河北省唐山市2024−2025学年高二上学期10月月考 数学试题含答案

河北省唐山市2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的一个方向向量是（

）A． B． C． D．2．如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（

）

A． B．C． D．3．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（

）A． B． C． D．4．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（

）A． B．C． D．6．已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（

）A． B．C． D．7．已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（

）A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线C．上的点到的距离均为 D．是两条平行直线8．已知直线：与直线：交于点Px0,y0，则的最大值为（

）A．4 B．8 C．32 D．64二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线，互相平行，且，之间的距离为，则（

）A． B． C．3 D．510．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数（，且）的点的轨迹是圆．若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（

）A．点的轨迹围成区域的面积为B．点的轨迹关于直线对称C．点到原点的距离的最大值为6D．面积的最大值为11．如图，在长方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（

）A．直线平面B．三棱锥的体积为C．三棱锥的外接球的表面积为D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线和直线垂直，则实数.13．设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为.14．如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．求过两直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程．(1)过点；(2)和直线垂直．16．平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？17．已知动点M与两个定点，的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．18．已知为任意实数，当变化时，方程．(1)此方程表示什么图形？图形有什么特点？(2)求点与此方程所表示的图形的距离的最大值，并求出此时的值．19．如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．

参考答案1．【答案】A【解析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，故选：A.2．【答案】A【详解】，，，则．故选：A．3．【答案】C【详解】直线的方程为，设直线的倾斜角为，当时，，②当时，直线的斜率，由于或，所以,,，所以，综上所述：；故选：C．4．【答案】A【详解】，即交点为，因为交点在第一象限，所以.故选：A5．【答案】A【详解】因为圆C的圆心在x轴上，故设圆的标准方程,又经过，两点，所以，解得，所以圆的标准方程.故选：A.6．【答案】D【详解】由圆的方程为，可得圆的标准方程为，所以，解得，因为点在圆外，可得，整理得，解得或，综上可得，实数的取值范围是.故选：D.7．【答案】C【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，故可将点代入坐标，即可得轨迹，结合选项即可得出正确答案.【详解】设，由，则，由在直线上，故，化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行，上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.故选C.8．【答案】D【详解】由题知：直线恒过定点.直线化简为：，当时，x=6，直线恒过点.当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则.当时，，，，则.综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且.因为直线与直线交于点，所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为，且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径，因为表示圆上的点到原点距离的平方，设，则，所以的最大值为64.故选：D.9．【答案】AC【详解】由，解得，满足．的方程为，有，则，解得或，故．故选：AC．10．【答案】ABD【详解】设动点，则，，由，即，所以，所以，所以动点的轨迹方程为，所以点的轨迹是圆且圆心，半径为，对于A：点的轨迹区域面积，故A正确；对于B，圆心在直线上，故点的轨迹关于直线对称，B正确，对于C，,故点到原点的距离的最大值为,C错误，对于D，又，所以，而，则的最大值为．D正确，故选：ABD11．【答案】ABD【详解】对于A，由长方体性质可得，，平面，平面，平面，同理，平面，又平面，且，所以平面平面，又平面，平面.故A正确；

对于B，由A选项，平面，所以点到平面的距离和点到平面的距离相等，则.故B正确；对于C，三棱锥的外接球即长方体的外接球，设外接球半径为r，所以，所以外接球的表面积为.故C错误；对于D，因为平面，连接，，则直线与平面所成角即，在中，，当最小时，最大，，此时，，所以直线与平面所成角正弦值的最大值为.故D正确.故选：ABD.

12．【答案】【详解】由于，所以，解得，所以的值为.故答案为：13．【答案】12【解析】由平面向量的数量积公式，可得的解析式；再由是圆上的动点，可得，的取值范围；从而求得的最大值．【详解】是圆上的动点，且，，，，，由，得，且，，的最大值为：12故答案为：．14．【答案】【详解】因为平面平面，平面平面，所以平面，所以两两垂直.过点M作，垂足分别为G，H，连接，易证.因为，所以以B为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以当，的长最小，且最小值为．故答案为：．15．【答案】(1)(2)【详解】（1）由解得，，由两点式直线方程得：，化简得：；（2）∵与直线垂直，∴直线斜率，由点斜式直线方程得：，化简得；16．【答案】四点在同一个圆上（证明见解析）【详解】设过三点的圆的一般方程为.将三点代入得：.所以圆的一般方程为.将点代入得：，满足方程.所以四点在同一个圆上.17．【答案】，以为圆心2为半径的圆【详解】设点.则，化简得：为以为圆心2为半径的圆.18．【答案】(1)答案见解析(2)距离的最大值为，此时【详解】（1），解得，故当变化时，方程表示过直线和直线的交点，除直线以外的所有直线，包括直线．（2）由于到的距离为，故当过和点的直线与所给方程表示的图形垂直时，此时距离最大，且最大值为,此时,故的斜率为，故，解得19．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，