢利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出.

问：哪一种方案较为合算？并说明理由.

18.(本小题12分)

设y=ax2+(1—a)x+a—2.

(1)若不等式y>-2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；

(2)解关于％的不等式a-+(1—a)x—1<0(aGR).

19.(本小题12分)

对于函数/(x)=a/+(1+b)龙+b-力0),存在实数x(),使/(x。)=成立，则称而为/(x)关于

参数机的不动点.

(1)当a=1,b=-2时，求/(久)关于参数1的不动点；

(2)当a=l,b=2时，函数/(%)在久6(0,2]上存在两个关于参数ni的相异的不动点，试求参数的取值范

围；

(3)对于任意的a€弓，1]，总存在b6[2,5],使得函数/'(久)有关于参数的两个相异的不动点，试求m的取

值范围.

参考答案

1.71

2.A

3.B

4.C

5.B

6.C

7.C

8.D

9.BCD

10.BD

11.BCD

12.{x\x<2}

13.(—oo,6]

14.0

15.解：(1)

由题意可得：?+解得：一24久<4,

14—%>0

所以/={x|-2<%<4]；

(2)

因为p是q的必要不充分条件，所以8是/的真子集，

当8=0时，m+1>2m—1,解得：m<2,满足题意；

m+1<2m—1

当时，m+1>—2,

2m—1<4

解得：2<m<I；

综上：实数机的取值范围是(-84).

16.1?：a={x|1<0}={久|—1<X<2},

B={x\2—m<x<m+l}

(1)当m=2时，B={%|0<%<3},

AC\B={x|0<x<2].

(2)/UB=A=B5.

〃一八1

若B=0,2—+

1

'2—m<m+1

解得<m<1

丰0—2——12-

m+1<2

综上m<1,

故ni的取值氾围为｛m|m<1].

17.1?：(1)因为客车每年的营运总收入为30万元，使用x年QCN+),

所需的各种费用总计为2/+6x万元，

若该车x年开始赢利，则30久>2x2+6x+50,

贝！]2%2_24%+50<0,即/-12%+25<0,

解得34久W9,(xeN+).

所以该车营运3年开始赢利；

2

(2)方案①由题意知赢利总额为=3Ox-(2/+6x+50)=一2/+24%-50=-2(%-6)+22,

%=6时，赢利总额达到最大值为22万元，

所以6年的赢利总额为22+10=32万元，

方案②，年平均赢利总额y=-2"+#50=_2乂_?+24=24—2(x+y)<4,

当且仅当x=5时取等号.%=5时年平均赢利总额达到最大值为4万元，

所以5年的赢利总额为5X4+12=32万元，

两种方案的赢利总额一样，但方案②的时间短，故方案②合算.

18.解：(1)不等式y>—2«ax2+(1—a)x+a>0.

当。=0时，ax2+(1-a)x+a>0化为X>0,即不等式y>一2仅对1>0成立，不满足题意；

当aW0时，要使a/+(1—a)x+a>0对一切实数久恒成立.

则弓—4a2<0,解得°J

综上，实数a的取值范围为+8)；

(2)当a=0时，ax2+(1—a)x—1<0化为％—1<0,解得久<1；

当Q。0时，由a/+(1—a)x—1<0,得(ax+1)(%—1)<0.

①若Q>0,解得一，<%<1;

②若aV0,当一;=1,即@=一1时，解得％W1；

11

当时，解得久<—或%>

czV—1—aa<1,1;

11

当一1<aV0时，—>1,解得％<1或久>—.

aa

综上，当Q>0时，不等式解集为V]<1｝;

当。=0时，不等式解集为｛%|%V1｝;

当一1<a<0时，不等式解集为｛%[%<1或%>一，｝；

当。二一1时，不等式解集为｛%|支。1｝；

当。V一1时，不等式解集为｛%|%V一，或久>1｝.

19.解：(1)当a=1,b=-2时，/(%)=x2-%-3,令/(%)=%,

可得％2—x—3=x,即——2x—3=0,解得％=3或久=—1,

当a=l,b=—2时，关于参数1的不动点为一1和3；

(2)由已知得为问题/(%)=/+3%+1=租%在(0,2]上有两个不同实数解，

即％2+(3-m)x+1=0在X6(0,2]上有两个不同解，

p(0)=1>0

g(2)=11—2m>0

令g(x)=%2+(3-m)x+1,所以Jd=(3-爪/一4>0，

[o<等<2

解得5<m<y,

所以租的范围是(5,三].

(3)由题意知，函数/(%)有关于参数租的两个相异的不动点，

所以方程/(%)=mx,

即a%2+的+1_m)x+b—1=0(aH0)恒有两个不等实根，

则/=(b+1-m)2-4a(b-1)>0,

即(b窜I)2>4跖对任意的4e由1]，总存在6G[2,5]使之成立，

22

即吟含>3，即产+1丁>%

令帅)=里卢=3->+("2%,-1)+所2)2=b_1+耳李+(4—2m),be[2,5],