湖南省名校大联考2024−2025学年高二上学期10月月考 数学试题含答案

湖南省名校大联考2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则的面积最大为（

）A．1 B． C．2 D．3．设，直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若函数为偶函数，则（

）A． B．0 C．1 D．35．已知点为直线上任意一点，则的最小值是（

）A． B．2 C． D．6．如图，在异面直线上分别取点和，使，且，若，则线段的长为（

）

A． B． C． D．7．已知点为椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B．4 C． D．8．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署．如图是2018—2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是（

）

A．从2018年开始，中国海洋生产总值逐年增大B．从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年C．这6年中国海洋生产总值的极差为15122D．这6年中国海洋生产总值的80%分位数是9462810．已知圆与圆相交于两点（点在第一象限），则（

）A．直线的方程是B．四点不共圆C．圆的过点的切线方程为D．11．在正方体中，点满足，其中，则下列说法正确的是（

）A．若在同一球面上，则B．若平面，则C．若点到四点的距离相等，则D．若平面，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线在轴上的截距为1，则.13．已知，则.14．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线的方程为，直线经过点和.(1)若，求的值；(2)若当变化时，总过定点，求.16．已知的内角的对边分别为，且.(1)求；(2)若的面积为，求.17．已知圆，点关于直线的对称点为.(1)求的方程；(2)若与圆相交于两点，圆心到的距离为，圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在劣弧上，求圆的半径的最大值.18．如图，在三棱锥中，分别是棱，上的动点（不含端点），且.(1)证明：平面平面.(2)设，则当为何值时，的长度最小？(3)当的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值.19．已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点.(1)求的方程.(2)过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为.（i）证明：直线与的斜率之积为定值；（ii）当的面积最大时，求直线的方程.

参考答案1．【答案】D【详解】由可得，故对应的点为，位于第四象限，故选：D2．【答案】B【详解】由题可知椭圆的焦点在轴上，，因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以，如图所示，当点A与椭圆的上顶点或下顶点重合时，的面积最大，此时的最大面积为，故选：B.3．【答案】A【详解】因为直线，当时，，此时，即可以推出，当时，，解得或，又时，，此时，所以推不出，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.4．【答案】B【详解】因为函数为偶函数，所以，所以，解得，经检验满足题意，故选：B.5．【答案】C【详解】点为直线上任意一点，又的几何意义为直线上的点到的距离，故最小值为到直线的距离，即最小值为故选：C．6．【答案】C【详解】如图，过作，过作于，连接，因为，所以，又，，面，所以面，又面，所以，又易知，所以，又，所以，在中，，所以，在中，，，所以，又，所以，

故选：C.7．【答案】D【详解】由题可设，则点到直线的距离为，其中，所以当时，最小，最小值为.故选：D.8．【答案】D【详解】如图连接,则由题可知，∴，，，∴，在中,,,在中,故选：D.9．【答案】BD【详解】对于A，根据条形图数据可以看到2020年较2019年海洋生产总值是下降的，故A错误；对于B，2019年海洋生产总值年增长率是，2020年海洋生产总值年增长率是，2021年海洋生产总值年增长率是，2022年海洋生产总值年增长率是，2023年海洋生产总值年增长率是，故年增长率最大的是2021年，故B正确；对于C，这6年中国海洋生产总值的极差为，故C错误；对于D，将这6年的海洋生产总值按照从小到大排列80010，83415，89415，90385，94628，98537，又，所以这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628，故D正确.故选：BD.10．【答案】AC【详解】对于选项A，因为圆与圆，两圆方程相减得到，即直线的方程是，所以选项A正确，对于选项B，由和，解得或，即，，又，所以中点为，则，又，所以到四点距离相等，即四共圆，所以选项B错误，对于选项C，由选项B知，所以，得到圆的过点的切线方程为，整理得到，所以选项C正确，对于选项D，因为，，在中，由余弦定理得，所以选项D错误，故选：AC.11．【答案】BCD【详解】因为点满足，所以点在线段上(不包含点).对于A，若在同一球面上，则此球为正方体的外接球，所以与重合，所以，故A错误;对于B，如图1，设的中点为，连接，则平面与平面的交线为直线，要使平面，则需，则为的中点，此时，故B正确;对于C，点到四点的距离相等，则为正方体外接球的球心，即的中点，此时，故正确;对于D，如图2，设正方形的中心为，连接，与交于点，连接易证，所以，所以是上靠近的三等分点，假设正方体的边长，则,如图所示，在平面中，建立如图所示的平面直角坐标系，则,所以,因为，所以，若平面，面，则，由对称性易知，则，从而是上靠近的三等分点，此时，故D正确.故选：BCD.12．【答案】【详解】因为直线，令，得到，由题有，解得，故答案为：.13．【答案】/【详解】,故答案为：.14．【答案】9【详解】令，则．由题意可得圆是关于点，的阿波罗尼斯圆，且，设点坐标为，则，整理得，由题意得该圆的方程为，即所以，解得，所以点的坐标为，所以，当时，此时最小，最小值为，因此当时，的值最小为，故答案为：9

15．【答案】(1)或.(2)【详解】（1）直线经过点和,所以，所以直线的斜率为，因为直线的斜率为，,所以,解得或.（2）直线的方程为可以改写为,由，解得，所以总过定点,根据两点间的距离公式,16．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得到，又，，得到，即，所以，得到，又，所以，所以，解得.（2）因为，由（1）知，所以，由正弦定理，得到，又，所以，又的面积为，所以，整理得到，解得.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为点关于直线的对称点为，所以，得到，又易知中点为，则，解得，所以直线的方程为.（2）因为圆的圆心为，由题有，解得或，当时，圆，不合题意，所以，圆，即，设，由，消得到，所以，设圆的圆心为，半径为，又圆与圆相切，切点在劣弧上，则，得到，又易知，所以当时，圆的半径最大，最大值为.18．【答案】(1)证明见解析(2)时，的长度最小(3)【详解】（1）由于又平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）作交于，连接，由于平面，故平面，平面，故，，故，，故又易知是等腰直角三角形，由余弦定理可得，故，故当时，此时的最小值为.（3）由于，故，以为坐标原点，以所在的直线分别为和轴，以过点垂直与平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，当时，分别为的中点，则，，所以，设平面的法向量为，则，即，取，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量为，设平面与平面的所成角为，则，