2024-2025学年北师版八年级上册数学期末专项复习：实数和勾股定理（压轴30题）原卷版

压轴真题必刷01：实数和勾股定理

【题型归纳】

题型一：实数新定义问题

1.（2023下•重庆沙坪坝•八年级重庆南开中学校考期末）对于两个实数x,y,我们定义：/（x,y）=q（D#0）,

孙

有下列说法：

①“2,3）=4

O

175

@/（1,3）+/（2,4）+/（3,5）+/（4,6）+...+/（10,12）=—;

③若W（4-c）=好（a,-c）+（/（a,询,贝！|ab+ac=2bc.

其中说法正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.（2023下•重庆沙坪坝•八年级重庆八中校考期末）对于各个数位均不为0的三位数将f的各个数位中任取两个

数位构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，这六个两位数叫做f的“强化数”，例如：t=253,贝心的强化数

字是25、52、23、32、53、35,t的所有“强化数”之和与11的商记为G«）,若"321,G（321）=；若相和"

__G（m）

是两个三位数，它们都有“强化数”，机=丽（14a47,14647）n=21c（l<c<4,a、b、c均为整数），若

G⑺

的值能被5整除，记？=生，则。的最小值为

n

3.（2023下•重庆北培•八年级西南大学附中校考期末）如果一个四位整数P能分解成两个两位数的乘积，且这两个

两位数各数位上的数字之和相等，把这样的整数P称为“可爱数”，把这样的分解称为“可爱分解"，即P=Ax3,

A=10a+b,B=10c+dCl<a<9,0<b<9,l<c<9,0<d<9S.a,b,c,d均为整数）.若2A+3恰好为完全平方数，

且A是5的倍数，则满足条件的最大“可爱数”为—.

4.（2023下•重庆铜梁•八年级重庆市巴川中学校校考期末）对于四位数正整数丽，若满足a-b=c-d,则把

M叫做“友好数”.将“友好数”M的个位字去掉得到的三位数记为s,将千位数字去掉得到的三位数记为3并规定

F（M）=s-t-10b.贝!|尸（超）=；若四位正整数N=1000x+100y+30帆+,+1001（0Wy<xW8,0</?7<3,

0<n<8,x,»”为整数）是“友好数”，且*N）除以5余1,则满足条件的N的最大值为.

5.（2022上•四川内江•八年级四川省内江市第六中学校考期中）如果无理数机的值介于两个连续正整数之间，即满

定a〈m<b（其中a、6为连续正整数），我们则称无理数机的“神奇区间”为（a，b）.例：2<75<3,所以君的“神

奇区间”为（2,3）.若某一无理数的“神奇区间”为（a，b）,且满足6〈&+bW16,其中x=b,y=&是关于尤、y的

二元一次方程组云+世=。的一组正整数解，则。=

6.（2022上.湖南永州.八年级统考期末）某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第

k-2

左棵树种植在点血处，其中占=1,当％»2时.x=x_+T,7（。）表示非负实数。的整数部分，例

kkx3

如7（3.5）=3,7（0.8）=0.按此方案，第2021棵树种植在点々cm处,则％。21=

题型二：二次根式的化简求值问题

7.（2023下•浙江•八年级阶段练习）已知x=&-后,了=夜+石，则代数式J^+2盯+尸+*_,_4的值为（）

A.♦

BC.73-1D,

2-12

2+J32+G2+g厂

8.（2022下.重庆开州.八年级统考期末）二次根式除法可以这样做：如丁%=）一尸$—尸（=7+4g.像这样

2-G（2-@（2+百）

通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化.有下列结论:

①将式子布:0进行分母有理化,可以对其分子、分母同时乘以应+6；

3

②若。是近的小数部分，则2的值为立+1;

a

11

③比较两个二次根式的大小:----->-------.

V6-2V5-V3；

2222

④计算------1----------1----------1---1-------------

3+g5石+367石+5近99A/97+97A/99J3

合比yjn+l—y/n

⑨右X=---——广,y=~,且19Y+123孙+19^=1985,则整数“=2.

y/n+1+^JnX

以上结论正确的是（)

A.①③④B.①④⑤C.①②③⑤D.①③⑤

9.（2020上•河南洛阳•九年级校考阶段练习）设a为小3+石-小3-石的小数部分，b为76+3百-46-30的小数

2I

部分，则七-一的值为（）

ba

A.V6+V2-1B.V6-V2+1C.A/6-A/2-1D.V6+V2+1

10.（2023上•湖南常德•八年级统考期末）观察下列分母有理

____1___________________=W5/2T-1=J2-1

(应了.

72+71(V2+1).(V2-1)-12

]=6-0

6+四

1="-正,

s/~4+,\/3

从计算结果中找出规律

11

-I-----------------1-----------------1------1------------

G+血4+6J2023+

11.（2021下•广西南宁.八年级南宁二中校联考期末）已知:

=5后……按此规律，请表示出第2021个式子

12.（2023下•北京大兴•八年级统考期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由

特殊到一般”的方法，探究”当a>0、b〉0时，9与的大小关系”.

下面是小单的深究过程：

①具体运算，发现规律：

当。>0、b>0时，

特例1：若a+b=2,则2族V2；

特例2：若a+》=3,贝|2疝V3；

特例3：若。+6=6,贝|2族W0.

②观察、归纳，得出猜想：当。>0、8>0时，24ab<a+b.

③证明猜想:

当。>0、8>0时,

,.,（布-芯）=a-2\[ab+b>Q,a+b>2ab+a+b>2\[ab>2\[ab<a+b.

当且仅当。=6时，2«F=a+b.

请你利用小华发现的规律解决以下问题：

⑴当x>0时，x+■的最小值为（2）当x<0时，-x-2的最小值为；（3）当rCO时，求土土空攵的最大

XXX

值.

题型三：勾股定理在几何在的应用

13.（2023下•河南南阳•八年级统考期末）如图，在Rt^ABO中，AB=OB.顶点A的坐标为（2,0），以为边向AABO

的外侧作正方形ABCD.将组成的图形绕点。逆时针旋转，每次旋转45。，则第98次旋转结束时，点。的坐标为

A.(1,—3)B.(—1,3)C.(—1,—3)D.(1,3)

14.(2023下•辽宁朝阳•八年级统考期末)如图，长方形A8CZ)中，Afi=4,BC=2,G是AD的中点，线段所在

边A3上左右滑动，若EF=1,则GE+CF的最小值为()

A.273B.2应C.3亚D.373

15.(2023上•江苏淮安•八年级校考期末)如图,在AABC中，ZABC=90°,BC=8,AC=10,点P、。分别是边BC、AC

上的动点，则AP+尸。的最小值等于()

2448

C.5D.

TT

16.(2023上•吉林长春•八年级统考期末)如图，AABC中，AC=6,BC=8,NC=90。.点P从点C出发，沿折

线C4-AB运动，速度为2个单位长度/秒.点。为BC的中点，连接RD、PC.点P运动时间为f秒.

(l)AB的长度为.

⑵当t=7时，求线段AP的长.

(3)数学小组在探究“当f为何值时，APCD为等腰三角形”.

①小彤推断：当点尸在C4边上运动时，/DCP为直角，故若APCD为等腰三角形，只能是CD=CP.请你按照她

的思路，求出此时的r值.

②小园推断：当点P在A3边上运动时，。尸有可能等于CD.请你延续她的思路，直接写出此时的/值.

③小南猜想：当点尸在边上运动时，不可能出现CP=CD的情况.请你证明她的猜想是正确的.

17.（2023上•福建福州•八年级校联考期末）如图1,AABC,AC=9,AS=10,44c=30。.

⑴求AABC的面积；

（2）如图2,点M在边AC上，点N在边A3上，求3M+MN的最小值；

（3）如图3,点尸是在边AC上，过点尸分别作直线AB、直线8C的对称点。、E,当ADBE周长最小时，求线段CP

的长.

18.（2023上•浙江嘉兴•八年级统考期末）如图，在Rt^ABC中，NC=90。，8的一个动点，作点A关于CP的对称

点A,AC,交直线A2于点。.

（1）若AC=8,BC=6,CE是边AB上的高线.

①求线段CE的长；

②当NPQA=90。，求线段AQ的长；

⑵在/A=35。的情况下，当△APQ是等腰三角形时，直接写出，AG4'的度数.

题型四：勾股定理的实际应用

19.（2022下•山东临沂•八年级统考期末）如图，圆柱的高为6cm,底面周长为16cm,蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点

A爬到点B的最短路程是cm.

20.（2021上•重庆•七年级校联考期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8加7、3dm、2dm,A和B是

这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最

短路程为dm.

21.（2021下•浙江•八年级统考期末）在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓

展探索:

如图1,一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上，4。为4米，如果木棍的顶端A沿墙下滑x米，底端向外移

动》米，下滑后的木棍记为8,则x与y满足的等式（4-xY+（3+y）2=25,即》关于尤的函数解析式为

y=^25-（4-x）2-3,小明利用画图软件画出了该函数图象如图2,

（1）请写出图象上点尸的坐标（1,）

（2）根据图象，当x的取值范围为时，的周长大于AAOB的周长.

22.（2021上.山东青岛.八年级统考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们

对它的证明趋之若鹫，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.

【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△A8C和AOAE如图1放置，其三边长分别为a,b,c.显然，/DAB=NB

=90°,AC±DE.iWffla,b,c分别表示出梯形ABC。，四边形AEC。，AEBC的面积:

S梯彩ABCD=,

SAEBC=,

S四边mAECD=,

再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为，化简后，可得到勾股定理.

【知识运用】

如图2,河道上A,8两点（看作直线上的两点）相距200米，C,。为两个菜园（看作两个点），AD±AB,BC±AB,

垂足分别为A,B,AO=80米，8C=70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P,使得抽水点尸到两个菜园C,

。的距离和最短，则该最短距离为米.

【知识迁移】

借助上面的思考过程，请直接写出当0<x<15时，代数式甲§+“15-x)?+25的最小值=

23.(2021.江苏苏州•苏州市立达中学校校考二模)上午8点，某台风中心在A岛正南方向100km处由南向北匀速移

动，同时在A岛正西方向40Am处有一艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀

速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间f的图象.已知台风影响的半径是100初？(包含边界)，

请结合图象解答下列问题：

北

A

(1)台风的速度是km/h,补给船在到达A岛前的速度是km/h,图中点P的实际意义是

(2)从几点开始，补给船将受到台风的影响？

(3)设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超过lOOAm//?、

a<1.求出图中补给船航行时间机的正整数值及此时补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间.

24.(2020上•四川达州•八年级校考阶段练习)如图所示，A、8两块试验田相距200m,C为水源地，AC=160帆,

BC^UQm,为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠.

甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；

乙方案；过点C作42的垂线，垂足为"，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的8处，再从〃分别向4

8进行修筑.

（1）请判断AABC的形状（要求写出推理过程）；

（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明.

题型五：勾股定理与其他知识交汇

25.（2022上.北京海淀•八年级校考期末）在中，ZACB=90°,。为AABC内一点，连接8。，DC,延长OC

到点E,使得CE=DC.

（1）如图1,延长3C到点尸，使得CF=3C,连接AF,EF.若AF_LEF,求证：BD1AF-,

（2）连接AE,交3。的延长线于点连接S,依题意补全图2.^AB2=AE-+BD2,试探究A8,AH,BH这

三条线段之间的数量关系，并证明你的结论.

26.（2022上•福建漳州•八年级福建省长泰县第一中学校考期末）如图1,长方形ABC。，AB=1,点E是线段上

一动点（不与B,C重合），点厂是线段5