2024-2025学年河北省保定市安国中学高二（上）第二次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省保定市安国中学高二（上）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设点A(2,3,−4)在xOy平面上的射影为B，则|OB|等于(

)A.29 B.5 C.252.若直线l:x+my+1=0的倾斜角为5π6，则实数m值为(

)A.

3 B.−3 C.3.若双曲线x29−y211=1的右支上一点P到右焦点的距离为A.3 B.12 C.15 D.3或154.点P(x,y)是直线2x+y+4=0上的动点，PA，PB是圆C：x2+(y−1A.4+5 B.5+55.如图，在直三棱柱ABC−AB1C1中，AC=2，BC=3，CC1=4，∠ACB=90°，则BCA.3210 B.8210 6.“a=3”是“直线l1：(a−1)x+2y+1=0与直线l2：3x+ay−1=0平行”的(

)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件7.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2−4y+3=0，若直线y=kx−1上存在点P，使以P点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数A.(−∞,−14]∪[14,+∞) B.(−∞,−8.已知曲线C：(x2+y2A.曲线C的图象不关于原点对称

B.曲线C经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点)

C.若直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(−∞,−1]

D.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若M(1,0)，N(4,0)，点Q满足|QN|=2|QM|，记点Q的轨迹为曲线C，直线l：x+y−4=0，P为l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PA、PB，切点为A、BA.|PQ|的最小值为22−2

B.线段AB的最小值为2

C.PA⋅PB的最小值为0

D.10.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线y2=4x(p>0)上的两点，若直线ABA.x1x2=1 B.AB=4sin211.已知曲线C:x2cosθ+y2A.若cosθ=0，则曲线C表示两条直线

B.若cosθ>0，则曲线C是椭圆

C.若cosθ<0，则曲线C是双曲线

D.若cosθ=−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为32.若A，B分别是椭圆的上、下顶点，13.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过△ABC的重心G，则AP=

．14.如图，棱长为1的正方体中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，以下正确的是______．

①C1P⊥B1D；

②存在点P，使得D1P//面DBC1；

③AP+PD1的最小值为10四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知两直线l1：3x−y−1=0，l2：x+2y−5=0．

(1)求过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y−5=0的直线方程；

(2)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；

(3)已知两点A(−1,1)，B(0,2)，动点P在直线l1运动，求|PA|+|PB|16.已知圆M过点A3,3，圆心M在直线2x+y−5=0上，且直线x−2y+5=0与圆M相切．(1)求圆M的方程；(2)过点D0,−2的直线l交圆M于A,B两点.若A为线段DB的中点，求直线l的方程．17.如图，四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，AB=PC=2，M,N分别为PD,PB

(1)证明：MN⊥平面PAC；(2)求二面角C−PB−D的正弦值．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=BC=AA1=2，∠A1AB=∠A1AC，D是棱B1C1的中点．

(1)证明：AA119.由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1：x24+y2=1．

(1)若椭圆C2：x216+y42=1，判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；

(2)写出与椭圆参考答案1.D

2.A

3.C

4.C

5.D

6.C

7.B

8.D

9.ACD

10.C

11.ACD

12.213.1314.①②

15.解：(1)联立3x−y−1=0x+2y−5=0，解得x=1，y=2，

可得两条直线的交点为(1,2)，

设垂直于直线3x+4y−5=0的直线的方程为：4x−3y+c=0，

将交点(1,2)代入可得：4×1−3×2+c=0，

解得c=2，

所以所求直线方程为4x−3y+2=0；

(2)由(1)得两直线的交点为(1,2)，

当所求的直线过原点时，直线的方程为：y=2x，

当所求的直线不过原点时，设方程为x+y−a=0，

把交点(1,2)代入可得1+2−a=0，求得a=3，

可得所求的直线方程为x+y−3=0，

综上，所求的直线方程为y=2x或x+y−3=0；

(3)设点B(0,2)关于直线l1对称的点为C(x,y)，A(−1,1)，

联立y−2x=−13x2×3−y+22=1，解得x=95,y=75，

即C(95,716.解：(1)设圆M的方程为(x−a)2+(y−b因为圆M过点A3,3，所以(3−a又因为圆心M在直线2x+y−5=0上，所以2a+b−5=0②，直线x−2y+5=0与圆M相切，得到r=a−2b+5由①②③解得：a=2,b=1,r=5，

因此圆M的方程为(2)设Ax,y，因为A为线段BD的中点，所以B因为A,B在圆M上，所以x−22+y−12当A0,0时，由D0,−2可知直线l的方程为当A2413,−1613故直线l的方程为y=512x−2综上，直线l的方程为x=0或5x−12y−24=0．

17.解：(1)连接AC,BD，如下图所示：

由PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，可得PC⊥BD，又因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，显然PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC，因此BD⊥平面PAC，又M,N分别为PD,PB的中点，所以MN⁄⁄BD，即MN⊥平面PAC；(2)记AC,BD的交点为O，取AP的中点为E，连接OE，易知OE⁄⁄PC，由(1)可得OE⊥平面ABCD，又AC,BD⊂平面ABCD，所以OE⊥AC,OE⊥BD，因为AC⊥BD，所以AC,BD,OE两两垂直；以O为坐标原点，以AC,BD,OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系；

又∠BAD=60∘，AB=PC=2，所以则C−所以CP=设平面CPB的一个法向量为m=可得m⋅CP=2z1=0m即m=1,−设平面PBD的一个法向量为n=可得n⋅BD=−2y2=0n即n=2,0,可得cosm设二面角C−PB−D为θ，

可得sin θ=所以二面角C−PB−D的正弦值为42

18.(1)证明：如图，取BC中点E，连接AE，A1E，A1C.

因为AB=AC，所以AE⊥BC，

因为AB=AC，AA1=AA1，∠A1AB=∠A1AC，

所以△A1AB与△A1AC全等，

所以A1B=A1C，所以A1E⊥BC，

因为AE∩A1E=E，A1E、AE⊂平面A1AE，

所以BC⊥平面A1AE，

因为AA1⊂平面A1AE，所以AA1⊥BC．

(2)解：不存在，理由如下：

由(1)得，BC⊥平面A1AE，

因为BC⊂平面ABC，

所以平面ABC⊥平面A1AE，

如图，过点A1作A1O⊥AE于点O．

因为平面ABC∩平面A1AE=AE，A1O⊂平面A1AE，所以A1O⊥平面ABC，

由题意得A1D//AE，A1D⊥B1C1，AE⊥BC，B1D=1,A1D=AE=3，

所以S△A1B1D=12×1×3=32，设三棱柱的高为ℎ，

因为三棱锥B1−A1BD的体积为3912，

所以三棱锥B−A1B1D的体积为3912，即13S△19.解：(1)椭圆C2与C1相