高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用第1课时教学设计新人教A版必修4

1.6三角函数模型的简洁应用（第1课时）一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来探讨许多问题,在刻画周期改变规律、预料其将来等方面都发挥着非常重要的作用.三角函数模型的简洁应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期改变现象的学习.本节教材通过4个例题,按部就班地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上留意了广泛性、真实性和新奇性,同时又关注到三角函数性质(特殊是周期性)的应用.通过引导学生解决有肯定综合性和思索水平的问题,培育他们综合应用数学和其他学科的学问解决问题的实力.培育学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等实力.由于实际问题经常涉及一些困难数据,因此要激励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,依据散点图进行函数拟合等.二、教学目标1．学问与技能．切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。．三、教学重点与难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期改变规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的学问来解决问题.四、教学设想三角函数模型的简洁应用（一）一、导入新课思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性改变的现象无处不在,那么原委怎样用三角函数解决这些具有周期性改变的问题？它究竟能发挥哪些作用呢？由此绽开新课.思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特殊探讨了三角函数的周期性.在现实生活中,假如某种改变着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章其次节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个详细例子,来探讨这种三角函数模型的简洁应用.二、推动新课、新知探究、提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?③上述的数学模型是怎样建立的?④怎样处理搜集到的数据?活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生赐予表扬,并激励他们类比以前所学学问方法,接着探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,老师要帮助回忆并快速激起相应的学问方法.在老师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型说明实际问题.这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简洁应用便可迎刃而解.新课标下的教学要求,不是老师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是老师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.探讨结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.②简洁地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来探讨实际问题的一般数学方法.③解决问题的一般程序是:①审题:逐字逐句的阅读题意,审清晰题目条件、要求、理解数学关系；②建模:分析题目改变趋势,选择适当函数模型；③求解:对所建立的数学模型进行分析探讨得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.④画出散点图,分析它的改变趋势,确定合适的函数模型.三、应用示例例1如图1,某地一天从6—14时的温度改变曲线近似满意函数y=sin(ωx+φ)+b.图1(1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时老师与学生一起探讨.本例是探讨温度随时间呈周期性改变的问题.老师可引导学生思索,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己探讨解决.题目给出了某个时间段的温度改变曲线这个模型.其中第(1)小题事实上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差.老师应引导学生视察思索:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”,可依据前面所学的三角函数图象干脆写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决详细问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,∴A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.∵·=14-6,∴ω=.将x=6,y=10代入上式,解得φ=.综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].点评:本例中所给出的一段图象事实上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提示学生留意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度改变状况,因此应当特殊留意自变量的改变范围,这点往往被学生忽视掉.例2函数y=|sinx|的一个单调增区间是()A.(,)B.(,)C.(π,)D.(,2π)答案:C例3如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.假如在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?活动:如图2本例所用地理学问、物理学问较多,综合性比较强,需调动相关学科的学问来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟识实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系.图2首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.依据地理学问,能够被太阳直射到的地区为南、北回来线之间的地带,图形如图3,由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系:h0=htanθ.由地理学问知,在北京地区,太阳直射北回来线时物体的影子最短,直射南回来线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回来线时的状况.图3解:如图3,A、B、C分别为太阳直射北回来线、赤道、南回来线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回来线的状况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC.依据太阳高度角的定义,有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′,所以MC＝=≈2.000h0,即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.点评:本例是探讨楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题干脆抽象为与三角函数有关的简洁函数模型,然后依据所得的函数模型解决问题.要干脆依据图2来建立函数模型,学生会有肯定困难,而解决这一困难的关键是联系相关学问,画出图3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有肯定的实际应用价值.教学中,老师可以在这道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究.变式训练某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？图4解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,依据以上数据,所以他应选3层以上.四、课堂小结1.本节课学习了三个层次的三角函数模型的应用,即依据图象建立解析式,依据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简洁函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2.实际问题的背景往往比较困难,而且须要综合应用多学科的学问才能解决它.因此,在应用数学学问解决实际问题时,应当留意从困难的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科学问来帮助理解问题.五、作业1.图5表示的是电流I与时间t的函数关系图5I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象.(1)依据图象写出I=Asin(ωx+φ)的解析式;(2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t在随意一段s的时间内电流I能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?解:(1)由图知A=300,第一个零点为(－,0),其次个零点为(,0),∴ω·(－)+φ=0,ω·+φ=π.解得ω=100π,φ=,∴I=300sin(100πt+).(2)依题意有T≤,即≤,∴ω≥200π.故ωmin=629.2.搜集、归纳、分类现实生活中周期改变的情境模型.解:如以下两例:①人体内部的周期性节律改变和个人的习惯性的生理改变,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽有爱护身体的作用,但限制动物的生长、发育