初中数学复习：将军饮马五大模型七类题型及答案

将军饮马五大模型七类题型（模型梳理与题型分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

【方法原理】

1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段

两端点的距离相等；4.垂线段最短.

【基本模型】

【模型一：两定交点型】如图1,直线1和1的异侧两点A.B,在直线1上求作一点P,使PA+PB最

图1

【模型二：两定一动型】如图2,直线1和1的同侧两点A.B,在直线1上求作一点P,使PA+PB最小

（同侧转化为异侧）；

【模型三：一定两动型】如图3,点P是NMON内的一点，分别在0M,ON上作点A,B。使4PAB

的周长最小。

【模型四：两定两动型】如图4,点P,Q为NMON内的两点，分别在0M,ON上作点A,B。使四边

形PAQB的周长最小。

图4

【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5,点A是NMON外的一点，在射线ON上作点P,使PA

与点P到射线0M的距离之和最小。

图5

【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6,点A是NM0N内的一点，在射线ON上作点P,

使PA与点P到射线0M的距离之和最小。

uBN

图6

【题型目录】

【题型1】两定一动型......................................3;

【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型........................6;

【题型3]一定两动（垂线段最短）型.............................9；

【题型4】两定两动型......................................12;

【题型5]一定两动（等线段）转化型.............................14;

2

【题型6】直通中考.......................................18;

【题型7】拓展延伸........................................21;

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】两定一动型；

1.（23-24八年级上•河北廊坊•期中）如图，在ZkABC中，ZBAC=9。,AB=12,AC=16,BC=20,将

△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合.

（1）线段CD的长是；

（2）若点E是射线BM上一动点，则4CDE周长的最小值是.

2.（22-23八年级上•广西南宁•期末）如图，点E在等边4ABC的边BC上，BE=4,射线CD±BC,垂足

为点C,点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5,mAB

的长为.

D

3.（23-24八年级下•河南郑州•阶段练习）如图，在AABC中，AB=AC.在AB、AC上分别截取AP、

AQ,使AP=AQ.再分别以点P,Q为圆心，以大于gpQ的长为半径作弧，两弧在NBAC内交于点

R,作射线AR,交BC于点D.已知BC=5,AD=6.若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点,

则BM+MN的最小值为

【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型；

4.（23-24七年级下•陕西西安•期末）如图，在锐角4ABC中，ZABC=30,AC=4,AABC的面积为5,

P为4ABC内部一点，分别作点P关于AB,BC,AC的对称点P1；P2,P3,麋P/2,PP3,则2Plp2+

PP3的最小值为.

Pl

5.（23-24八年级上•」晾海淀•期中）如图，已知ZM0N=30°,在NM0N的内部有一点P,A为0M上一

动点，B为0N上一动点，OP=a，当4PAB的周长最小时，ZAPB=度，4PAB的周长的最

小

6.（22-23八年级上♦编I乌鲁木齐•期末）如图，已知NAOB的大小为a,P是NA0B内部的一个定点，且

0P=5,点E、F分别是OA、0B上的动点，若4PEF周长的最小值等于5,则。=（）

【题型3】一定两动型（垂线段最短）；

7.（2024八年级上•全国•专题练习）如图，在RtAABC中，ZACB=90,AC=3,BC=4,AD是NBAC的

平分线，若P,Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）

c

D

Q.

AB

A.2.4B.3C.4D.5

8.（23-24七年级下•广东深圳•期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD_LBC,点D为垂足,

E、F分别是AD、AB上的动点.若AB=6,4ABC的面积为12,则BE+EF的最小值是（）

A.4C.6D.8

9.（23-24八年级•江苏•假期作业）如图，在4ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是ZBAC的

平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是.

【题型4】两定两动型；

10.（22-23八年级上•溯匕武汉•期末）如图，ZAOB=20,M,N分别是边OA,OB上的定点，P,Q分别

是边OB,0A上的动点，记N0PM=a,ZOQN=B，当MP+PQ+QN最小时，则关于a,8的数量关

系正确的是（）

A

2

M

OB

A.B-aB.B+a=210C.B-2a=30D.B+Q=200

【题型5]一定两动（等线段）转化型；

11.（23-24九年级下•广西南宁•开学考试）如图，AABC是等边三角形，AB=4.过点A作ADLBC于

点D,点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等边ACRQ,连接DQ,则DQ的最小值为

12.（23-24八年级下•溯匕武汉•阶段练习）如图，在RtAABC中，ZBAC=90,AC=6,BC=10,D、E分

别是AB、BC上的动点，且CE=BD,肱AE、CD,贝UAE+CD的最小值为.

13.（2024•安徽合肥•二模）如图，Z^ABC和4ADE都是等腰三角形，且NBAC=NDAE=12。，AB=8,0

是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接0E,则在点D运动过程中，0E的最小值为（）

E

O

BDC

A.4V2B.—\/3C-D.2

第三部分【中考链接与拓展延伸】

【题型6】直通中考

14.（2023•辽宁锦州•中考真题）如图，在RtAABC中，ZACB=90,ZABC=3。，AC=4,按下列步骤作

图：①在AC和AB上分别截取AD、AE,使AD=AE.②分别以点D和点E为圆心，以大于;DE的

长为半径作弧，两弧在ZBAC内交于点M.③作射线AM交BC于点F.若点P是线段AF上的一个

动点，连接CP,则CP+JAP的最小值是.

15.（2020•敏•中考真题）如图，在zMBC中，NA=90,NB=60,AB=4,若D是BC边上的动点，则2AD

+DC的最小值为.

【题型7］拓展延伸

16.（2024•辽宁葫芦岛•中）在4ABC中，ZABC=6。，BC=4,AC=5,点D,E在AB,AC边上，且AD

=CE,贝UCD+BE的最小值是.

C

E,

ADB

17.（23-24八年级上•湖北武汉•阶段练习）如图，等腰4ABC中，ZBAC=10。，BD平分NABC，点N为

BD上一点，点M为BC上一点，且BN=MC,若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是.

将军饮马五大模型七类题型（模型梳理与题型分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

【方法原理】

1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段

两端点的距离相等；4.垂线段最短.

【基本模型】

【模型一：两定交点型】如图1,直线1和1的异侧两点A.B,在直线1上求作一点P,使PA+PB最

图1

【模型二：两定一动型】如图2,直线1和1的同侧两点A.B,在直线1上求作一点P,使PA+PB最小

（同侧转化为异侧）；

【模型三：一定两动型】如图3,点P是NMON内的一点，分别在0M,ON上作点A,B。使4PAB

的周长最小。

【模型四：两定两动型】如图4,点P,Q为NMON内的两点，分别在0M,ON上作点A,B。使四边

形PAQB的周长最小。

图4

【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5,点A是NMON外的一点，在射线ON上作点P,使PA

与点P到射线0M的距离之和最小。

图5

【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6,点A是NM0N内的一点，在射线ON上作点P,

使PA与点P到射线0M的距离之和最小。

uBN

图6

【题型目录】

【题型1】两定一动型......................................3;

【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型........................6;

【题型3]一定两动（垂线段最短）型.............................9；

【题型4】两定两动型......................................12;

【题型5]一定两动（等线段）转化型.............................14;

2

【题型6】直通中考.......................................18;

【题型7】拓展延伸........................................21;

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】两定一动型；

1.(23-24八年级上•河北廊坊•期中)如图，在ZkABC中，ZBAC=9。,AB=12,AC=16,BC=20,将

△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合.

(1)线段CD的长是；

(2)若点E是射线BM上一动点，则4CDE周长的最小值是.

【答案】824

【分析】本题主要考查了的折叠的性质、两点之间线段最短，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键.

(1)由折叠的性质可得BD=AB=12,再由CD二BC-BD进行计算即可得到答案；

⑵设BM与AC的交点为点F,螃AE,由折叠的性质可得：DF=AF,DE=AE,/BDF=NBAF,曲崩

两点之间线段最短可得当点E与点F重合时，AE+CE取最小值，最小值为AC,由此即可得到答案.

解：⑴由折叠的性质可得：BD=AB=12,

.\CD=BC-BD=20-12=8,

故答案为：8；

⑵如图，设BM与AC的交点为点F,连妾AE,

由折叠的性质可得：DF二AF,DE=AE,ZBDF=ZBAF,

由⑴得：CD=8,

AACDE的周长=CD+DE+CE=8+AE+CE,

要是4CDE的周长最小，只需AE+CE最小，

由两点之间线段最短可知，当点E与点F重合时，AE+CE取最小值，最小值为AC,

.".△CDE的周长=8+AC=8+16=24,

故答案为：24.

2.(22-23八年级上•广西南宁•期末)如图，点E在等边4ABC的边BC上，BE=4,射线CD±BC,垂g

为点C,点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5,®JAB；

的长为.

D

A

二

【答案】7

【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性

质求最短距离的方法是解答的关键.作点E关于射线CD的对称点E，过E作EFLAB于F,交射线CD

于P,连接PE,此时EP+FP的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得NE=90-ZB

=3。，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得BE=2BF=10,进而求得CE=3即可求解.

解：作点E关于射线CD的对称点E，过E作EF，AB于F,交^擦CD于P,雌PE,如图，则EP

EP,

EP+FP=EP+FP=EF,止出寸EP+FP的值最小，则BF=5,

VAABC是等边三角形，?

.\ZB=60,AB=BC,

在RtZkBFE中，ZE=90-ZB=3ff,/\f

/.BE=2BF=10,

VBE=4,CE=CE,tk(\

/.2CE+4=10,\

f

ACE=3,tFeCaFB

AAB=BC=3+4=7,

故答案为：7.

3.(23-24八年级下•河南郑州•阶段练习)如图，在aABC中，AB=AC.在AB、AC上分别截取AP、

AQ,使AP=AQ.再分别以点P,Q为圆心，以大于；PQ的长为半径作弧，两弧在NBAC内交于点

R,作射线AR,交BC于点D.已知BC=5,AD=6.若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点,

则BM+MN的最小值为.

【答案】胃

【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是读懂图形信息，灵

活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.过点B作BH±AC于点H,交AD于点M,根据等腰三角

形的性质和勾股定理求出AC,然后根据SAAB(?1-BC-AD=)•AC•BH,可得BH=兽.作点H关于

AD的对称点交AB于点N,嫩MN,可得MH=MN,进而可以解决问题.”

解：如图，过点B作BHJ.AC于点H,交AD于点M

由作图可知，AD平分NBAC,

VAB=AC,

AAD±BC,

1N

ABD=CD=yBC=-j-,

VAD=6.

・・・AC=JAD2+DC2=苫+芋，

11

VSAAB(?A-BC-AD=y-AC-BH,

IQ

・・.5X6二号BH,

・•.BH*.

VAB=AC,AD±BC,

作点H关于AD的对称点交AB于点N,雇MN,当M与M重合时，此时BM+MN最小,

MH=MN,

ABH=BM+MH=BM+MN,

则BM+MN的最小值为黑.

10

故答案为：黑

【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型；

4.（23-24七年级下•陕西西安•期末）如图，在锐角4ABC中，ZABC=30,AC=4,AABC的面积为5,

P为4ABC内部一点，分别作点P关于AB,BC,AC的对称点PpP2,P3,阖妾P/2,PP3,则2Plp2+

PP3的最小值为.

【答案】5

【分析】首先由4ABC的面积为5,；AC-BM=5,求出BM=9,然后由/ABC=30和对称构造正三角形,

将P1P2转化成BP,将2Plp2+PP3提取系数2,最终转化成垂线段最短.

解：设PP3与AC交于点Q,则PQ=；PR,箍BP、BQ、BR、BR,作BM

±AC,垂足为M,

AC=4,AABC的面积为5,

AyAC-BM=5,§PyX4BM=5

ABM=

根据对称性得BP=BPi=BP2,ZABP=ZABPpZCBP=ZCBP2,

；./PIBP2=2NABC=60,

••.△RBP2是正三角形，

；/岛=BPi=BP,

.,.2PIP2+PPg^2PjP2+-j-PP3=2(BP+PQ)22BQ22BM=5,

故答案为：5.

【点拨】本题考查了轴对称、正三角形、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是将P1P2转化成BP,将

2Plp2+PP3提取系数2,最终转化成垂线段最短.形式上易与胡不归混淆.

5.(23-24八年级上•」晾海淀•期中)如图，已知ZM0N=30°，在NM0N的内部有一点P,A为0M上一

动点，B为0N上一动点，OP=a，当4PAB的周长最小时，ZAPB=_____度，4PAB的周长的最

在是.

【答案】120a

【分析】分别作出点P关于0M,0N两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与0M,0N的交点即为所确

定的点；连接OP,OP,0P，由轴对称的性质得：OP=OP=0P=a,/P0A=ZP0A,ZPOB=

ZPOB,WAPOP是等边三角形，即可得到结论.

解:①分别作点P关于0M,0N的对称点P,P；邂P,P,分另住0M,0N于点A、点B,贝比时

△PAB的周长最小.

连接OP,0P,0P,M

由轴对称的性质得：OP=OP=OP=a,4'/^

NP0A=NP0A,/POB=NPOB,

VZMON=30,

'/POP=2ZM0N=60,Q\\___N

/.△POP是等边三角形，'、'、'、、、、产?

/.PP=OP=a,ZAP0=ZAPO,ZBP0=ZBP0,、力〃

AZAPB=ZAP0+ZBP0=120,

.".△PAB的周长=PP=a,

故答案为：120,a.

【点拨】此题主要考查了轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段

最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点.

6.(22-23八年级上•褊I乌鲁木齐•期末)如图，已知NA0B的大小为a,P是/AOB内部的一个定点，且

0P=5,点E、F分别是0A、0B上的动点，若4PEF周长的最小值等于5,则。=()

.1

A.30B.45C.60D.90

【答案】A

【分析】设点P关于0A的对称点为C,关于0B的对称点为D,当点E、F在CD上时，4PEF的周长为PE+

EF+FP=CD,此时周长最小，根据CD=5可求出a的度数.

解：如图，作点P关于0A的对称点C,关于0B的对称点D,螃CD,交0A于E,0B于F.此时，Z\PEF

的周长最小.

连接0C,0D,PE,PF.

•••点P与点C关于0A对称，

...0A垂直平分PC,

AZCOA=ZAOP,PE=CE,0C=0P,

同理，可得ZDOB=ZBOP,PF=DF,0D=OP.

AZCOA+ZDOB=ZAOP+ZBOP=ZAOB=a,OC=OD=OP=5,

.\ZC0D=2a.

X'/APEF的周长为：PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5,

AOC=OD=CD=5,

/.△COD是等边三角形，

.\2a=60,

；.a=30.

故选：A.

【点拨】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键.要使4PEF的周长最小，通

常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决.

【题型3】一定两动型（垂线段最短）；

7.（2024八年级上•全国•专题练习）如图，在RtAABC中，ZACB=9。，AC=3,BC=4,AD是/BAC的

平分线，若P,Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）

【答案】A

【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作点Q关于AD的对称点Q，射PQ,

CQ，过点C作CH，AB于点H,根据角平分线定义以及对称可以得到PC+PQ=PC+PQNCH,利

股定理求出AB的长，再利用三角形面积求出CH的长即可得到结果.

解：如图，作点Q关于AD的对称点Q，雌PQ,CQ，过点C作CHLAB于点H,

：AD是△ABC的角平分线，Q与Q关于AD对称，

...点Q在AB上，PC+PQ=PC+PQ2CH,

VAC=3,BC=4,

AB=JAC?+BC2=5,

:•AC-BC==•AB•CH即：X3X4=yX5XCH,

ACH=2.4,

ACP+PQ22.4,

APC+PQ的最小值为2.4,

故选：A.

8.（23-24七年级下•广东深圳•期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD，BC,点D为垂足,

E、F分别是AD、AB上的动点.若AB=6,AABC的面积为12,则BE+EF的最小值是（）

C.6D.8

【答案】B

【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题，垂线段最短.解此题的关键是正确作出辅助

线.作点F关于AD的对称点M,邂BM、EM,过点B作BN，AC于点N,从而可确定BE+EFNBM,

即BM最小时，BE+EF最小.再根据垂线段最短可知BN的长即为BM最小时，最后根据三角形面积公式

求出BN的长即可.

解：如图，作点F关于AD的对称点M,腌BM、EM,过点B作BN，AC于点N,

EF=EM,

；.BE+EF=BE+EM2BM,

；.BM最小时，BE+EF最小.

当BM_LAC时BM最小，即为BN的长，

VSAABeyAC-BN=12,AB=AC=6,

ABN=2X124-6=4,

ABE+EF的最小值是4.

故选B.

9.（23-24八年级•江苏“幽作业）如图，在△ABC中，AB=AC10,BC=12,AD=8,AD是ZBAC的

平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是

c

【答案】9.6

【分析】本题考查了轴对称--最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，线段垂直平分线的性

质.连接PB,PQ,根据线段垂直平分线的性质可得BP=CP,从而得到当点B,P,Q三点共线时，PC+

PQ取得最小值，最小值为BQ的长，且当BQ，AC时，BQ最小，再由=C-AD=C-BQ,求

渝6c的长,即可.

解：如图，连接PB,PQ,

VAB=AC,AD是NBAC的平分线，

AAD垂直平分BC,

Z.BP=CP,

PC+PQ=PB+PQ2PQ,

当点B,P,Q三点共线时，PC+PQ取得最小值，最小值为BQ的长，且当

BQ_LAC时，BQ最小，

VSAABe；BC-AD=：AC-BQ,

X12X8::X10BQ,

ABQ=9.6.

故答案为：9.6

【题型4】两定两动型；

10.（22-23八年级上•湖北武汉•期末）如图，ZAOB=20,N分别是边OA,0B上的定点，P,Q分别

是边OB,0A上的动点，记NOPM=a,ZOQN=B，当MP+PQ+QN最小时，则关于a,8的数量关

系正确的是（）

【答案】D

【分析】如图，作M关于0B的对称点M,N关于0A的对称点N，雌MN交0A于Q,交0B于P,则

MP+PQ+QN最小，易知/OPM=ZOPM=ZNPQ,ZOQP=ZAQN=ZAQN,ZOQN=180-20

-ZONQ,ZOPM=ZNPQ=2（J+ZOQP,ZOQP=ZAQN=20+ZONQ,由此即可解决问题.

解：如图，作M关于0B的对称点M,N关于0A的对称点N，般MN交0A于Q,交0B于P,则MP|

PQ+QN最小,

解：由轴对称的性质得/OPM=NOPM，=ZNPQ,ZOQP=ZAQN=ZAQN,ZOQN=180-20

-ZONQ,ZOPM=ZNPQ=20+ZOQP,ZOQP=ZAQN=20+ZONQ,

a+B=180°-20-ZONQ+20+20+ZONQ=200.

故选：D.

【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活

运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

【变式】（20-21八年级上•天津•期末）如图，ZAOB=25，点M八分别是边0八，0B上的定点，点P,Q分

别是边OB,0A上的动点，记/MPQ二a,/PQN=B,当MP+PQ+QN的值最小时，B-a的大小=_

_____（度）.

【答案】50

【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于0B的对称点M,N关于

0A的对称点N，腌MN，交0B于点P,交0A于点Q,连妾MP,QN,可知此时MP+PQ+QN最小，

此时NOPM=/OPM=QPN,ZOQP=ZAQN=ZAQN，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得

出结论.

解：作M关于0B的对称点M,N关于OA的对称点N，雌MN，交0B于点P,交0A于点Q,连接MP,

QN,如图所示.

N'

根据两点之间，线段最短，可知此时MP+PQ+QN最小，即MP+PQ+QN=MN,

AZ0PM=ZOPM=QPN,ZOQP=ZAQN=ZAQN,

VZMPQ=a,ZPQN=P,

・・・NQPN=：180-a,ZOQP=~180-B,

VZQPN=ZA0B+Z0QP,ZA0B=25,

Ay180-a=25当180-0

，B-a=50,

故答案为：50.

【题型5】一定两动（等线段）转化型；

11.（23-24九年级下•广西南宁•开学考试）如图，AABC是等边三角形，AB=4.过点A作AD_LBC于

点D,点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等边ACRQ,峥DQ,则DQ的最小值为

【答案】1

【分析】连接BQ,先证Z\ACP0ABCQlSAS）,则可得/CBQ=/CAP=30,由此可知Q点在过B点且与

BC成30角的直线上运动.根据垂线段最短可知，当DQLBQ时，DQ最小，求出DQ的值即可.

本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及垂线段最短.熟练掌握以上知识，找出

Q点的运动轨迹是解题的关键.

解:百BQ,

「△ABC和Z\CPQ都是等边三角形，

AC=BC,PC=QC,NACB=ZPCQ=60,

.".ZACB-ZPCB=ZPCQ-ZPCB,

BPZACP=ZBCQ,

.♦.△ACP名△BCQ(SAS),

.\ZCBQ=ZCAP,

「△ABC是等边三角形,AB=4,

ABC=AB=4,ZBAC=60,

VAD_LBC,

ABD=DC=：BC=2,ZCAP二^-ZBAC=30,

/.ZCBQ=30,

；.Q点在过B点且与BC成30角的直线上运动.

当DQ_LBQ时，DQ最小，

此时DQ=-1BD=1,

，DQ的最小值为1.

故答案为：L

12.（23-24八年级下•溯匕武汉•阶段练习）如图，在RtAABC中，ZBAC=90,AC=6,BC=10,D、E分

别是AB、BC上的动点，且CE=BD,连妾AE、CD,则AE+CD的最小值为.

A

【答案】2/34

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点C作CN〃AB且使

CN=BC,连接EN,AN,证明ACEN之4BDCSAS，得EN=DC进而可得AE+CD=AE+EN,再由两

点之间线段最短可得：AE+EN>AN,所以当点E在AN上时，AE+EN有最小值，即AE+CD有最小值

为AN,利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

解：过点C作CN〃AB且使CN=BC,迩^EN,AN,

AZECN=ZABC,ZACN=180-ZBAC=90,

SACEN和ABDC中，

EC二BD

ZECN=ZDBC,

CN=BC

.".△CEN^ABDCSAS,

/.EN=DC,

/.AE+CD=AE+EN,

由两点之间线段最短可得：AE+EN》AN,所以当点E在AN上时，AE+EN有最小值，即AE+CD有最

小值为AN,

VAC=6,BC=CN=10,

2

ACN中，ANRAC2+CN2=v/6^+10=y弘,

•*.AE+CD最小值为：^4,

故答案为：2/34.

13.（2024•安徽合肥•二模）如图，4ABC和4ADE都是等腰三角形，且/BAC=NDAE=12。，AB=8,0

是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接0E,则在点D运动过程中，0E的最小值为（）

E

4?

A.4V2-B.yVTC.yD.2

【答案】D

【分析】设AB的中点为Q,连偻DQ,过点Q作QH，BC于H，证4AQD和AAOE全等得QD=0E,邸匕

当QD为最小时，OE为最小，根据“垂线段最短”得QD2QH,故点D与点H重合时，QD为最小，最小值为

QH的长，然后在RtABQH中求出QH的长即可.

解：设AB的中点为Q,蟠DQ,过点Q作QH，BC于H,如下图所示：

,/△ABC和ZiADE都是等腰三角形，且NBAC=ZDAE=120°,

AB=AC,AD=AE,ZQAD+ZDAC=ZDAC+ZOAE=120°,

Z.ZQAD=ZOAE,

:点Q是AB的中点，点。是AC的中点，AB=AC,

Z.AQ=A0,

itAAQD和AAOE中，

AQ=AO

ZQAD=ZOAE,

AD=AE

AAAQD^AAOE(SAS),

QD=OE,

.•.当QD为最小时，OE为最小，

:点Q为AB的中点，AB=8,点D在直线BC上运动，

根据“垂线段最短”得：QD》QH,

当点D与点H重合时,QD为最小，最小值为QH的长，

在AABC中，AB=AC=8,ZBAC=12ff,

.".ZB=ZC=y(180-ZBAC)=30,

在RtZiBQH中，NB=30°,BQ=；AB=4,

QH=：BQ=2,

；.QD的最小值为2,

即OE的最小值为2.

故选：D.

13

【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段的性质，熟

练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短是解决问题的关

键，难点是正确地作出辅助线构造全等三角形和直角三角形.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

【题型6】直通中考

14.（2023•辽宁锦州•中考真题）如图，在RtAABC中,ZACB=90,ZABC=3。,AC=4,按下列步骤作

图：AC和AB上分别截取AD、AE,使AD=AE.②分别以点D和点E为圆心，以大于：DE的

长为半径作弧，两弧在NBAC内交于点M.③作射线AM交BC于点F.若点P是线段AF上的一个

动点，连接CP,贝CP+^-AP的最小值是.

yE

P

CF

【答案】2/3

【分析】过点P作PQ，AB于点Q,过点C作CH，AB于点H,先利用角平分线和三角形的内角和定理求

出/BAF=30,然后利用含30的直角三角的性质得出PQ=；AP,则CP+；AP=CP+PQ》CH,当

C、P、Q三点共线，且与AB垂直时，CP+寺AP最小，CPLAP最小值为CH,利用含30的直角三角的

性质和勾股定理求出AB,BC,最后利用等面积法求解即可.

解：过点P作PQ，AB于点Q,过点C作CH，AB于点H,4

由题意知：AF平分NBAC,

VZACB=90,ZABC=30,—

AZBAC=60,牙皮

Z.ZBAF=yZBAC=30,/

PQ=/P,

ACP+yAP=CP+PQPCH,

...当C、P、Q三点共线，且与AB垂直时，CP+JAP最小，CP-LAP最小值为CH,

VZACB=90,ZABC=30,AC=4,

AAB=2AC=8,

BC=VAB2-AC2=,

VSAAB?:AC•BC=；AB-CH,

即CP+《AP最小值为

故答案为：V3.

【点拨】本题考查了尺规作图-作角平分线，含30的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积

法求三角形的高或点的线的距离的方法.

15.(2020•辐兽•中考真题)如图，在zXABC中，NA=9。，NB=60,AB=4,若D是BC边上的动点，贝U2AD

+DC的最小值为

【答案】12

【分析】过点C作射线CE,使NBCE=30,再过动点D作DF±CE,垂足为点F,雌AD,在Rt/XDFC中,

ZDCF=3G,DF=yDC,2AD+DC=2AD+C=2(AD+DF)当A,D,F在同一直线上，即AF±

CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长.

解：过点C作射线CE,使ZBCE=30,再过动点D作DF，CE,垂足为点F,连AD,如图所示：