2024-2025学年高中数学第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用跟踪训练含解析新人教A版选修2-3

PAGE回来分析的基本思想及其初步应用[A组学业达标]1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是()A．角度和它的余弦值B．正方形的边长和面积C．正n边形的边数和内角度数和D．人的年龄和身高解析：函数关系就是一种变量之间的确定性的关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cosθ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高．故选D.答案：D2．设一个线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时()A.eq\o(y,\s\up6(^))平均增加1.5个单位B.eq\o(y,\s\up6(^))平均增加2个单位C.eq\o(y,\s\up6(^))平均削减1.5个单位D.eq\o(y,\s\up6(^))平均削减2个单位解析：由线性回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2－1.5x中x的系数为－1.5，知C项正确．答案：C3．有下列数据：x123y35.9912.01下列四个函数中，模拟效果最好的为()A．y＝3×2x－1 B．y＝log2xC．y＝3x D．y＝x2解析：当x＝1,2,3时，分别代入求y值，离y最近的值模拟效果最好，可知A模拟效果最好．答案：A4．四名同学依据各自的样本数据探讨变量x，y之间的相关关系，并求得回来直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－2.756x＋7.325.②y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝3.476x＋5.648③y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.226x－6.578④y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝8.967x＋8.163其中肯定不正确的结论的序号是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：依据题意，依次分析4个结论：对于①，y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－2.756x＋7.325，此结论正确，线性回来方程符合负相关的特征；对于②，y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝3.476x＋5.648，此结论错误，由线性回来方程知，此两变量的关系是正相关；对于③，y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.226x－6.578，此结论错误，由线性回来方程知，此两变量的关系是负相关；对于④，y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝8.967x＋8.163，此结论正确，线性回来方程符合正相关的特征；故②③肯定错误．答案：B5．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080依据上表，利用最小二乘法得它们的回来直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，据此模型来预料当x＝20时，y的估计值为________．解析：由已知得eq\o(x,\s\up6(－))＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝54，则(5,54)满意回来直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝1.5，因此eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋1.5，当x＝20时eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5×20＋1.5＝211.5.答案：211.56．如图是x和y的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．解析：去掉D(3,10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线旁边，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大．答案：D(3,10)7．在探讨两个变量的相关关系时，视察散点图发觉样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的四周，令z＝lny，求得回来直线方程为eq\o(z,\s\up6(^))＝0.25x－2.58，则该模型的回来方程为____________________．解析：由z＝lny，eq\o(z,\s\up6(^))＝0.25x－2.58，得lneq\o(y,\s\up6(^))＝0.25x－2.58，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.25x－2.58.故该模型的回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.25x－2.58.答案：eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.25x－2.588．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x/万元8.28.610.011.311.9支出y/万元6.27.58.08.59.8依据上表可得回来直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝0.76，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).据此估计，求社区一户年收入为15万元的家庭的年支出．解析：由题意可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8)＝8，可得eq\o(a,\s\up6(^))＝8－0.76×10＝0.4.∴回来直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76x＋0.4.把x＝15代入可得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8.故社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为11.8万元．9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求线性回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝－20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；(2)预料在今后的销售中，销量与单价仍旧听从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解析：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9,6)＝8.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，∵eq\o(b,\s\up6(^))＝－20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝80＋20×8.5＝250，∴线性回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250；(2)设工厂获得的利润为L元，则L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(33,4)))2＋361.25，∴该产品的单价应定为8.25元，工厂获得的利润最大．[B组实力提升]10．对于给定的样本点所建立的模型A和模型B，它们的残差平方和分别是a1，a2，R2的值分别为b1，b2，下列说法正确的是()A．若a1＜a2，则b1＜b2，A的拟合效果更好B．若a1＜a2，则b1＜b2，B的拟合效果更好C．若a1＜a2，则b1＞b2，A的拟合效果更好D．若a1＜a2，则b1＞b2，B的拟合效果更好解析：由残差平方和以及R2的定义式可得若a1＜a2，则b1＞b2，A的拟合效果更好．答案：C11．近10年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位：亿元)数据如下：工资总额x/亿元23.827.631.632.433.734.943.252.863.873.4社会商品零售总额y/亿元41.451.861.767.968.777.595.9137.4155.0175.0建立社会商品零售总额y与职工工资总额x的线性回来方程是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝2.7991x－27.248552B.eq\o(y,\s\up6(^))＝2.7991x－23.548452C.eq\o(y,\s\up6(^))＝2.6992x－23.749352D.eq\o(y,\s\up6(^))＝2.8992x－23.749452解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝41.72，eq\o(y,\s\up6(－))＝93.23，代入验证可知B选项正确．答案：B12．已知方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－82.71是依据女高校生的身高预报她的体重的回来方程，其中x的单位是cm，eq\o(y,\s\up6(^))的单位是kg，那么针对某个体(160,53)的残差是________．解析：将x＝160代入eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－82.71，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×160－82.71＝53.29，所以残差eq\o(e,\s\up6(^))＝y－eq\o(y,\s\up6(^))＝53－53.29＝－0.29.答案：－0.2913．已知一个线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，x∈{1,5,7,13,19}，则eq\o(y,\s\up6(－))＝________.解析：∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋5＋7＋13＋19,5)＝9，且eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，∴eq\o(y,\s\up6(－))＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.514．假设关于某种设备的运用年限x(年)与所支出的修理费用y(万元)有如表统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0已知eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3.eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)).(2)x与y具有线性相关关系，求出线性回来方程．(3)估计运用年限为10年时，修理费用约是多少？解析：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝5.(2)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝1.23，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝5－1.23×4＝0.08.所以线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08.(3)当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计运用年限为10年时，修理费用约为12.38万元．15．菜农定期运用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时须要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的统计表：x12345y5854392910(1)令w＝x2，利用给出的参考数据求出y关于w的回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))w＋eq\o(a,\s\up6(^)).(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))精确到0.1)参考数据：eq\i\su(i＝1,5,w)i＝55，eq\i\su(i＝1,5,)(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝－751，eq\i\su(i＝1,5,)(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))2＝374，其中wi＝xeq\o\al(2,i)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,w)i.(2)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量不高于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计至少须要用多少千克的清水清洗1千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据eq\r(5)≈2.24)附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回来直线eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小