2024-2025学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.1.3基本初等函数的导数学案含解析新人教B版选择性必修第三册1

PAGE6.1.3基本初等函数的导数新版课程标准学业水平要求1.能依据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=QUOTE,y=QUOTE的导数2.能利用给出的基本初等函数的导数公式,求简洁函数的导数3.会运用导数公式表1.借助教材实例了解利用定义求函数的导数.(数学运算)2.驾驭基本初等函数的导数公式,并会利用公式求简洁函数的导数.(数学运算)3.能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题.(数学运算)必备学问·素养奠基1.导函数一般地,假如函数y=f(x)在其定义域内的每一个点x都可导,则称f(x)可导,此时,对定义域内的每一个值x,都对应一个确定的导数f′(x),于是,在f(x)的定义域内,f′(x)是一个函数,这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数,记作:f′(x)(或y′,y′x),即f′(x)=y′=y′x=QUOTE.2.几个常用函数的导数函数f(x)=C,其中C是常数f(x)=xf(x)=x2f(x)=x3f(x)=QUOTEf(x)=QUOTE导数f′(x)=0f′(x)=1f′(x)=2xf′(x)=3x2f′(x)=-QUOTEf′(x)=QUOTE3.常用函数的导数公式,其中C,α,a均为常数,a>0,且a≠1函数导数函数导数f(x)=Cf′(x)=0f(x)=axf′(x)=axlnaf(x)=xαf′(x)=αxα-1f(x)=exf′(x)=exf(x)=sinxf′(x)=cosxf(x)=logaxf′(x)=QUOTEf(x)=cosxf′(x)=-sinxf(x)=lnxf′(x)=QUOTE(1)函数f(x)=ax的导数与函数f(x)=ex的导数之间有什么关系?提示:f(x)=ex是底数为e的指数函数,是特别的指数函数,所以其导数f′(x)=ex也是f′(x)=axlna当a=e时的特别状况.(2)函数f(x)=logax与f(x)=lnx的导数之间有何关系?提示:f(x)=lnx是f(x)=logax的一个特例,f(x)=lnx的导数也是f(x)=logax的导数的特例.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)(sinx)′=-cosx. ()(2)QUOTE′=QUOTE. ()(3)(log5x)′=QUOTE. ()(4)(lnx)′=QUOTE. ()提示:(1)×.(sinx)′=cosx.(2)×.QUOTE′=(x-1)′=-x-2=-QUOTE.(3)×.(log5x)′=QUOTE.(4)√.2.已知f(x)=x2,则f′(3)等于 ()A.0B.2xC.6D.9【解析】选C.因为f(x)=x2,所以f′(x)=2x,所以f′(3)=6.关键实力·素养形成类型一利用导数公式计算导数【典例】1.f(x)=a3(a>0,a≠1),则f′(2)= ()A.8B.12C.8ln3D.02.已知f(x)=QUOTE,则f′(1)= ()A.1 B.-1 C.3 D.-33.求下列函数的导数.(1)y=x6. (2)y=2x. (3)y=log3x. (4)y=QUOTE.【思维·引】运用基本初等函数的导数公式.【解析】1.选D.f(x)=a3(a>0,a≠1)是常数函数,所以f′(x)=0.所以f′(2)=0.2.选D.f(x)=QUOTE=x-3,所以f′(x)=-3x-4,所以f′(1)=-3.3.(1)y′=(x6)′=6x5.(2)y′=(2x)′=2xln2.(3)y′=(log3x)′=QUOTE.(4)y′=QUOTE′=(x-2)′=-2x-3.【内化·悟】运用导数公式求导需留意什么问题?提示:仔细审题,确定函数类型,精确选择公式计算.【类题·通】运用基本初等函数的导数公式求导的留意事项(1)对于简洁的函数,干脆套用公式;(2)对于较为困难,不能干脆套用公式的,可先把题中函数恒等变形为基本初等函数,再求导.【习练·破】1.已知函数f(x)=cosQUOTE,则f′(x)= ()A.sinQUOTEB.-sinQUOTEC.cosQUOTED.0【解析】选D.f(x)=cosQUOTE=-QUOTE,所以f′(x)=0.2.已知f(x)=QUOTE,则f′QUOTE=________.

【解析】因为f(x)=QUOTE,所以f′(x)=QUOTE,所以f′QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【加练·固】若函数f(x)=QUOTE,则f′(1)= ()A.0B.-QUOTEC.1D.QUOTE【解析】选B.因为f(x)=QUOTE,所以f′(x)=-QUOTE,f′(1)=-QUOTE.类型二导数公式的应用【典例】1.曲线y=QUOTE在点QUOTE处的切线方程为 ()A.4x-4QUOTEy+2QUOTE-1=0B.4x-4y+1=0C.4QUOTEx-4y+2-QUOTE=0D.4x+4y-3=02.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=QUOTE(x>0)上点P处的切线垂直,则点P处的切线方程为________.

【思维·引】1.求函数y=QUOTE在x=QUOTE处的导数,即为切线的斜率.2.先求函数y=ex在x=0的导数,依题意求出函数y=QUOTE(x>0)上点P处的导数,从而求出点P的坐标.【解析】1.选B.由于y=QUOTE,所以y′=QUOTE,于是y′QUOTE=1,所以曲线在点QUOTE处的切线的斜率等于1,切线方程为4x-4y+1=0.2.由题意知,y′=ex,曲线在点(0,1)处的斜率k1=e0=1,设P(m,n),y=QUOTE(x>0)的导数为y′=-QUOTE(x>0),曲线y=QUOTE(x>0)在点P处的切线斜率k2=-QUOTE(m>0),由题意知k1k2=-1,所以k2=-1,由此易得m=1,n=1,即点P的坐标为(1,1),k2=-1.点P处的切线方程为x+y-2=0.答案:x+y-2=0【内化·悟】应用导数公式求切线方程的关键是什么?提示:确定切点,求函数在切点处的导数,即切线的斜率.【类题·通】利用导数的几何意义解决切线问题的两种状况(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.(2)假如已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.【习练·破】(2024·全国Ⅰ卷)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为()A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+1【解题指南】求得函数f(x)的导数f′(x),计算出f(1)和f′(1)的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可.【解析】选B.因为f(x)=x4-2x3,所以f′(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f′(1)=-2,因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.【加练·固】函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有________条. ()

A.1B.2C.多于两个D.不能确定【解析】选B.因为f′(x)=3x2,所以令3x2=1,得x=±QUOTE.所以可得切点坐标为QUOTE和QUOTE.所以f(x)=x3有两条斜率为1的切线.课堂检测·素养达标1.下列结论不正确的是 ()A.若y=3,则y′=0B.若y=QUOTE,则y′=-QUOTEC.若y=-QUOTE,则y′=-QUOTED.若y=3x,则y′=3【解析】选B.y′=QUOTE′=(QUOTE)′=-QUOTE=-QUOTE.2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是 ()A.1B.0C.2D.QUOTE【解析】选D.因为y′=QUOTE,所以y′x=2=QUOTE,故图象在x=2处的切线斜率为QUOTE.3.若y=sinx,则y′QUOTE= ()A.QUOTE