吉林省吉林市2024−2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案

吉林省吉林市2024−2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若全集，则（

）A． B． C． D．2．下列各命题中，真命题是（

）A． B．C． D．3．“”是“函数在上单调递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x应为（

）A．10m B．15m C．20m D．25m5．已知奇函数，当时，（m为常数），则（

）A．1 B．2 C． D．6．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（

）A． B． C． D．7．已知实数a，b，满足恒成立，则的最小值为（

）A．2 B．0 C．1 D．48．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，下列说法正确的是（

）A． B． C． D．10．已知函数图象经过点，则下列结论正确的有（

）A．为偶函数B．为单调递增函数C．若，则D．若，则11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．已知函数，下列说法中正确的是（

）A．是偶函数B．在上的值域是C．在上是增函数D．三、填空题（本大题共3小题）12．计算：.13．已知函数（且）的图象恒过定点，则.14．已知函数的值域为，则实数的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知幂函数，且的图像关于原点对称．(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围．16．已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集，：，：.(1)求集合，集合；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.17．一片森林原来面积为2021万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？18．已知函数(且)是定义在上的奇函数.(1)求实数的值；(2)若且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围19．“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，．(1)求的值；(2)设函数．（ⅰ）证明：函数的图像关于点对称；（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．

参考答案1．【答案】C【详解】由，得，而，所以.故选：C2．【答案】C【详解】对于选项A,,即或,故A不正确；对于选项B,当时,,故B不正确；对于选项D,为无理数,故D不正确；对于选项C,当时,,故C为真命题,故选C3．【答案】A【详解】因为函数的图象开口向上，对称轴为，若函数在上单调递减，等价于，显然是的真子集，所以“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件.故选：A.4．【答案】C【详解】设矩形花园的宽为ym，则，即，矩形花园的面积，其中，故当m时，面积最大.故选：C5．【答案】C【详解】依题意是奇函数，由于时，，所以，所以时，，所以.故选：C6．【答案】B【详解】解：当容器是圆柱时，容积V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满足条件；由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小，∴A、C不满足条件，而B满足条件.故选：B．7．【答案】A【详解】，所以，因为函数单调递增，所以，即.故选：A．8．【答案】C【详解】因为函数的定义域为，满足，且当时，，当，时，，则，当，时，，则，当，时，，则，作出函数的大致图象，对任意，都有，设的最大值为，则，所以，解得或，结合图象知m的最大值为，即的取值范围是.故选：C.9．【答案】ABD【详解】A选项，因为，所以，A正确；B选项，因为在R上单调递增，故，B正确；C选项，，不等式两边同时乘以得，，C错误；D选项，因为，所以，不等式两边同除以得，，D正确.故选：ABD10．【答案】BCD【分析】根据函数图象经过点，得到，定义域为，然后逐项判断.【详解】解：因为函数图象经过点，所以，解得，则，定义域为，定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，易知为单调递增函数，所以当时，，作出函数的图象，如图所示：

由图象知：，所以当时，，故选BCD.11．【答案】ABD【详解】对于A，的定义域为R，又，所以是偶函数，故A选项正确；对于B，，当时，，此时，，所以在的值域是，故B选项正确；对于C，因为，所以在上不是增函数，故C选项不正确；对于D，因为恒成立，所以，故D选项正确．故选：ABD12．【答案】【详解】解：.故答案为：13．【答案】3【详解】根据指数函数过定点的知识可知，解得，所以.14．【答案】【详解】解：对于函数，则，当且仅当时取等号，且函数在上单调递减，在上单调递增，对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，令，解得或，所以与的两个交点分别为、，则函数与的图象如下所示：当时，当时，当时，显然，此时函数的值域不为，不符合题意；当时，当时，当时，此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意；当时，在时，即，此时的值域为，符合题意，当时，当时，当时，此时，即，此时函数的值域为，符合题意；综上可得.故答案为：15．【答案】(1)(2)或【详解】（1）函数为幂函数，，解得或，当时，是偶函数，关于轴对称，舍去；当时，是奇函数，关于原点对称，；（2）明显在上单调递增，对于，有，解得或16．【答案】(1)，(2)【详解】（1）因为，∴，即，解得，∴，∵（），∴，解得或，∴.（2）∵是的充分不必要条件，∴，，令，则，∴且等号不同时成立，解得，∴实数的取值范围是.17．【答案】（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年．【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为，则，解得，所以每年砍伐面积的百分比为；（2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，则，又，则，，,所以到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）设今后最多还能砍伐年，则，，，．所以今后最多还能砍伐15年.答：（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年．18．【答案】(1)2；(2).【详解】（1）由是上的奇函数，得，解得，此时，显然，即是奇函数，所以.（2）由（1）知，，由，得，而且，解得，函数都是上的增函数，因此在上单调递增，不等式，依题意，，，函数在上单调递增，则当时，，因此，解得，所以实数的取值范围是.19．【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）．【详解】（1）因为函数的图像关于点对称，则，令，可得．（2）（ⅰ）证明：由，得，所以函数的图像关于对称．（ⅱ），则在上单调递增，所以的值域为，设在上的值域为A，对任意，总存在，使得成立，则，当时，，函数图象开口向上，对称轴为，且，当，即，函数在上单调递增，由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，所以，所以，