第二章 直角三角形的边角关系 综合检测

第二章直角三角形的边角关系综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(每小题4分，共32分)1.(2022浙江金华中考)一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC=6m，∠ABC=α，则房顶A离地面EF的高度为()A.(4+3sinα)m B.(4+3tanα)mC.4+3sinαm2.(2023山东烟台芝罘期中)如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cosA的值为()A.33 B.55 3.(2023山东淄博淄川期中)如图，要在坡角为30°的斜坡上栽两棵树(A与B)，要求它们之间的水平距离AC为6m，则斜坡上这两棵树之间的距离AB为()A.12m B.33m C.43m D.124.(2021山东烟台中考)用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：2yx3-16=按键的结果为m；2ndF64-2x2=按键的结果为n；92-cos60=按键的结果为k.下列判断正确的是()A.m=n B.n=k C.m=k D.m=n=k5.(2022山东烟台招远期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=12，则DEA.23 B.3 C.3 6.(2021山东济南中考)无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处的俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处的俯角为35°，则M，N之间的距离为()(参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数)A.188m B.269m C.286m D.312m7.(2022湖北仙桃中考)由4个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=()A.13 B.12 8.(2021山东烟台中考)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，其中∠AOB=∠BOC=…=∠LOM=30°.若OA=16，则OG的长为()A.274 B.14 二、填空题(每小题4分，共20分)9.(2022湖南益阳中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=45，则cosB=10.(2022内蒙古赤峰中考)如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面的距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为m.(结果取整数，3≈1.7)

11.(2021湖南邵阳中考)如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E.若sin∠ADE=45，AD=4，则AB的长为12.(2022贵州黔东南州中考)如图，校园内有一棵枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°.小青计算后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，则树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距A点8米处的树干上砍伐，则不会对教学楼CD造成危害.其中正确的是.(填写序号，参考数值：3≈1.7，2≈1.4)

13.(2021四川乐山中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，有一个锐角为60°，AB=4.若点P在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠PCB=30°，则CP的长为.

三、解答题(共48分)14.(8分)计算：(1)(2022山东东营广饶期中)3tan30°-(cos60°)-1+8cos45(2)(2022山东威海荣成16校联盟期中)sin230°-cos45°·tan60°+sin60°cos45°-tan4515.(2022贵州贵阳中考)(8分)交通安全心系千万家.高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示.测速仪C和测速仪E到路面的距离CD=EF=7m，测速仪C和E之间的距离CE=750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s(图中所有点都在同一平面内).(1)求A，B两点之间的距离(结果精确到1m)；(2)若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速，通过计算说明理由.(参考数据：3≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)16.(10分)如图，为了测量一条河流的宽度(AB的长)，小婷从C点出发沿与河岸平行的河堤行走60米到D点，若分别测得∠BCD=22.5°，∠CDB=135°，∠ADF=67°，求河流的宽度.结果取整数，参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125,217.(2022四川遂宁中考)(10分)某数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度.如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE=50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i=5∶12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF=63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米?(结果精确到1米，参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89)18.(2022山东烟台模拟D卷)(12分)小颖的爸爸驾驶轿车在一条东西走向的公路上行驶，坐在车里的小颖在A处时，发现D处信号塔和E处信号塔都在他的东北方向，当轿车沿正东方向行驶6km到达B处时，E处信号塔在他的北偏东15°方向，轿车由B处继续向正东方向行驶6km到达C处，此时D处信号塔在他的北偏西60°方向.(1)求A处与D处信号塔之间的距离；(2)求D处信号塔与E处信号塔之间的距离.(结果保留根号)

第二章直角三角形的边角关系综合检测答案全解全析一、选择题1.B过点A作AD⊥BC于点D，图略.∵题图是轴对称图形，∴AB=AC，∴BD=12BC=3m.在Rt△ADB中，tan∠ABD=AD∴AD=BD·tanα=3tanαm，∴房顶A离地面EF的高度为(4+3tanα)m.2.D如图，取格点D，连接CD.由网格特点知∠ADC=90°，设小正方形的边长为1，则由勾股定理得AD=22，AC=10，所以cosA=ADAC故选D.3.C∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=6m，∴AB=ACcos30°=64.C∵m=23-16=8-4=4，n=364-22=4-4=0，k=92−cos60°=95.A在Rt△ABC中，∵sinA=BCBA=12，BC=6，∵D是AB的中点，∴AD=12AB=6.∵ED⊥AB∴∠ADE=90°.在Rt△ADE中，∵sinA=12，∴∠A=30°.∵tanA=DE∴DE=6×tan30°=6×33故选A.6.C由题意得∠N=43°，∠M=35°，AO=135m，AB=40m，则BO=AO-AB=95m.在Rt△AON中，tanN=AONO=tan43°∴NO=AOtan43°≈150m.在Rt△BOM中，tanM=BOMO=tan35∴MO=BOtan35°≈135.7m.∴MN=MO+NO=135.7+150≈286(m).7.C如图，取格点D，连接CD，由题意知点B，C，D在同一直线上.∵网格是由4个形状相同、大小相等的菱形组成的，∴OD=OB，OA=AD.∵∠O=60°，∴△OBD是等边三角形.∴BA⊥OD，∠ADB=60°.∴∠ABC=90°-60°=30°.∴tan∠ABC=tan30°=33，故选C8.A在Rt△ABO中，∠ABO=90°，∠AOB=30°，∴OB=OA·cos∠AOB=32同理可得，OC=32OB=322OA……∴OG=32OF=二、填空题9.4解析在Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinA=BCAB=45，∴cos10.17解析由题意可得∠COD=α=∠AOB=60°，在Rt△COD中，CD=1.7m，tan∠COD=CDDO∴DO=CDtan60°=∴BO=BD-DO=11-1=10(m).在Rt△AOB中，tan∠AOB=ABOB∴AB=OB·tan60°=103≈17(m).∴旗杆AB的高度约为17m.11.3解析∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠CAD=90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°.∴∠ACD=∠ADE.∴sin∠ACD=sin∠ADE=45∴AB=CD=AC2−A12.①③④解析本题通过判断小青计算得到的各个结论的对错考查锐角三角函数的实际应用.如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则AE=DC，DE=AC=12米.①在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AE=DE·tan30°=12×33=4在Rt△BED中，BE=DE·tan45°=12(米).∴AB=AE+BE=43+12≈18.8(米)，故①正确.②CD=AE=43≈6.8(米)，故②不正确.③∵AB>AC，∴若直接从点A处砍伐，则树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响，故③正确.④∵18.8-8=10.8(米)，10.8米<12米，∴若第一次在距A点8米处的树干上砍伐，则不会对教学楼CD造成危害，故④正确.∴正确的是①③④.13.3或2解析①若∠ABC=60°，则BC=12AB=2.当点P在线段AB上时，如图∵∠PCB=30°，∴CP⊥AB.∴PC=BC·cos30°=2×32当点P'在AB的延长线上时，如图.∵∠P'CB=30°，∠ABC=60°，∴∠P'=30°.∴P'C=2PC=23.②若∠A=60°，则点P″只能在线段AB上，如图.∵∠P″CB=30°，∠ACB=90°，∴∠ACP″=60°.∴△P″AC为等边三角形.∴P″C=AC=12AB=2综上，PC的长为3或23三、解答题14.解析(1)原式=3×3=3−2+2+3(2)sin230°-cos45°·tan60°+sin60°cos45°-tan45=1215.解析(1)∵在Rt△ADC中，∠CAD=25°，CD=7m，tan∠CAD=CDAD，∴AD=7tan25°∵在Rt△BFE中，∠EBF=60°，EF=7m，tan∠EBF=EFBF，∴BF=7tan60°∵CD⊥DF，EF⊥DF，∴DF=CE=750m，∴AB=AD+DF-BF=7tan25°+750−∴A，B两点之间的距离约是760m.(2)小汽车的速度约为76038=20(m/s)∵该隧道限速22m/s，20m/s<22m/s，∴小汽车没有超速.16.解析如图，延长AB交CF于点E，由题意得AE⊥CD.因为∠BCD=22.5°，∠CDB=135°，所以∠CBD=22.5°，∠BDE=45°，所以∠BCD=∠CBD，所以DB=CD=60米.在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠BDE=45°，所以BE=BD·sin∠BDE=60×22=30所以DE=BE=302米.在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE所以AE=302·tan67°所以AB=AE-BE=422≈59(米).所以河流的宽度约为59米.17.解析如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形.∴FB=PH，FH=PB.由i=5∶12可设BP=5x米，AP=12x米.∵PB2+PA2=AB2，即(5x)2+(12x)2=262，∴x=2(舍负).∴FH=PB=10米，AP=24米.设EF=a米，BF=b米，∵tan∠EBF=EFBF，∴ab≈2.00∵tan∠EAH=EHAH=EF+HFAP+PH由①②解得a≈47，b≈23.5.∴EF=47米.答：塔顶到地面的高度EF约为47米.18.解析(1)如图，过D作DM⊥AC于M，设DM=xkm.在Rt△DAM中，∵∠DAB=45°，∴AM=DM=xkm.在Rt△DCM中，∵∠DC