幂函数与二次函数方程与不等式【12类题型】-2025年高考数学复习突破（新高考专用）

专题2-3幕函数与二次函数，方程与不等式

近4年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

年天津卷第题，分

202035从近五年全国卷的考查情况来

2020年江苏卷第7题，5分看，本节内容很少单独命题，露(1)森函数的定义、图像

函数要求相对较低，常与指数函与性质

2024年天津卷：第2题，5分

数、对数函数综合，比较赛值的(2)三个二次之间的关系

2024年上海卷：第3题，5分大小，多以选择题、填空题出现.

模块一热点题型解读(目录)

【题型1】幕函数的定义及图像

【题型2】由幕函数的单调性比较大小

【题型3]森函数的图象与性质的综合应用

【题型4】三个“二次”关系的应用

【题型5】由一元二次不等式的解集求参数

【题型6】解含参一元二次不等式

【题型7】二次函数的图象、单调性与最值

【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题(1):判别式法

【题型9】含参一元二次不等式恒成立问题(2):参变分离法

【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题(3):变更主元法解

【题型11】一元二次不等式能成立问题(不等式有解)

【题型12]一元二次方程根的分布

模块二1核心题型•举一反三

【题型1】幕函数的定义及图像

基础知识1

1.氟函数的解析式

暴函数的形式是y=x°(Q£R),其中只有一个参数夕，因此只需一个条件即可确定其解析式.

2.赛函数的图象与性质

在区间（0,1）上，赛函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”）,在区间（L+8）上，幕函

数中指数越大，函数图象越远离x轴.

1.（多选题）（2024.新疆喀什.一模）若函数y=（病-〃是累函数，则实数相的值可能是（）

A.m=—2B.m=2C.m=-lD.m=l

【答案】BC

【解析】y=（病一加一1卜3是赛函数，则加-根-1=1,解得m=2或相=-1.

【巩固练习1】（2024•山东日照•二模）已知幕函数图象过点（2,4）,则函数的解析式为（）

x2

A.y=2B.y=xC.y=log2xD.y=sinx

【答案】B

【解析】设赛函数的解析式为y=J,由于函数过点（2,4）,故4=2°,解得。=2,该赛函数的解析

式为y=/；

故选：B

【巩固练习2】已知函数为幕函数，则/■（/-2a）+/（2a-/）=（）

A.0B.-1C.a2D.a6-a4

【答案】A

【解析】由题意有机—1=1,可得m=2,〃力=/，其定义域为R,

且f（-X）=（-%）3=-X3=-/（%）,则函数“X）为奇函数，

所以/（a2-2a）+/（2a-4）=0.

【题型2】由瓶函数的单调性比较大小

基础知识

在比较赛值的大小时，必须结合赛值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握

各个赛函数的图象和性质是解题的关键.

2.若a=(g)"b=bgi|,c=3^,贝Ua,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

【答案】C

［解析］6=logi|>logj=l,a=(1匕守亦=(&5>RA=(；)1C,而a=(g)久1,

所以a,b,c的大小关系为Z?>a>c.

232

【巩固练习1】设“OUC=守，则"，仇C大小关系是.

【答案】d>c>b

2..

【解析】因为在(°，+8)单调增,

22

所以即0>c,

在(-OO,+8)单调减,

32

所以(|J<(2：,即c>瓦综上,a>c>b.

【巩固练习2](2024•江西宜春•模拟预测)已知幕函数/(%)=(m-1)%九的图象过点(m,8).设a=

032

/(2),b=/(0.3),c=/(log20.3),则a,b,c的大小关系是()

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

【分析】根据幕函数的定义求出函数/(%)解析式，再利用新函数的单调性比较大小而得解.

【解析】因氟函数f(%)=(m—1)%"的图象过点(zn,8),则m—1=1,且m71=8,

于是得m=2,几=3,函数/(%)=%3,函数/(%)是R上的增函数，

而Iog2().3<0<0,32<1<20-3,贝寸有/(log20.3)</(0.32)</(203),

所以c<b<a.

【巩固练习3】(2024河北衡水三模)已知1。8〃；<1,<1,j<i，则实数〃的取值范围为()

B.(0,1)

【答案】A

【解析】由log«；＜l,得或0＜a＜；,

由＜1'得。＞0，

由/＜1，得

:.当log]＜1,W＜1,同时成立时，取交集得0＜a＜；

【题型3】幕函数的图象与性质的综合应用

基础知识

紧扣氟函数y=x"的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意a为奇

数时，f为奇函数，a为偶数时，/为偶函数.

m

3.已知募函数/(%)=%三(加九€2),下列能成为“/(%)是R上的偶函数”的充分条件的是()

A.m=—3,n=1B.m=l,n=2

C.771=2,71=3D.771=1,71=3

【分析】根据森函数的性质，结合充分条件的定义进行判断即可.

【解析】当m=-3,n=1时，/(x)=x~3=3

因为函数/(%)=2的定义域(一8,0)U(0,+8),关于原点对称，且/(-%)==一点=一/(%),

所以"%)=妥为奇函数，不合题意，故A错误；

当771=1,71=2时，y(x)=X2=y/x＞因为/'(%)=«函数的定义域[0,+8),不关于原点对称，

所以/(%)=«为非奇非偶函数，不合题意，故B错误；

当771=2,71=3时，f(x)=X2-Vx^,定义域为R,关于原点对称，且/(—x)=(―X)2==/(X),

所以/(X)=xl为偶函数，符合题意，故C正确；

当TH=1,=3时，=%3＞定义域为R,关于原点对称，且/(—久)=(-x)3=—%3=-/(X)»

所以“X)=/为奇函数，不合题意，故D错误.

【巩固练习1】已知aw卜2,1,2,31.若暴函数/(%)=/为奇函数，且在(0,+8)上递减，则

a-

【答案】-1

【解析】因为森函数/(x)=x°在(。,+8)上递减，所以々=-2,-L-1,

又氟函数/(1)二元。为奇函数，可知。为奇数，即a=-l.

【巩固练习2】已知事函数八%)=(2根-1)龙〃的图象经过点(2,8),下面给出的四个结论：①〃耳=婷；

②“龙)为奇函数；③〃X)在R上单调递增；④/(4+1)<”1),其中所有正确命题的序号为()

A.①④B.②③C.②④D.①②③

【答案】B

【解析】对于①：由森函数的定义可知2租-1=1,解得m=1,

将点(2,8)代入函数/(X)=x"得2"=8,解得〃=3,

所以故①错误；

对于②：因为定义域为R,Af(-x)=(-x)3=-%3=-f(x),

所以/(x)为奇函数，故②正确；

对于③：由赛函数的图象可知，/(X)在R上单调递增，故③正确；

对于④：因为"+121,且在R上单调递增，所以⑴，故④错误，

综上可知，②③正确，①④错误.

【巩固练习3](山东荷泽•三模)已知函数/(%)=7+(a—2)/+2%+b在[—2c—l,c+3]上为奇

函数，则不等式/(2%+l)+/(a+h+c)>。的解集满足()

A.(-2,4]B.(-3,5]C.(-|,2]D.(-2,2]

【分析】根据函数的奇偶性求出参数a、b、c的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单

调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【解析】因为函数/(%)=%3+(a—2)/+2%+b在[—2c—l,c+3]上为奇函数，

所以—2c—l+c+3=0,解得c=2,又/(—%)=—/(x),

即—+(a—2)%2—2x+b=—x3—(a—2)x2—2x—b,

所以2(a—2)/+26=0,解得除?’°,解得｛£：j，

所以f(x)=x3+2x,xG[—5,5],

由y=/与y=2x在定义域[-5,5]上单调递增，所以/(%)在定义域[-5,5]上单调递增，

则不等式J(2x+l)+](a+b+c)>0,即f(2x+1)+/(4)>0,等价于/(2工+1)>/(—4),

所以解得一|<xW2,即不等式的解集为(-Q]

【题型4】三个“二次”关系的应用

基础知识

二次函数y=ax2-\-bx-\-c的图象、一■元二次方程ax2+/?x+c=O的根与一■元二次不等式

>0与qf+bx+c<0的解集的关系，可归纳为：

方程的判别式

△>0△△

△=b2-4ac=O<0

y=ax2+bx+ckJ

(a>0)的图象X'1

卜□V

o

2有两相等实根

ax+bx+c=0有两相异实根

(a>0)的根b没有实根

x,x(X!<vr)Xi="2=

x222a

ax2+bx+c>0b

(a>0)的解集或x>x2}--4R

2a

ax2+bx+c<0

(a>0)的解集{x|x,<X<x2}0

若。<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解.

通过以上论述，可对''三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在解题中，我们要不失时机的渗

透“三个二次”三位一体的思维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，能自然规范的运用函数

方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高数学解题思维水平。

知识点诠释：

(1)一元二次方程以2+以+。=0(。/0)的两根占、%是相应的不等式的解集的端点的取值，是

抛物线y=+C与X轴的交点的横坐标；

(2)表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为

二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

(3)解集分A>0,A=0,A<。三种情况，得到一元二次不等式始；2+b%+c〉o与Q2+6*+c<o

的解集.

4.(2020・山东.高考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则不等式a/+fox+c>

0的解集是（）

A.(-2,1)B.(—CO,—2)U(1,+co)C.[—2,1]D.(—8,—2]U

[1,+8）

【分析】本题可根据图像得出结果.

【解析】结合图像易知，不等式a%2+bx+c>0的解集（-2,1）

【巩固练习1】不等式ax?一法+0>0的解集为{x卜2cx<1},贝I]函数》=依2一法+，的图象大致为（）

【答案】A

【解析】因为依2—6x+c>o的解集为{引―2<x<1},

所以方程ox?—6x+c=0的两根分别为-2和1,且a<0,

-2+1=-,「

则0变形可得:‘

（-2）x1，，匕=一2。，

.a

故函数y=依2-bx+c=a>^+czr-2q=a（x+2）（x-l）的图象开口向下，

且与x轴的交点坐标为（1,0）和（-2,0）,故A选项的图象符合.故选：A

【巩固练习2】关于尤的不等式炉―2奴—8。2<0（。〉0）的解集为（和%2），且％—%=15,则0=

（）

571515

A.-B.—C.—D.—

2242

【分析】看问题：求实数a的值.（属于求值问题）

想方法：寻找等量关系建立关于所求量的方程，利用方程思想求解，

看条件：一2以一8。2<0（〃>0）的解集为（再,乙），且%2一玉=15,

定措施：由题意知％2,玉是方程》2—2依—8/=0的两根，根据韦达定理及九2一百=15建关于a方

程去求值。

【答案】A

【解析】因为关于x的不等式x2-2ax-8a2<0（a>0）的解集为（国,马）,所以

=2。,再々=-8",又马—%=15,所以（々一xj2=（々+玉）2—4々再=36/=15?,

解得。=±—，因为a>0,所以。=2.

22

【题型5】由一元二次不等式的解集求参数

基础知识

先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组

5.已知关于x的一元二次不等式办2+加一”0的解集为{x[3<x<5},则不等式cY+fec-a〉。的

解集为（）

x卜或1一1

A.B.了<一§或工>一二

【答案】D

【解析】因为关于x的一元二次不等式一+6x-c<0的解集为{x[3<x<5},

所以a>O且方程ar2+陵-c=o的解为3,5,

bc

所以——=8,—=15,所以b=—8a,c=_15a,

aa

则不等式cf+Z?x—tz>0,即为不等式一15以2-86—〃>。,

则15%2+8X+1V0,解得一；<1<一]，

所以不等式cd+陵—4>0的解集为\x—•故选：D.

6.（多选题）（2024•高一•江苏.专题练习）已知关于x的不等式d+fex+cNO的解集为何*4-3或

x>4},则下列说法正确的是（）

A.«>0

B.不等式bx+c>0的解集为{x|尤<-4}

0的解集为X<—L或V〉，

C.不等式o?—bx+a<

43

D.a+b+c>0

【答案】AC

【解析】关于x的不等式G?+bx+c>0的解集为（-D[4,+oo）,

所以二次函数y=a/+灰+。的开口方向向上，即〃>0,故A正确;

且方程ax2+陵+c=0的两由艮为一3、4,

--=-3+4

b=­a

由韦达定理得,解得

c=—12a

-=-3x4

.0

对于B,bx-^c>0<^-ax-12a>0,由于〃>0,所以无v-12,

所以不等式法+c〉0的解集为{x|x<-12},故B不正确；

（b=—a

对于C,因为<,所以c/一<o,Fp—12ax2+ax+a<0,

[c=-12a

所以12%2一%一1>0,解得了<-；或

所以不等式Ck2—法+〃<0的解集为<Xxj—Z或>,故C正确；

对于D,a+b+c=a—a—12a=—12a<G,故D不正确.

【巩固练习1】（多选题）（2024・高一・湖南株洲•期中）已知不等式分2+法+。40的解集为{%|xw-i

或元23},则下列结论正确的是（）

A.a<0

B.a+b+c>G

C.c<0

D.cf_公+〃<0的角军集为

【答案】ABD

【解析】因为不等式g?+加;+c<0的解集为{x|xV-1或x>3},则一1,3是方程av?+〃％+c=o的

a<0

b

两根，则《—1+3=—,解得a<O,Z?=—2。,。=—3a〉0,故A正确，C错误；

a

-1x3=-

、a

因为a+b-^-c=a-2a-3/a=-4a>0,故B正确；

不等式ex2—+a<o可以化简为3——2x—1v0,解得—故D正确；

故选：ABD

【巩固练习2】(多选题)(2024•高一•山东聊城・期末)不等式加+fec+cNO的解集是｛x|T4x42｝,

则下列结论正确的是()

A.a+Z?=0B.a+b+c>GC.c>0D.b<0

【答案】ABC

【解析】因为不等式ox?+〃％+c之0的解集是｛%|—1<x<2|,

b

——=-1+2=1>0b>0

a，所以，

可得。<0,且vb=—a9所以Q+Z?=0,C>0,〃>0,

-=-2<0c>0

所以A、C正确，D错误.

因为二次函数y=々/+bx+c的两个零点为-1,2,且图像开口向下,

所以当％=1时，y=Q+〃+c>。，所以B正确.

【题型6】解含参一元二次不等式

基础知识

对于含参数的一元二次不等式，一般不会单独考察，往往和导数研究函数的单调性一起考察

解法：若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对

判别式分类讨论，分类要不重不漏

7.解关于x的不等式：x2-(m-3)x-3m>0.

【解析】不等式尤2-(m-3)龙一3加>0,即(x+3)(x-m)>0,

当相=-3时，原不等式即(X+3)2>0,解得号-3,即不等式的解集为｛x|xw-3｝；

当相>一3时，解得%>加或％<-3,即不等式的解集为｛11相或％<-3｝；

当机<一3时，解得%>-3或%〈根，即不等式的解集为或xvm｝；

综上可得：当m=-3时不等式的解集为｛x|%W-3｝,

当机>一3时不等式的解集为｛%|x>相或xv-3｝,

当机<一3时不等式的解集为｛不|%>-3或无<加｝.

8.解关于％的不等式--(4。+1)%+4>0.

【答案】答案见解析

【解析】由题意可知，“？一(4〃+1)%+4>0可化为(依一1)(1—4)>0

(1)当。=0时，不等式化为1—4<0,解得％<4,

(2)当一<0时，不等式化为［％---|(x—4)<0,解得一<%<4,

a<a)a

(3)当0<—<4时，不等式化为［九—|(x—4)>0,解得％<—或x>4,

a<aJa

(4)当工=4时，不等式化为(x—4)2>0,解得了w4,

a

(5)当一〉4时，不等式化为(x—1—|(%—4)>0,解得x<4或x>—,

avaJa

综上所述，a=0时，不等式的解集为(—8,4)

°<0时，不等式的解集为；

(7〉一时，不等式的解集为1―00,—］<j(4,+oo);

4Ia)

。=工时，不等式的解集为(―8,4)|J(4,+8)；

4

0<a<一时，不等式的解集为(—8,4)—,+00|;

4U)

【巩固练习1】解不等式/一(加+2)冗+2机<0

【解析】即(x—m)(无一2)v。，

当机>2时，不等式的解集为｛,2<%<相｝；

当m=2时，不等式的解集为0;

当机<2时，不等式的解集为｛X机<x<2｝.

【巩固练习2］当a<1时，解关于％的不等式®-1)(工-1)<0.

【解析】当〃=0时，代入不等式可得一%+1<0,解得了>1;

当0<Q<］时，化简不等式可得）（x—1）<0即［x—］（x—1）<0,

由L>1得不等式的解为1<尤<L,

aa

当a<0时，化简不等式可得1（x—1）<0即（x1（x—1）>0,

由得不等式的解为或

aa

综上可知，当〃=0时，不等式（公-1）。-1）〈。的解集为｛x\x>l｝；

当0<々<1时，不等式（以一1）（尤一1）<0的解集为1<x<—1；

当〃<0时，不等式（5―D（xT）V。的解集为《%卜<工或%>1｝.

【题型7】二次函数的图象、单调性与最值

基础知识

解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.

9.已知函数〃耳=/+皿-2尤+1在区间［2,+8）上是增函数，则实数加的取值范围是.

【答案】［-2,+8）

―2

【解析】二次函数〃犬）=X2+（根—2）x+l的图象开口向上，对称轴为直线x=———,

因为函数在区间［2,+w）上是增函数，则-与242,解得加2-2.

因此，实数机的取值范围是［-2,+8）.

【巩固练习1］函数/⑶=Sx2-x-3的单调递增区间为（）

A.B.（-co,-l）C.彳，+8D.-,+oo

I4」L2）［4

【答案】C

3

【解析】由题意，^r=2x2-x-3=（2%-3）（x+l）>0,^x<-l^x>~,

根据二次函数性质知：f=2x?-x-3在（-°°，-1］上递减，在■1,+coj上递增

又y=JF在定义域上递增，故/（无）=亚/-无-3的单调递增区间为1,+«1

【巩固练习2］函数/(幻=,一(加—2»+1|在-g1上单调，则实数机的取值范围为()

11

A.r1u34B.2u

2i2号

11

C.3D.23

f2u'142'u4

【答案】C

1

2,

<0,

a11Q

解得3VwV］或WW1,即实数机得取值范围为［--,1］U［3,-］.

-2x-+4x).x>0在区间g_i,3_2a)上有最大值，则实数的取值范围

【巩固练习3】若函数〃x)=a

2x,x<0

是.

【答案】［0,1)

【解析】4^^(^)=-2x2+4x,x>0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,y)上单调递减,

又/(1)=2=/(-1),作出函数/⑴的大致图象，

由于函数〃x)=［在区间g_］,3_2a)上有最大值,

I2x,x<0

3-2a>l

结合图象，由题意可得解得。立<1，所以实数0的取值范围是［。」)

【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题(1):判别式法

基础知识

一元二次不等式在R上的恒成立问题

与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等.

方法是通过二次函数的图像来理解.

].若〃N+Zzx+c>0恒成立，贝I6z>0,A<0；

2.若,恒成立，贝i]0V0,AO；

10.（多选）VxwR,关于X的不等式Y-6+。>°恒成立的一个必要不充分条件是（）

A.a<10B.0<a<4

C.ci>—2D.0<iz<—

2

【答案】AC

【分析】由VxeR,关于x的不等式尤2-亦+a>0恒成立得A<0,求得。的取值范围，然后根据充

分条件与必要条件的概念判断即可得出答案.

【详解】VxeR,关于x的不等式X?-办+a>0恒成立，则△=6-4a<0,解得0<a<4.

对于/,因为{a[0<a<4}*{a|a<10},符合题意，故/正确；

对于5是充要条件，故B错误；

对于C,因为{a[0<a<4}*{a|a>-2},符合题意，故C正确；

对于D,因为当0<。<4时，0<。<：不一定成立，不符合题意，故。错误

【巩固练习1】若关于Z的不等式狈?+2依+3"-4<°对xeR恒成立，则〃的取值集合为()

A.{a|-2<q<0}B.^a|-2<a<0}C.„<()}D.„(()}

【答案】D

【分析】根据含参一元不等式恒成立对。分类讨论即可得a的取值集合.

【详解】当。=0时，不等式0^+2办+3.-4<0化为T<0对xeR恒成立；

ftz<0

当要使得不等式ox?+2依+3々-4<0对xeR恒成立，则"-4/_4Q(3Q-4)<0'解得。<°

综上，a的取值集合为{司。V。}

【巩固练习2】已知函数y=(a-2)V+2(a-2)x-4,若对任意实数x,函数值恒小于0,则a的取值

范围是________

【答案】-2<a<2

【分析】根据给定条件，分段讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答.

【详解】当a=2时，>=一4<0恒成立，则a=2;

当aw2时，依题意，二次函数〉=(。-2)/+2(。一2口-4的图象总在x轴下方，

于是1=4(”2)2+16(…解得一2<"2,则-2<“<2

【题型9】含参一元二次不等式恒成立问题(2):参变分离法

基础知识

含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最

值问题

参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量尤的关系，

X/xeAf,使得/(x)..a,等价于/⑺..。，\/x&M,使得/(x)”a,等价于一⑺即，a

11.当TVxW。时，关于z的不等式—+6+15-aN。恒成立，则。的取值范围是

【答案】a<6

【分析】参变分离得。4二一~再利用基本不等式求三~2的最小值即可得答案.

x—\X—1

【详解】关于1的不等式％2+依+15—〃之0恒成立

-X2-15

即〃4一——,TWxKO时恒成立，

x-1

-f-15

a<

x-1

min

又一%2]5_—2(%1)一]6=1———2>2-%)•-^―——2=6,

X—1x—1

当且仅当1一尤=生，即x=—3时等号成立，.•.aV6.

1-x

【巩固练习1】若不等式d-2x-机<0在尤€g，2上有解，则实数加的取值范围是()

A.[-l,+oo)B.(-l,+oo)

(3

C.一二+8D.(0,+司

I4

答案：B

【解析】将不等式/一2%一根<0在XE-,2上有解，转化为不等式机>%2-2%在X£—,2上有解

求解.

【详解】因为不等式炉-2%-机<0在于2上有解,

所以不等式机>X2-2%在工£—,2上有解,

令/=—2%=(%—1)—1,则，min=—1,

所以用〉一1,

所以实数加的取值范围是

【巩固练习2】若不等式f—比+1>。在］£(0,2)时不等式恒成立，则实数，的取值范围为

若不等式炉—比+ivo在九金(1,2)上恒成立，则实数t的取值范围为.

【答案］?<2J>(

2

【解析】首先分离参数可得f>x+,，然后结合对勾函数的性质求得无+!<3,从而可确定r的取值范

围.

【详解】⑴因为不等式炉—笈+1>0,所以，<X±l=x+J■在区间(0,2)上恒成立，x+->2,

XXX

当x=l时取等号，故1<2

2

r11

(2)不等式尤2-优+1<0对一切xe(l,2)恒成立，t>-----=尤+—

XX

由对勾函数的性质可知函数y=x+2在区间(1,2)上单调递增,

x

且当x=2时，y=2+—=—,所以x

22x2

故实数/的取值范围是二2.

2

【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题(3):变更主元法解

基础知识

变更主元：在有几个变量的问题中，常常有一个变量处于主要地位，我们称之为主元。在解含有参数的

不等式时，有时若能换一个角度,变参数为主元，则可以得到意想不到的效果。

12.已知Vae[0,2]时，不等式办~+(a+l)x+l-怖。<0恒成立，则工的取值范围为

【答案】(-2,-1)

【分析】由题意构造函数关于a的函数/(a)=+x-|Ja+x+l/(0)<0

则可得从而可求出z

/(2)<0,

的取值范围.

【详解】由题意，因为当ae[0,2],不等式+(a+l)x+1—<0恒成立,

可转化为关于a的函数/(。)=]/+工—|^4+%+1,

则/(a)<。对任意。£[0,2卜恒成立，

ry(o)=x+i<o

则满足12,

[7(2)=2Y+2x-3+%+1<0

解得-2<X<-1,

即Z的取值范围为(-2,-1)

【巩固练习1】若不等式2》-1>〃工卜2-1)对任意机4-1』恒成立，实数支的取值范围是.

【答案】(73-1,2)

【分析】把题意转化为加(炉-1)-2彳+1<0,设“祖六网尤?一[)—2^1,由一次函数的单调性列不

等式组，即可求解.

【详解】2x-l>m(炉-1)可转化为/”(x?-l)-2x+l<0.

设=根T)-2x+l,则/(m)是关于加的一次型函数.

要使恒成立，只需，,解得1<x<2.

f(-l)=-x2-2x+2<0

【巩固练习2】函数/(x)=炉+"+3,若ae[4,6]J(x)N0恒成立,则实数工的取值范围是.

【答案】(-co,-3-V6]U[-3+V6,+oo)

【分析】采用变换主元的策略，看作关于。的一次函数，利用端点函数值不小于0建立不等式组求

解即可.

【详解】令/7(。)=X°+/+3,当ae[4,6]时，6(。)2。恒成立，

f/z(4)>0,[X2+4X+3>0,“-r-

只需7心、c即<2z°c解得尤4-3-后或xN-3+6.

[/?(6)>0,^X2+6X+3>0,

所以实数1的取值范围是(-00,-3-指支[-3+#,+00).

故答案为：(-co,-3-A/6]U[-3+A/6,+co)

【题型11]一元二次不等式能成立问题(不等式有解)

基础知识

一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围

13.已知命题“VxeR,4f+(a-2)x+!>0"是假命题，则实数。的取值范围为()

4

A.(YO,0]U[4,+OO)B.[0,4]

C.[4,-H»)D.(0,4)

答案：A

【分析】先求出命题为真时实数。的取值范围，即可求出命题为假时实数。的取值范围.

【详解】若“VxeR,4f+(a-2)x+,>0”是真命题，

4

91

即判别式A=(Q—2)-4X4X-<0,解得：0<«<4,

所以命题“VxGR,+(〃—2)xH—>0’’是假命题，

4

则实数。的取值范围为：(-00刈11[4,用).

【巩固练习1】若不等式尤2一2%-机<0在尤e1,2上有解，则实数加的取值范围是()

A.[-l,+oo)B.(-l,+oo)

C.］一|+8

D.(0,+oo)

答案：B

【解析】将不等式炉-2尤-根<0在xe-,2上有解，转化为不等式“7>尤?-2元在xe-,2上有解

求解.

【详解】因为不等式炉-2尤-加<0在xe-,2上有解，

所以不等式机>f-2x在xe-,2上有解，

令，=一—2工=(%-1)2_1,则%=-1,

所以m〉-l,所以实数加的取值范围是

a

【巩固练习2】已知命题P：使得2爪2十履—wo成立，，是真命题，则实数上的取值范围

O

是.

【答案】

3

【分析】利用分离参数法得,只需求出不等式右边的最大值即可.

2x+x

33

【详解】2kx2+kx——<0,{lx1+x\k<—,

88

设>=2/+》=2心+工].,.对称轴为x=-4，在[1,2]上单调递增，

-I4)84

^2xl2+l<y<2x22+2,Fp3<y<10,

33

Z<8,;*e[1,2],使得2kx~+kx—<0成立，

-8

1rni

,•.-3<y<10,.1，故公

"7Lso^J8

【题型12]一元二次方程根的分布

基础知识

一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般

考虑以下几方面：

1.开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况）.

2,判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则恒成立）

3.判定△符号.

4.判定对称轴的位置.

总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分

析就可以得到结论，无需记忆.

（1）二元二次方程在R上根的分布情况

①方程有两个不等的实数根=△=/—4砒〉0；

②方程有两个相等的实数根oA="2—4ac=0;

③方程没有实数根=△=/一4ac＜0

（2）一元二次方程的根的“0”分布

A=Z?2-4ac>0

b

①方程有两个不等正根尤”尤2o,4+Z=--->U；

a

c

xx=—>n0

{2a

△=〃-4ac>0

b

②方程有两个不等负根=须+=---〈0

a

c

xx=—>0

x2a

③方程有一■正根和一负根，设两根为Xj,X。玉=—＜。

2a

（3）一元二次方程（。＞0）的根的“左”分布

A>0

,b,

①两根都小于％=<----<k-

2。

f(k)>0

A>0

b

②两根都大于％=<----->k

2a

③一根小于左,一根大于f(k)<0

(4)一元二次方程根(〃>0)在区间的分布

A(m)>0

①两根都在(加,〃)内u><