2024年人教版初中九年级数学上册同步讲义：点、直线、圆与圆的位置关系（学生版）

第22课点'直线'圆与圆的位置关系

课程标准

(1)理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定；会画三角形的外接圆，熟识相关概念.

(2)理解直线与圆的各种位置关系，会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系；

(3)了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念.理解两圆的位

置关系与d、n、n等量关系的等价条件并灵活应用它们解题.

知识点01点和圆的位置关系

1.点和圆的三种位置关系：

由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各

具有相同的性质和判定方法；设。。的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有

(1)点P在圆内OO

⑵点P在圆上OO

(3)点P在圆外。。

2.三角形的外接圆

经过三角形的的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的交点,

叫做三角形的,三角形的外心到三角形的距离相等.

【注意】

(1)点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知

道数量关系也可以确定位置关系；

(2)的三个点确定一个圆.

知识点02直线和圆的位置关系

1.直线和圆的三种位置关系：

⑴相交：直线与圆有时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的.

(2)相切：直线和圆有时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的,唯一的公共点叫做.

(3)相离：直线和圆时，叫做直线和圆相离.

2.直线与圆的位置关系的判定和性质.

直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)

的位置关系.下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与

圆心的距离大于半径.

如果。。的半径为r,圆心。到直线/的距离为d,那么

⑴直线1和e。相交=；

⑵直线1和e。相切o；

(3)直线1和e。相离O；

这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关

系的判定.

知识点03圆和圆的位置关系

1.圆与圆的五种位置关系的定义

两圆外离：两个圆没有公共点，且时，叫做这两个圆外离.

两圆外切：两个圆,并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的时，叫做这两

个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.

两圆相交：两个圆有时，叫做这两圆相交.

两圆内切：两个圆，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的时，叫做这两

个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.

两圆内含：两个圆,且一个圆上的点都在另一个圆的时，叫做这两个圆内含.

@eQ©(

外离外切

相交

◎

内切内含同心圆

2.两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：

设。01的半径为口，半径为必两圆心OQ2的距离为d,贝U：

两圆外离O__________

两圆外切O

两圆相交O

两圆内切。__________

两圆内含O__________

【注意】

(1)圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同,若以两圆的公共点个数分类,

又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；

(2)内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；

(3)具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.

考法01点与圆的位置关系

【典例1］已知。。的半径为2a”，点尸到圆心。的距离为4C",则点尸和。。的位置关系为（）

A.点尸在圆内B.点尸在圆上C.点尸在圆外D.不能确定

【即学即练】已知。。的半径是4,OP=1,则点P与。O的位置关系是（）.

A.点P在圆内B.点P在圆上C.点尸在圆外D.不能确定

【典例2】已知。。的半径为3cm,点尸在。。内，则。尸不可能等于（）

A.1cmB.1.5cmC.2cmD.3cm

【即学即练】已知。。的半径为5cm,P为。。外一点，则OP的长可能是（）.

A.6cmB.4cmC.3cmD.5cm

考法02直线与圆的位置关系

【典例3］己知。。的半径是7cm,点。到同一平面内直线/的距离为6.9cm,则直线/与。。的位置关系

是（）

A.相交B.相切C.相离D.无法判断

【即学即练】已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是（）

A.相离B.相切C.内交D.相切或相交

【典例4】已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4,则该圆的半径可能为（）

A.2B.3C.4D.5

【即学即练】RtAABC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,若以点C为圆心r为半径的圆与42所在直线相

交，则厂可能为（）

A.3B.4C.4.8D.5

考法03三角形的外接圆

【典例5】如图，△ABC是。。的内接三角形，若NQ4C=20。，则N3=（）

A

A.40°B.60°C.70°D.80°

【即学即练】如图，。。是等边△ABC的外接圆，若A5=3,则。。的半径是（）

A，1

B.4

3

【典例6】如图，sinA=-,BC=6,则MBC外接圆的直径为（）

A.8B.10C.4D.5

【即学即练】如图，△ABC的外接圆半径为8,ZACB=60°,则AB的长为（）

A.85/3B.4石C.6D.4

考法04圆与圆的位置关系

【典例7】如果两圆的直径分别为6和14,圆心距为4,那么这两圆的位置关系是（）

A.内含B.内切C.相交D.外切

【即学即练】及△ABC中，已知/。=90。,3。=3,4?=4,以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆8、

圆C,这三个圆的半径长都是2,那么下列结论中，正确的是（）

A.圆A与圆。相交B.圆3与圆。外切C.圆A与圆3外切D.圆A与圆5外离.

【典例8】如果。0］与。Q内含，Q1Q=4,的半径是3,那么的半径可以是（）

A.5B.6C.7D.8

【即学即练】已知。Oi和。Ch相切，直径为9cm,。。2直径为4cm,则O1O2长为（）

A.5cm或13cmB.2.5cm

C.6.5cmD.2.5cm或6.5cm

题组A基础过关练

1.已知。。的半径为3cm,点A到圆心。的距离为2cm,那么点A与。。的位置关系是（)

A.点A在。O内B.点A在。O上C.点A在。。外D.不能确定

2.已知。。的半径为3,点尸在。。外，则。尸的长可以是（）

A.1B.2C.3D.4

3.若圆。的半径为4,Q4=6,则符合题意的图形可能是（）

4.半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线/的距离为4,则这个圆可以是

A.QOiB.QO2

5.平面内，。。的半径为3,若点P在。。外，则。尸的长可能为（

A.4B.3C.2D.1

6.直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是（）

A.8或6B.10或8C.10D.8

7.。。的直径长为10,。4为8,则点A与。。的位置关系为.

8.。。的半径为3cm,如果圆心。到直线/的距离为d,且d=5cm,那么和直线/的位置关系是

9.如图，在矩形ABCQ中，AB=6cm,AD=8cm,

⑴若以A为圆心，6cm长为半径作。A（画图），则8、C、。与圆的位置关系是什么？

（2）若作。A,使C、。三点至少有一个点在。A内，至少有一点在。A外，则。A的半径，的取值范围是

10.在中，ZC=90°,BC=4,AC=3,

（1）斜边A8上的高为；

（2）以点C为圆心，厂为半径作。C

①若直线A3与。C没有公共点，直接写出厂的取值范围；

②若边与。C有两个公共点，直接写出r的取值范围；

③若边AB与0c只有一个公共点，直接写出厂的取值范围.

题组B能力提升练

1.已知：在AABC中，ZA：ZB：NC=1：2：3,以B为圆心，8C长为半径的08与AC边的位置关系

A.相离B.相切C.相交D.不能确定

2.已知。。的半径为3,圆心。到直线/的距离为5,则直线/与。。的位置关系是（

A.相离B.相交C.相切D.无法确定

3.尸、。是直线/上的两个不同的点，且。尸=5,。。的半径为5,下列叙述正确的是（）

A.点P在。。外

B.点。在。。外

C.直线/与。。一定相切

D.若。。=5,则直线/与。。相交

4.直角A48C,ZBAC=90°,AB=S,AC=6,以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线的公共点的个

数为（）

A.0B.1C.2D.不能确定

5.如图，是。。的一条半径，点尸是OA延长线上一点，过点尸作。。的切线尸2,点B为切点.若

PA=l,PB=2,则半径04的长为（）

6.实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆。。/与。。2的半径为3米，且。。/经过。。2的圆心已

知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（

A.4兀米B.6兀米

7.若两个圆的半径分别为3和4,圆心之间的距离是5,则这两个圆的位置关系是.

8.如图，直线AB,CO相交于点。，ZAOC=30°,圆尸的半径为1c%,动点P在直线AB上从点。左侧

且距离O点6cm处，以lcm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为s.

C

9.在RhABC中，ZC=90°,ZB=30°,。是A3上的一点，OA^m,。。的半径为r,当r与相满足怎样

的关系时，

(1)AC与。。相交?

(2)AC与。。相切？

(3)AC与。。相离?

10.如图所示，。01和002相交于A,B两点，过点A的直线分别交两圆于点C,D,点M是CD的中点,

直线BM分别交两圆于点E,F,连接CE.

⑴求证CE〃DF；

⑵求证ME=MF.

题组C培优拔尖练

1.点尸到。。的最近点的距离为2cm,最远点的距离为7cm,则。。的半径是()

A.5cm或9cmB.2.5cm

C.4.5cmD.2.5cm或4.5cm

2.已知。A与。8外切，OC与0A,QB都内切，且AB=7,AC=8,BC=9,那么。C的半径长是（）

A.12B.11C.10D.9

3.已知点。是△ABC的外心，若N8OC=70。,则NBAC的度数为（）

A.35°B.110°C.35°或145°D.35°或110°

4.已知圆a、圆Q的半径不相等，圆a的半径长为5,若圆。2上的点A满足AQ=5,则圆。|与圆。2的

位置关系是（）

A.相交或相切B.相切或相离C.相交或内含D.相切或内含

5.圆的半径是7cm,如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm,那么该直线和圆的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.相交或相切

3

6.如图，已知直线尤一3,与无轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0,1）为圆心，1为半径的

圆上一动点，