2.5.2 三角函数的应用-坡度、坡角问题 同步练习

第二章直角三角形的边角关系5三角函数的应用第2课时三角函数的应用——坡度、坡角问题基础过关全练知识点3三角函数的应用——坡度、坡角问题1.(2021重庆中考B卷)如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4，坡顶D到BC的距离DE=50米(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为()(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)A.69.2米 B.73.1米 C.80.0米 D.85.7米2.(2020山东济宁中考)如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°.若斜面AB的坡度为1∶3，则斜坡AB的长是米.

3.如图，大楼AB前有一段65米长的坡道DB，坡道的坡度i=1∶2，在坡道的底端D处看大楼顶端A的仰角为60°，已知AB⊥DC于C，点A，B，C，D均在同一平面内，则大楼AB的高度为米(结果保留根号).

4.(2021四川凉山州中考)王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走210米到达斜坡上D点，在点D处测得大树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比i=1∶3(点E、C、B在同一水平线上).(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；(2)求大树AB的高度(结果保留根号).能力提升全练5.(2022海南中考)无人机在实际生活中应用广泛.如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A、B、C、D、P在同一平面内).(1)填空：∠APD=°，∠ADC=°；

(2)求楼CD的高度(结果保留根号)；(3)求此时无人机距离地面BC的高度.6.(2021四川遂宁中考)小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向.(1)求∠C的度数；(2)求两棵银杏树B，C之间的距离(结果保留根号).7.(2022四川广元中考)地铁以及地下停车场、隧道、下水道组成城市地下防御交通网，足以应对大部分常规战争的威胁.如图，某城市计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF.在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一条直线上，求隧道EF的长度.素养探究全练8.(2022四川内江中考)如图所示，九(1)班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A，B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60米的C，D两点，测得∠ACB=15°，∠BCD=120°，∠ADC=30°.(1)求河的宽度；(2)求古树A，B之间的距离.(结果保留根号)

第二章直角三角形的边角关系5三角函数的应用第2课时三角函数的应用——坡度、坡角问题答案全解全析基础过关全练1.D∵斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4，∴DE∶CE=5∶12.∵DE=50米，∴CE=120米.∵BC=150米，∴BE=150-120=30(米).∴AB=30×tan50°+50≈85.7(米).故选D.2.203解析设斜坡AB的坡角为α.∵斜面AB的坡度为1∶3，∴tanα=13=33.∵在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，∴∠HBP=60°，∠APB=45°.∴∠PBA=90°.∴∠BAP=45°.∴PB=AB.∵PB=PHsin∠HBP=30sin60°=203(米)3.(123-6)解析∵坡道BD的坡度i=1∶2，∴tan∠BDC=BCDC设BC=x米，x>0，则DC=2x米，∵AB⊥DC，∴∠ACD=90°.在Rt△BCD中，由勾股定理，得DC2+BC2=BD2，即(2x)2+x2=(65)2，∴x=6.∴CD=12米，BC=6米.在Rt△ADC中，∠ADC=60°，∴AC=DC·tan60°=123米，∴AB=AC-BC=(123-6)米.4.解析(1)如图，过点D作DH⊥CE于点H.∵斜坡CF的坡比i=1∶3，∴DHCH设DH=x米，x>0，则CH=3x米，由勾股定理，得DH2+CH2=DC2，即x2+(3x)2=(210)2，∴x=2.∴DH=2米.答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米.(2)如图，过点D作DG⊥AB于点G，设BC=a米.∵∠DHB=∠DGB=∠ABC=90°，∴四边形DHBG为矩形.∴BG=DH=2米，DG=BH=(a+6)米.∵∠ACB=45°，∴BC=AB=a米.∴AG=(a-2)米.∵∠ADG=30°，∴tan∠ADG=tan30°=AGDG=3∴a=6+43.∴AB=(6+4答：大树AB的高度是(6+43)米.能力提升全练5.解析(1)75；60.(2)如图，过点A作AE⊥DC于点E，则AE=BC=100米，EC=AB=10米.在Rt△AED中，∠DAE=30°，∴DE=AE·tan30°=100×33=∴CD=DE+EC=10033∴楼CD的高度为10033(3)如图，在(2)的基础上，作PG⊥BC于点G，交AE于点F，则∠PFA=∠AED=90°，FG=AB=10米，∵MN∥AE，∴∠PAF=∠MPA=60°.∵∠ADE=60°，∴∠PAF=∠ADE.∵∠DAE=30°，∴∠PAD=30°.∵∠APD=75°，∴∠ADP=75°.∴∠ADP=∠APD.∴AP=AD.∴△APF≌△DAE.∴PF=AE=100米.∴PG=PF+FG=100+10=110(米).∴无人机距离地面BC的高度为110米.6.解析(1)由题意，得∠BAC=45°+30°=75°，∠BDA=∠DBE=60°，∴∠ABC=180°-60°-45°=75°，∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-75°-75°=30°.(2)如图，过点B作BG⊥AD于G，则∠AGB=∠BGD=90°.在Rt△AGB中，AB=20米，∠BAG=45°，∴AG=BG=20×sin45°=102(米).在Rt△BGD中，∠BDG=60°，∴BD=BGsin60°=2063米，∵∠C=∠CAD=30°，∴CD=AD=AG+DG=102+1063∴BC=BD+CD=(102+106答：两棵银杏树B，C之间的距离为(102+1067.解析如图，过点A作AH⊥DE于H，设EH=xm.在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH·tan45°=xm.∵CE=80m，∴CH=CE+EH=(80+x)m.在Rt△ACH中，∠ACH=30°，∴tan30°=AHCH=∴AH=EH=(403+40)m.在Rt△AHD中，∠ADH=45°，∴DH=AHtan45°=(403+40)m∴EF=EH+DH-DF=(803+70)m.∴隧道EF的长度为(803+70)m.素养探究全练8.解析(1)如图，过点A作AE⊥l，垂足为E.设CE=x米，∵CD=60米，∴DE=CE+CD=(x+60)米.∵∠ACB=15°，∠BCD=120°，∴∠ACE=180°-∠ACB-∠BCD=45°.在Rt△AEC中，AE=CE·tan∠ACE=CE·tan45°=x米.在Rt△ADE中，∠ADE=30°，tan∠ADE=AEED∴tan30°=xx+60∴AE=(303+30)