中考数学一轮复习突破：概率（原卷版+解析）

专题38概率

【考查题型】

列举法求概率判断事件类型

列表法求概率判断事件发生可能性的大小

树状图法求概率根据概率公式计算概率

游戏公平性根据概率求数量

用频率估计概率几何概率

【知识要点】

知识点一确定事件与随机事件

事件类型的种类：

①必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生,这些事情称为必然事件。

②不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。

③随机事件：在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为随机事件。

【备注】必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能

性有大有小,不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同。

知识点二频率与概率

概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把描述

事件发生的可能性的大小的量叫做概率。

概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A

包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为（04虫闫）,

其中P（必然事件）=LP（不可能事件）=。，0＜P（随机事件）＜1.

所以有：P（不可能事件）＜P（随机事件）＜P（必然事件）o

利用列举法求概率

1）直接列举法求概率

当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。

2）列表法求概率

当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常

米用列表法。

3）树状图法求概率

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通

常采用树状图法求概率。

利用频率估计概率

实际上，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。用频率估计概

率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件

限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大。

通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动,并且随着试验次数

增多，摆动的幅度会减小,这个性质称为频率的稳定性.

【注意事项】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。

考查题型一判断事件类型

典例1（2022•湖北武汉・统考中考真题）彩民李大叔购买1张彩票，中奖.这个事件是（）

A.必然事件B.确定性事件C.不可能事件D.随机事件

变式LL（2022.江苏扬州•统考中考真题）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（）

A.水落石出B.水涨船高C.水滴石穿D.水中捞月

变式1-2（2022・四川德阳・统考中考真题）下列事件中，属于必然事件的是（）

A.抛掷硬币时，正面朝上

B.明天太阳从东方升起

C.经过红绿灯路口，遇到红灯

D.玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”

变式1-3（2022.江西•统考中考真题）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4

名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员.医院决定用随机抽取的方式确定人选.

（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；A.不可能B.必然C.随机

（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的

概

率.

考查题型二判断事件发生可能性的大小

典例2（2022.江苏泰州•统考中考真题）如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙，丙3人随机坐到这3个座

位上，则甲和乙相邻的概率为（）

□

变式2-1（2021•贵州黔东南•统考中考真题）一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外

无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是确定事件的为（）

A.至少有1个球是黑球B.至少有1个球是白球

C.至少有2个球是黑球D.至少有2个球是白球

变式2-2.（2022・贵州贵阳•统考中考真题）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞

赛”.比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1,2,3分别写在3张

同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列

说法中正确的是（）

A.小星抽到数字1的可能性最小B.小星抽到数字2的可能性最大

C.小星抽到数字3的可能性最大D.小星抽到每个数的可能性相同

考查题型三根据概率公式计算概率

典例3（2022.广东.统考中考真题）书架上有2本数学书、1本物理书.从中任取1本书是物理书的概率为

（）

A.-B.-C.1D.-

4323

变式3-1（2022・湖南怀化・统考中考真题）从下列一组数-2,兀，--0.12,0,-布中随机抽取一个数，

这个数是负数的概率为（）

A.-B.-C.1D.-

6323

变式3-2（2022•内蒙古呼和浩特•统考中考真题）不透明袋中装有除颜色外完全相同的。个白球、b个红球,

则任意摸出一个球是红球的概率是（）

b_b_a_a

A.------B.-C.-------D.一

a+baa+bb

变式3-3（2022.甘肃兰州.统考中考真题）无色酚麟溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液

酸碱性，通常情况下酚麟溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色.现有5瓶缺失标

签的无色液体：蒸储水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酰试剂滴入任意一瓶液体

后呈现红色的概率是（）

A.1B.2C.3D,1

5555

变式3-4（2022.山东东营.统考中考真题）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构

成的图形是轴对称图形的概率是（）

考查题型四根据概率求数量

典例4（2022•黑龙江绥化•统考中考真题）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它

差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为:，则这个箱子中黄球的个数为______个.

4

变式4-1（2022•辽宁鞍山•统考中考真题）一个不透明的口袋中装有5个红球和加个黄球，这些球除颜色外

都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验.根

据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出力的值为.

摸球的总次数。10050010002000

摸出红球的次数人19101199400

b

0.1900.2020.1990.200

摸出红球的频率〃

变式4-2（2022・四川广元•统考中考真题）一个袋中装有机个红球，10个黄球，"个白球，每个球除颜色外

都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么，"与”的关系是.

考查题型五几何概率

典例5（2022•江苏苏州•统考中考真题）如图，在5x6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外

都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点.假设飞镖击中每一块小正方形

是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形0AB（阴

影部分）的概率是（）

1

乖:兀

rXM-->i-------

60~60~

变式5-1（2022•辽宁朝阳•统考中考真题）如图所示的是由8个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意

在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（）

变式5-2（2022•江苏徐州・统考中考真题）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在

镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（）

A.；B-|c-ID-T

变式5-3（2021•江苏常州•统考中考真题）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任

意转动这4个转盘各1次.已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是g,则对应的转盘是（）

AOB®c®D®

变式5-4（2021•甘肃兰州•统考中考真题）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱

长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色

的概率为（）

428

20

一

-一

A.B.9-D.

272727

变式5-5（2022・四川成都.统考中考真题）如图，己知。。是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆.现

假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是.

考查题型六列举法求概率

典例6（2022・安徽•统考中考真题）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、

白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的」I"进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色

或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（）

A.-B.-C.1D.-

3823

变式6-1（2022・广西贵港•中考真题）从-3,-2,2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点

落在第三象限的概率是—.

考查题型七列表法求概率

典例7（2022•山西・中考真题）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五

大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋

友小乐.小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再

从中随机抽取一张，贝!I小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（）

变式7-1（2022.山东临沂.统考中考真题）为做好疫情防控工作，某学校门口设置了A,B两条体温快速检

测通道，该校同学王明和李强均从A通道入校的概率是（）

A.-B.-C.；D.-

4324

变式7-2（2022•辽宁朝阳•统考中考真题）某社区组织A,B,C,。四个小区的居民进行核酸检测，有很多

志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等

候.

（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是.

（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率.

变式7-3（2022.江苏宿迁.统考中考真题）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比

赛，求下列事件发生的概率.

（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是一；

（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率.（用树状图或列表的方法求解）.

变式7-4（2022•山东青岛・统考中考真题）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、

王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情.小冰和小雪参加航天知识竞赛时，

均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得.小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做

游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1,2的两个球，乙口袋装有编号为1,2,3,4,

5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同.小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸

出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜.

请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.

考查题型八树状图法求概率

典例8（2022•北京.统考中考真题）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，

从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球

的概率是（）

A.-B.-C.gD.-

4324

变式8-1（2022・湖北武汉・统考中考真题）班长邀请A,B,C,。四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐

在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A,B两位同学座位相邻的概率是（）

变式8-2（2022・山东烟台•统考中考真题）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是

)

12i

A.jB.-C.-D.1

变式8-3(2022•江苏淮安・统考中考真题)一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球

面上分别标有数字1、2、3,搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意

摸出1个球，记下数字.

(1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是;

(2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率.

变式8-4(2022.江苏连云港.统考中考真题)“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两

人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相

同不分输赢.假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种.

(1)甲每次做出“石头”手势的概率为;

(2)用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率.

考查题型九游戏公平性

典例9(2021•山东青岛・统考中考真题)为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和

小丽想合唱一首歌.小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》.她们想通过做游戏的方式来决

定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等

的几个扇形.同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4,则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱

《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘.请用列表或画树状图的方法说明这个游戏

是否公平.

变式9-1(2021.贵州遵义.统考中考真题)现有A,B两个不透明的袋子，A袋的4个小球分别标有数字1,2,

3,4；8袋的3个小球分别标有数字1,2,3.（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同.）

（1）从48两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上数字相同的概率是；

（2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球，若

甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、

乙两人是否公平.

变式9-（2021•辽宁丹东•统考中考真题）一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，

2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球.

（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；

（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜.这个游戏对甲、乙双方公平

吗？请说明理由.

考查题型十用频率估计概率

典例10（2021・四川乐山・统考中考真题）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了

心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是

().

类型健康亚健康不健康

数据（人）3271

-74

A.32B.7C.—D.一

105

变式10-1（2021•山东青岛•统考中考真题）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色

外完全相同.摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中.不断重复这一过程，共摸球100次.其中

有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是.

变式10-2（2021•湖北宜昌•统考中考真题）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装

有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，

再把它放回盒子中，不断重复上述过程.整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图

象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是（填“黑球”或“白球”）.

摸出黑球的频率

1.0-

0.8-

0.6■

0.4-

0.2-----*----v——-------•——«----•-----•——•-----•-----•—

IIIIII||I|W-

O50100150200250300350400450500摸球的总次数

变式10-3（2021•辽宁锦州•统考中考真题）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将

口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300

次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为—.

变式10-4（2021•湖南长沙•统考中考真题）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市.本市某景点为

吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球

除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据

统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个.

（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；

（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？

变式10-5（2021•甘肃武威・统考中考真题）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个

小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，

通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.

（1）请你估计箱子里白色小球的个数；

（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球

颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）.

变式10-6（2021•湖南岳阳・统考中考真题）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五

项管理，，督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理.某校数学社团成员采用

随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间/（单位：h）进行了调查，

将数据整理后得到下列不完整的统计图表：

Cl<t<810a

D8<t<9210.42

Et>9b0.14

请根据图表信息回答下列问题：

（1）频数分布表中，a=,b=；

（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是。；

（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；

（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率.请你根据以上调查统计结果，向

学校提出一条合理化的建议.

专题38概率

【考查题型】

列举法求概率判断事件类型

列表法求概率判断事件发生可能性的大小

根据概率公式计算概率

游戏公平性一根据概率求数量

用频率估计概率—几何概率

【知识要点】

知识点一确定事件与随机事件

事件类型的种类：

①必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事

件。

②不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可

能事件。

③随机事件:在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为随机事件。

【备注】必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事

件发生的可能性有大有小,不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同。

知识点二频率与概率

概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大

小，我们把描述事件发生的可能性的大小的量叫做概率。

概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都

相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为（O"Q）S1）,

其中P（必然事件）=1，P（不可能事件）=。，9＜P（随机事件）＜1.

所以有：P（不可能事件）＜P（随机事件）＜P（必然事件）o

利用列举法求概率

1）直接列举法求概率

当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时,通常采用直接

列举法。

2）列表法求概率

当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可

能的结果，通常采用列表法。

3）树状图法求概率

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可

能的结果，通常采用树状图法求概率。

利用频率估计概率

实际上,我们可以通过大量的重复试验,用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。

用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结

果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大。

通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动,并且

随着试验次数增多，摆动的幅度会减小,这个性质称为频率的稳定性.

【注意事项】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。

考查题型一判断事件类型

典例1（2022•湖北武汉•统考中考真题）彩民李大叔购买1张彩票，中奖.这个事件是（）

A.必然事件B.确定性事件C.不可能事件D.随机事件

【答案】D

【分析】直接根据随机事件的概念即可得出结论.

【详解】购买一张彩票，结果可能为中奖，也可能为不中奖，中奖与否是随机的，即这个事

件为随机事件.

故选：D.

【点睛】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是熟练掌握随机事件发生的条件，能够灵

活作出判断.

变式1-1.（2022.江苏扬州•统考中考真题）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（）

A.水落石出B.水涨船高C.水滴石穿D.水中捞月

【答案】D

【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐

一判断即可

【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；

B、水涨船高是必然事件，不符合题意；

C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；

D、水中捞月是不可能事件，符合题意；

故选D

【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键.

变式1-2(2022.四川德阳・统考中考真题)下列事件中，属于必然事件的是()

A.抛掷硬币时，正面朝上

B.明天太阳从东方升起

C.经过红绿灯路口，遇到红灯

D.玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”

【答案】B

【分析】根据随机事件、必然事件的概念即可作答.

【详解】A.抛硬币时，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是随机事件；

B.太阳从东方升起是固定的自然规律，是不变的，故此事件是必然事件；

C.经过路口，有可能出现红灯，也有可能出现绿灯、黄灯，故遇到红灯是随机事件；

D.对方有可能出“剪刀”，也有可能出“石头”、“布”，出现对方出“剪刀”是随机事件.

故选：B.

【点睛】本题考查了随机事件、必然事件的概念，充分理解随机事件的概念是解答本题的关

键.

变式1-3(2022.江西・统考中考真题)某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、

丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员.医院决定用随

机抽取的方式确定人选.

(1)“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；

A.不可能B.必然C.随机

(2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都

是共产党员的概率.

【答案】⑴C

【分析】(1)根据随机事件的定义即可解决问题；

(2)从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是

共产党员用G表示，从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后

利用树状图即可解决问题.

(1)

解：“随机抽取1人，甲恰好被抽中“是随机事件；

故答案为：C；

(2)

从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党

员用G表示.从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示:

第一名TGGG

第二名G线GG公

它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都（记为事件A）

的结果有6种，贝ljP（A）=t=；，

则被抽到的两名护士都是共产党员的概率为

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件.解决本题的关键是掌握列

表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.用到

的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比.

考查题型二判断事件发生可能性的大小

典例2（2022.江苏泰州•统考中考真题）如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙，丙3人随

机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为（）

□

【答案】D

【分析】由图可知，甲乙丙是彼此相邻的，所以甲的旁边是乙是必然事件，从而得出正确的

选项.

【详解】解：这张圆桌的3个座位是彼此相邻的，甲乙相邻是必然事件，所以甲和乙相邻的

概率为1.

故选：D.

【点睛】此题考查了求概率，解题的关键是判断出该事件是必然事件.

变式2-1（2021•贵州黔东南•统考中考真题）一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，

这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是确定事件的为（）

A.至少有1个球是黑球B.至少有1个球是白球

C.至少有2个球是黑球D.至少有2个球是白球

【答案】A

【分析】列出摸出的三个球的颜色的所有可能情况即可.

【详解】根据题意可得，摸出的三个球的颜色可能为：两个白球，一个黑球；一个白球，两

个黑球；三个黑球，

则可知摸出的三个球中，至少有一个黑球，

故必然事件是至少有一个黑球，

故选：A.

【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，

一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事

件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

变式2-2.（2022.贵州贵阳•统考中考真题）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和

安全知识竞赛”.比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的

数字1,2,3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后

从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（）

A.小星抽到数字1的可能性最小B.小星抽到数字2的可能性最大

C.小星抽到数字3的可能性最大D.小星抽到每个数的可能性相同

【答案】D

【分析】算出每种情况的概率，即可判断事件可能性的大小.

【详解】解：每个数字抽到的概率都为：；，

故小星抽到每个数的可能性相同.

故选：D.

【点睛】本题主要考查利用概率公式求概率，正确应用公式是解题的关键.

考查题型三根据概率公式计算概率

典例3（2022.广东.统考中考真题）书架上有2本数学书、1本物理书.从中任取1本书是物

理书的概率为（）

A.-B.-C.1D.-

4323

【答案】B

【分析】根据概率公式直接求概率即可；

【详解】解：一共有3本书，从中任取1本书共有3种结果，

选中的书是物理书的结果有1种，

...从中任取1本书是物理书的概率=g.

故选：B.

【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数?总的结果数是解题关键.

变式3-1（2022・湖南怀化•统考中考真题）从下列一组数-2,7i,--0.12,0,-正中

随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（）

A.-B.-C.1D.-

6323

【答案】B

【分析】找出题目给的数中的负数，用负数的个数除以总的个数，求出概率即可.

【详解】：数-2,7T,--0.12,0,-石中，一共有6个数，

其中-2,--0.12,-若为负数，有4个，

・・・这个数是负数的概率为尸=；4=：2，

63

故答案选：B.

【点睛】本题考查负数的认识，概率计算公式，正确找出负数的个数是解答本题的关键.

变式3-2（2022.内蒙古呼和浩特.统考中考真题）不透明袋中装有除颜色外完全相同的〃个白

球、〃个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（）

bnba-〃

A#.------B.—C.------D.一

a+baa+bb

【答案】A

【分析】根据概率公式直接求解即可.

【详解】•••共有个球，其中红球b个

••・从中任意摸出一球，摸出红球的概率是二b.

a+b

故选A.

【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键.

变式3-3（2022•甘肃兰州•统考中考真题）无色酚献溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛

应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚醐溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱

溶液变红色.现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸储水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、

火碱溶液，将酚酰试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（）

A.1B.2C.3D,1

5555

【答案】B

【分析】根据概率公式求解即可.

【详解】解：：酚醐溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色，

:总共有5种溶液，其中碱性溶液有2种，

2

，将酚隙试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是：j.

故选：B.

【点睛】此题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握概率的求解方法.

变式3-4（2022.山东东营.统考中考真题）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使

所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是（）

【答案】A

【分析】根据轴对称图形的定义，结合概率计算公式求解即可.

【详解】解：如图所示，由轴对称图形的定义可知当选取编号为1,3,5,6其中一个白色

区域涂黑后，能使黑色方块构成的图形是轴对称图形，

•••任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是

4_2

6"3,

故选A.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，简单的概率计算，熟知轴对称图形的定义是解

题的关键.

考查题型四根据概率求数量

典例4（2022•黑龙江绥化•统考中考真题）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，

除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为J,则这个箱子中黄球的个数

4

为个.

【答案】15

【分析】设黄球的个数为尤个，根据概率计算公式列出方程，解出尤即可.

【详解】解：设黄球的个数为x个，

5_1

x+54

解得：x=15,

检验：将x=15代入x+5=20,值不为零，

；.尤=15是方程的解，

•••黄球的个数为15个，

故答案为：15.

【点睛】本题考查概率计算公式，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键.

变式4-1（2022•辽宁鞍山•统考中考真题）一个不透明的口袋中装有5个红球和，"个黄球，

这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后,

放回摇匀，为一次摸球试验.根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出加的值为

摸球的总次数。10050010002000

摸出红球的次数匕19101199400

b

0.1900.2020.1990.200

摸出红球的频率。

【答案】20

【分析】利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度

越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似

值就是这个事件的概率求解即可.

【详解】解：•••通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2,

解得：%=20.

经检验m=20是原方程的解，

故答案为：20.

【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率和解分式方程，本题利用了用大量试验得到的频

率可以估计事件的概率.关键是根据摸出红球的频率得到相应的等量关系.

变式4-2（2022.四川广元.统考中考真题）一个袋中装有机个红球，10个黄球，/个白球，

每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么优

与n的关系是.

【答案】加+十=10.

【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案.

【详解】•.•一个袋中装有机个红球，10个黄球，〃个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的

概率相同，

与"的关系是:m+n=10.

故答案为机+〃=10.

【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率求法是解题关键.

考查题型五几何概率

典例5（2022.江苏苏州・统考中考真题）如图，在5x6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小

正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格

点.假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投

1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是（）

「Mi

122460

【答案】A

【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比

值.

【详解】解：由图可知，总面积为：5x6=30,OB=732+12=A/10>

90•乃x10_5乃

・・・阴影部分面积为:

360~~2

5冗

二飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是上：=工，

3012

故选：A.

【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影

区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的

概率.

变式5-1（2022•辽宁朝阳•统考中考真题）如图所示的是由8个全等的小正方形组成的图案，

假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（）

D.1

【答案】A

【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可.

【详解】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的〜3

O

即这个点取在阴影部分的概率是?3，

O

故选：A.

【点睛】本题主要考查几何概率的知识，熟练根据几何图形的面积得出概率是解题的关键.

变式5・2（2022•江苏徐州・统考中考真题）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘

上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（）

A.-B.-C.1D."

4323

【答案】B

【分析】如图，将阴影部分分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a,分别表示出

阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可.

【详解】解:如图，

根据题意得：图中每个小三角形的面积都相等，

设每个小三角形的面积为a,则阴影的面积为6a,正六边形的面积为18a,

二将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为粤=:

18G3

故选:B

【点睛】本题主要考查几何概率，根据正六边形的性质得到图中每个小三角形的面积都相等

是解题的关键.

变式5-3（2021•江苏常州•统考中考真题）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积

相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次.已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概

率是:，则对应的转盘是（）

【答案】D

【分析】根据概率公式求出每个选项的概率，即可得到答案.

【详解】解：A.指针落在阴影区域的概率是3，

B.指针落在阴影区域的概率是：，

4

2

C.指针落在阴影区域的概率是

D.指针落在阴影区域的概率是:，

故选D.

【点睛】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式，是解题的关键.

变式5-4（2021.甘肃兰州.统考中考真题）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，

再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个

小正方体，只有一个面被涂色的概率为（）

42

A.—B.-

2792727

【答案】B

【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小

正方体表面只有一个面涂有颜色，有6种结果，根据几何概率及其概率的计算公式，即可求

解.

【详解】解：解：由题意，在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个

棱长为1cm的小正方体，

在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共

12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，

可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，

满足条件的事件是取出的小正方体表面有一个面都涂色，有6种结果，

所以所求概率为《=£.

故选：B.

【点睛】本题考查几何概率的计算，涉及正方体的几何结构，属于基础题.

变式5-5（2022・四川成都•统考中考真题）如图，已知。。是小正方形的外接圆，是大正方

形的内切圆.现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是.

【答案】一

4

【分析】如图，设OA=a,则。B=OC=a,根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方

形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可.

【详解】解：如图，设。4=。，则。B=OC=m

由正方形的性质可知ZA0B=9Q°