河南省新乡市原阳县2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

河南省新乡市原阳县2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k＝（

）A．4 B．C．5 D．3．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．4．若圆：与圆：相切，则（

）A．9 B．10 C．11 D．9或115．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（

）A． B． C． D．6．如图，棱长为1的正方体，中M，N点，分别是线段，的中点，记E是线段的中点，则点E到面的距离为（

）A． B． C． D．7．已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（

）A． B． C． D．8．棱长为2的菱形中，，将沿对角线翻折，使到的位置，得到三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（

）A．三棱锥的体积的最大值为 B．C．存在某个位置，使得 D．存在某个位置，使得面二、多选题（本大题共3小题）9．以下四个命题正确的有（

）A．直线与直线的距离为B．直线l过定点，点和到直线l距离相等，则直线l的方程为C．点到直线的距离为D．已知，则“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件10．下列说法正确的是（

）A．在四面体中，若，则四点共面B．若是四面体的底面三角形的重心，则C．已知平行六面体的棱长均为，且，则对角线D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为11．离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，在椭圆中，，，，分别是椭圆的左、右顶点和上、下顶点，，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则下列选项中，能使椭圆是“黄金椭圆”的有（

）A．轴且 B．C．四边形的内切圆过 D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知椭圆C：，则椭圆的短轴长为．13．已知，过定点M的动直线与过定点N的动直线相交于点P，则的最大值是．14．已知一张纸上面有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C，则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为．四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在正方体中，E为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．16．圆C过点和，圆心C在直线上．(1)求圆C的标准方程(2)直线l经过点，且被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程17．已知O为坐标原点，是椭圆C：的左焦点，点P是椭圆的上顶点，以点P为圆心且过的圆恰好与直线相切．(1)求椭圆C的方程(2)斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，BD是的平分线，且，二面角的大小为60°．

(1)若E是棱PC的中点，求证：平面PAD(2)求平面PAB与平面PCD所成的二面角的夹角的余弦值19．已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于两点．

(1)若坐标原点O到直线的距离为1，求直线的方程；(2)如图所示，已知点，一条斜率为的直线交圆于两点，连接试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．

参考答案1．【答案】D【分析】先求斜率，再利用可得倾斜角.【详解】设直线倾斜角为由得，所以，又，解得.故选：D.2．【答案】D【分析】根据两平面垂直得到两法向量垂直，进而得到方程，求出答案.【详解】∵，∴，∴，解得.故选：D3．【答案】B【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B4．【答案】D【详解】圆：的圆心为，半径，圆：的圆心为，半径，所以，因为两圆相切，则或，即或.故选：D5．【答案】C【详解】一束光线从出发，经直线反射,与交于点P,由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上，设,则,,故光线从A到B所经过的最短路程是.故选：C.6．【答案】D【详解】如图，以D点为坐标原点，所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系.则，，设平面的法向量为，则，令，则，因为，所以，又平面，所以面，故与到平面的距离相等，设点到平面的距离为，则，故点E到面的距离为.故选：D7．【答案】A【分析】设，据题意可求出点的轨迹，联立方程求出交点，进而求出弦长.【详解】设，则，，因为，所以，整理得，即，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，由得或，故点的轨迹与圆的两交点坐标分别为或，所以点的轨迹与圆相交的弦长等于.故选：A8．【答案】C【详解】对于A中，当平面平面时，此时点到平面的距离最大，此时三棱锥的体积取得最大值，取的中点，连接，则，因为平面平面，且平面平面，所以平面平面，又由正三角形的边长为，可得，所以三棱锥的体积为，所以A不正确；对于B中，在中，因为，所以为等腰三角形，所以，所以B不正确；对于C中，当，取的中点，连接，因为，所以，又因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，所以C正确.对于D中，若面，且平面，可得，因为与不垂直，所以不存在点，使得面，所以D不正确.故选：C.9．【答案】ACD【分析】选项A根据平行直线的距离公式求解即可；选项B分类讨论直线l斜率是否存在，斜率不存在时判断是否符合题意，斜率存在时列方程即可求得直线l的方程；选项C根据点到直线的距离公式求解即可；选项D根据两直线垂直得到，求出a的值后进行判断即可.【详解】对于选项A，，所以两直线的距离为，故A正确；对于选项B，当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，此时点和到直线l距离分别为3和6，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即，因为点和到直线l距离相等，所以，解得或，所以直线l的方程为或，故B错误；对于选项C，点到直线的距离为，故C正确；对于选项D，因为直线与直线垂直，所以，解得或，所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：ACD10．【答案】BCD【详解】对于A，，当时，四点不共面，A错误；对于B，当为的重心时，，，整理可得：，B正确；对于C，，，，C正确；对于D，由题意知：，设，则，，解得：，向量在基底下的坐标为，D正确.故选：BCD.11．【答案】CD【详解】A选项，由题意得，，中，令得，因为，所以，其中，，故，所以，故，所以离心率为，A错误；B选项，，即，故，离心率，B错误；C选项，直线的方程为，即，因为四边形的内切圆过，所以，即，因为，所以，方程两边同除以得，解得或，当时，（负值舍去），当时，（舍去），负值舍去，C正确；D选项，，显然两直线斜率均存在，故，即，即，因为，所以，方程两边同除以得，解得，负值舍去，D正确.故选：CD12．【答案】【详解】因为C：，所以，所以令得，所以短轴长为.故答案为：2.13．【答案】4【详解】直线的方程变形为，由，得，所以，动直线过定点，同理可知，动直线过定点，由题意可知，且为与的交点，所以，由勾股定理可得，由重要不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.故答案为：.14．【答案】6【分析】先用定义法求出折痕与的交点M的轨迹方程为：，再求出曲线C上点到圆心O的距离最大值，进而求出曲线C上的点到圆O上的点的最大距离.【详解】以OA的中点G为坐标原点，OA所在直线为x轴，垂直OA为y轴建立平面直角坐标系，可知，，设折痕与和分别交于M，N两点，则MN⊥，连接MA，所以，所以，故所有折痕与的交点M的轨迹为以O，A为焦点，4为长轴的椭圆，故椭圆方程为：，设曲线C上点坐标为，则，当时，取得最大值，最大值为2，故曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为2+4=6.故答案为：615．【答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）由正方体的性质可知，面，因面，则，又，，面.∴面，又面，则.同理，又，平面.∴平面（2）解法一：以A为原点，AD、AB、分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为a，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，∴，设直线与平面所成角为θ，则，故直线与平面所成角的正弦值为．解法二：设正方体的棱长为，则，，，，由余弦定理知，，∴，∴，设点到平面的距离为h，∵，∴，设直线与平面所成角为θ，则．又，则直线与平面所成角的正弦值等于直线与平面所成角的正弦值故直线与平面所成角的正弦值为．16．【答案】(1)(2)或【详解】（1）由题，AB的中点坐标为，直线斜率为.则AB中垂线方程斜率为，又过点，则AB中垂线方程为，联立，知.则.∴圆C的标准方程是.（2）若直线l的斜率不存在，则直线l：，其到圆心距离为1，则相应弦长，满足题意；若直线l的斜率存在，设直线l：，设其到圆心距离为.则，即圆心C到直线l的距离为1.由点到直线距离公式，，，则直线l：综上，直线l：或17．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知得，，则，∴椭圆C的方程为；（2）设，，直线l：联立方程，得∵直线l交椭圆C于A，B两点∴，得，，∴弦长，又点O到直线l的距离∴当，即时取得等号∴.18．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取CD中点F，连接BF，EF∵∴，则而是的平分线，则，从而，则，BF不在平面PAD内，平面PAD，则平面PAD，E，F分别是PC，CD的中点，则，EF不在平面PAD内，平面PAD，则平面PAD，又，平面,∴平面平面PAD，又平面,∴平面PAD；

（2）因为，所以，又面面ABCD，面面，面ABCD，所以面PAD，又面PAD，所以，则是二面角的平面角，即，是等边三角形，取中点，则,又面面ABCD，面面，面PAD，所以面ABCD，如图以为原点，以过点与平行的直线为轴，以为轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，在中，,则,所以,则，所以，设平面PAB的一个法向量为，则，得，令，得，则设平面的PCD一个法向量