辽宁省铁岭地区部分学校2024-2025学年九年级上学期月考（一）数学试题（含答案）

2024—2025年中学生能力训练

数学阶段练习（一）

时间：120分钟满分：120分

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本题共10小，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

,1

A.2x—6B.x+3x—4—0C.xy—3D.xH———2

x2

2.用配方法解一元二次方程——2X=3,配方后得到的方程是（）

A.（X+1）2=4B.（x—以=4C.（x+2）2=4D.（x-2）2=2

3.下列命题是真命题的是（）

A.对角线相等的平行四边形是菱形

B.有一角为直角的四边形是矩形

C.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

D.矩形的对角线互相垂直平分且相等

4.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意

思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，间折处高几尺？如图所示，设竹子折断处

离地无尺，由题意可列方程为（）

A.x2+42=202B.（X-4）2+X2=202

C.X2-42=（20-X）3D.X2+42=（20-X）2

5.如图，点£是矩形48CD外一点，连接ZE,过点E作EGL4E交AD,BC分别于点

F,G.Z2=118°.则N1的度数为（）

A.12°B.18°C.22°D.28°

6.关于龙的一元二次方程——2x+机=0有两个不相等的实数根，则加的取值范围是（

A.m<1B.m<\C.m>\D.m>\

7.如图，在矩形O4SC中，点8的坐标是（1,3）,则NC的长是（

B.272C.屈

8.如图，用一段10m长的围栏圈成一个一边靠墙（墙长55m）的矩形鸡舍，其面积为15m在鸡舍侧面

中间位置留一个1m宽的门（由其它材料成），则矩形鸡舍8C长为（）

B-----------

5m或6mB.2.5m或3加C.5mD.3m

9.实数应a。满足4a-2b+c=0,则（）

A.b1-4ac>0B.b1—4ac<0C.b2-4a<0D.b1-4ac>0

10.如图，在菱形48CZ）中，ZABC=60°,48=4,瓦/分别是45,40的中点，连接C£,CF,且

分别是C£,C尸的中点，连接则"N的长为（）

C.2G

第二部分非选择题（共90分）

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.一元二次方程必+》-2=0的解是.

12.若才是方程f—x—1=0的一个实数根，则代数式»—+2024的值为

13.如图，在矩形48CD中，4。=4,48=8,连接NC.分别以点4c为圆心，大于长为半径

2

画弧，两相交于点瓦尸，连接£尸，45相交于点G.与CD相交于点〃，连接CG.则G”的长

为.

14.定义：如果x=l和x=-l均是一元二次方程。2+乐+。=0（。。0）的根，则这个一元二次方程为对称

方程，已知必+2机x+〃=0是对称方程，贝!J〃"'=.

15.如图，在矩形Z8CD中，AB=2,4D=5.点P为BC边上一动点（不与点重合），将4P

绕点尸顺时针旋转90°得到PQ.连接C。.则C。的最小值为.

三、解答题

16.（每题5分，共10分）选择最佳方法解下列关于x的方程：

（1）（x+2『-9=0；（2）X2-4X-2=0.

17.（本小题8分）

已知“c是R/V48c的三边长，a<c,+Z）2-10a-86+41-0,求c的值.

18.（本小题8分）

大连贝雕历史悠久，明代，大连手工艺人就已经开始把贝壳磨成细片镶嵌在家具，首饰盒上，某贝雕吊坠

平均每月可以销售150件，每件盈利80元，通过市场调查发现，每件贝雕吊坠让利2元，则月销售量增加

5件.为了增加月销售量，决定降价促销，如果每月要盈利11250元，求每件应降价为多少元？

19.（本小题8分）

如图1,在矩形4BCD,4B=2,8C=4,点E是线段8c上的一个动点，连接4E.V4BE沿8C方

向平移得到V/'B'E'.

（1）证明：四边形4EEW是平行四边形；

（2）如图2,当点H与点。重合，点3'与点c重合时，若四边形4EE'。为菱形，求8E的长度.

20.（本小题8分）

某商场出售一种商品，在销售该商品一段时间后发现，售价为45元/件时，日销售量为55件；售价为50元

/件时，日销售量为50件，并且日销售量y（件）与每件售价无（元）之间满足一次函数关系.

（1）求y与龙之间的函数关系式；

（2）已知该商品成本价为27元/件，单件商品的利润率不能超过80%.若某日该商品日销售利润为1060

元，请求出该日该商品的售价.

21.（本小题8分）

如图，在正方形Z8CO中，28=4+4亚，EG垂直平分CE,交2。与点G,交BC与点、F.

（1）求证：BE+DG=CF；

（2）若BE=BF,求。G的长.

22.（本小题12分）

若关于龙的方程的若干个解中，存在两个不相等的解，且这两个解为互为相反数，则称这两个解为这个方程

的对称解，这个方程称为对称解方程.例如方程x=2和x=-2是方程V—4=0的对称解，则/_4=0

为对称解方程.

（1）下列方程是对称解方程的有

@x3-4x=0；②2x~+x—1=0；

③I卜L

（2）已知关于无的方程|2x+6|=l恰好是对称解方程，若函数歹=|2x+b|-1与无轴交于48两点（点/

在点8的左侧），与歹轴交于点C,求V48c的面积；

（3）已知西,》2为一元二次方程依？+，x+c=O（a,ac为常数）的对称解，当a+2c=0.试求的

值.

23.（本小题13分）如图1,在菱形48C。中，N4BC=120°,射线5河以点8为旋转中心，从8c位

置开始逆时针旋转，旋转角为a（0°<a<120。），点E与点C关于8河成轴对称，连接NE并延长与5M

交于点凡连接CE,CF,。尸.

（1）试判断VCEE的形状，并说明理由;

（2）当点£为4F中点时，求此时旋转角。的度数;

（3）若4空F=?5,直接写出巴BF土的值

AF7

■1

数学阶段练习（一）参考答案（北师版）

一、选择题

BBCDDACCDA

二、填空题

oB

11.%；=-2,x2=112.202513.27514.115.

三、解答题

16.解：（1）（X+2）2—9=0..-.（x+2）2=9.

二.％+2=±3,x+2=3或x+2=—3,「・玉=1,x2=—5；

(2)%2-4x-2=0,/.%2-Ax—2.

/.%2-4x+4=2+4/.(x2)—6,

.0.x-2—i-\/6?再=2+,X2=2->/6.

17.*.*ci^+Z）2-10a—8b+41=0,（Q-5）+[b—4）=0,a=5,b=4.

应仇。是RV4SC的三边长，a<c,

，c为R/V/BC的斜边.「♦c=6+/=J52+42;历

18.解：设每件降价x元，则每件的利润为（80-x）元，每月可售出1150+|x5

件,

根据题意得：（80—x）[150+|x5]=11250.

整理得：X2-20X-300=0.

解得：x；=30,x2=-10（不符合题意，舍去）.

答：每件应降价30元.

19.（1）•.•V48E沿8C方向平移得到V/'B'E'.

:.AE=AE,NE.•.四边形NEEW是平行四边形：

（2）•.♦48=2,8。=4;四边形/£/工>为菱形；.幺£=40=8。=4

在RNABE中，NB=90°，AB2+BE2=AE2,/.BE=A/42-22=2G.

20.解：(1)由题意，设一次函数的关系式为^=区+6.

45左+6=55J左=1

由题意可得,,50左+6=50…[b=100

所求函数关系式为y=-x+100.

(2)由题章可得，(x-27)(-x+100)=1060.A=80,x2=47.

•••单件商品的利润率不能超过80%.-.x<48.6

X]=80不符合题意，舍去x=47

答：该日该商品的售价为每件47元，

21.(1)证明：过点G作GA/L8C于点M.•.NGMR=90°NFCM+NCR=90°,

•.•正方形Z8CD,BC=CD,NEBC=ND=NDCB=90°.

二四边形CDGN为矩形，CZ)=GMr,DG=CM.GM=BC,

■：DF1CE.ZFOC=90°,:.NGFC+NFCO=90°,:.NFGM=NFCO.

又；NGMF=4B=90°.NCBE^/GMF[AAS),BE=MF.

又•；GF是CE的垂直平分线EF=MF

又<CF=CM+FM:.CF=DG+BE

(2)解：设DG=CM=x,BE=BF又•：BE=FM,28=4+40

BF=FM=BE=2+2V2--x

2

CF=2+241+-X5L-：EF=CF=2+241+-X

22

在RtVBEF中,N8=90°,BE~+BF2=EF2

:.x=442-4:.DG=4C—4

22.(1)①③

(2)•.•1的方程|2%+可=1恰好是对称解方程.，%=一，々=二产

又「Xi+x2=0:.b=0---函数y=|2x+〃-l与x轴的交点为,8g,o1

与y轴的交点为C(0,—1).以480的面积为lxlx；=；

(3)玉,％2为一元二次方程a—+及。=°(见瓦。为常数)的对称解

bc,

..再+%2=-A0,Xj,X=—..b=Un

aa2

*.*Q+etc—0ci--2cXy,X2————x；+x；—(%]+%)-2XJ%2=0-2X|—|—1

a2\2)

23.(1)等边三角形

证明：连接3£・.•四边形/BCD是菱形，，/鸟二台。

・・・瓦。关于对称，/.BC=BE,FE=FC,AB=BEZBAE=ZBEA

•/BC=BEZBEC=NBCE

在四边形48CE中，N48C=120°

NBAE+NAEC+NBCE=2NAEC=360°-120°=240°

NAEC=120°ZCEF=60°XvFE=FC:NCFF是等边三角形.

(2)连接NC为4F中点.•./£=£/

又7CEF是等边三角形CE=CF=EF

AE=CE,CE=EFZEAC=ZECA,ZECF=ZEFC

2NECA+2NECF=180°，ZACF=90°

在菱形ABCD中，ACLBDNAOD=90°

BD//CFNBDC=NDFC=60°

又ZECF=60°EC与CD重合

BM1CDBM平分NDBC旋转角a=30°

⑶亚或吆叵

13109

当£,厂在/点同时，过点8作与点〃

5

•.•一=巳设幺£=5左，AF=7k,EF=2k

AF7

59

•••AB=BEAH=HE=-k:.HF=-k

2