高一数学专项复习：一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（基础篇）

第二章一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（基础篇）

【人教A版2019】

考试时间：120分钟；满分：150分

姓名：班级：考号：

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性

较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！

选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（2023秋•甘肃酒泉•高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带

品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm,且体积不超过72000cm3,设携带品外部尺寸长、宽、高分别

记为a,b,c（单位：cm）,这个规定用数学关系式可表示为（）

A.a+b+c<130且abc<72000B.a+b+c>130且abc>72000

C.a+b+c<130且abc<72000D.a+b+c>130且abc>72000

2.（5分）（2023秋・江苏常州•高一校考期末）下列说法不E确的是（）

A.若a〉6>0,则2>也

aa+m

B.若etc?>be2,则a>b

C.若a>b>0,贝！Ja+iAbH—

D.若a>b>0,贝！J/+2b3>3ab2

3.（5分）（2023春・福建泉州•高二校联考期末）若a>0,h>0,a+b=2,则下列不等式恒成立的是

（）

A.ab>y[2B.Va+VF<V2

C.—I—23D.a2+b2>2

ab

4.（5分）（2023•江苏南通•模拟预测）已知a—be[0,l],a+bE[2,4],贝一2b的取值范围是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

5.（5分）（2023春・山东青岛•高二统考期末）已知正实数满足2a+45—ab=0,贝南+2b的最小值

为（）

A.16V2B.16C.8V2D.8

6.（5分）（2023•江苏•高一假期作业）若不等式加一%—0>0的解集为{x|—2vx<l},则函数>=加一x—c

的图象为（）

7.（5分）（2023•全国•高三专题练习）关于x的不等式a/+bx+c<0的解集为（-3,1）,则不等式b/++

c<0的解集为（）

A.（1,2）B.（-1,2）C.D.

8.（5分）（2023•高一课时练习）已知对任意租e[1,3],—瓶％一1v—租+5恒成立，则实数x的取

值范围是（）

A.修，+8）B.（―8,J）U（等，+8）

c.（f）D.（等，竽）

多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（2023春・山东滨州•高二统考期末）已知实数a,6,c,则下列命题中正确的是（）

A.若a>b,贝!Jac>be

B.若则a>力

C.若a<Z）<0,则小>ab>b2

D.若6>a>0,则黑>W

10.（5分）（2023•黑龙江佳木斯•校考模拟预测）已知关于x的不等式a/+版+c>0的解集为（-叫-2）U

（3,+8）,则下列选项中正确的是（）

A.a<0

B.不等式b%+c>0的解集是{%[%<-6}

C.a+b+c>0

D.不等式c/-/?X+Gt<0的解集为（一8,一今U（|,+oo）

11.（5分）（2023春・浙江温州•高二统考学业考试）关于尤的不等式。式2+（1—2a2）久-2a<0的解集中

恰有3个正整数解，则。的值可以为（）

37

A.-1B.-C.-D.2

24

12.（5分）（2023・广东东莞・统考模拟预测）下列说法正确的有（）

A.若％<j则2%+士的最大值是—1

22X-1

B.若X6R,则代町*+7二的最小值为2

VX2+4

C.若a,b,c均为正实数，且a+b+c=2,则上+2+工的最小值是4

a+bb+ca+c

D.已知a>0,b>0,且［+|=」则好-1）最小值是3+2V2

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（2023春•吉林长春•高一校考阶段练习）设a、b为实数，比较两式的值的大小：a2+62

2a—2b—2（用符号>,2,<,三或=填入划线部分）.

14.（5分）（2023•全国•高三专题练习）己知二次函数的两个零点分别是0和5,图象开口向上，且/（%）

在区间［-1,4］上的最大值为12,则函数/（X）的解析式为.

15.（5分）（2023•全国•高一假期作业）某地每年销售木材约20万nA每立方米的价格为2400元.为了减

少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少曰万n?,为了既减少了木材消

耗又保证税金收入每年不少于900万元，贝亚的取值范围是.

16.（5分）（2023•全国•高三专题练习）已知xN4,y>4,且x+4y—Ky=0,若不等式aW:r+y恒成

立，则a的最大值为.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）（2023春•黑龙江齐齐哈尔•高一校联考开学考试）不等关系是数学中一种最基本的数量关系，

生活中随处可见.例如：“已知6克糖水中含有a克糖（b>a>0）,再添加机克糖（巾>0）（假设全部溶

解），糖水变甜了.”请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.

18.(12分)(2023•高一课时练习)判断下列说法的正误，并说明理由:

(l)y=3刀+苫的最小值是12；

(2)当x>0时，2光+专22口不=2#等号成立当且仅当2x=*，即久=小时，2支+专取到最小值.

19.(12分)(2023•高一课时练习)证明下列不等式

(1)bc-ad>0,bd>0,求证：工

bd

2u2

(2)已知。>0,b>0,求证：—n4—Na+b

ba

20.(12分)(2023春・湖南长沙•高二统考期末)设函数f(久)=a/—2(a+l)x+6(a,beR).

(1)若不等式f(x)<0的解集为(1,2),求a,6的值；

(2)若b=4,求不等式/'(X)>0的解集.

21.(12分)(2023春•上海嘉定•高一统考阶段练习)己知a,6是实数.

(1)求证：a2+b2N2a-2b-2,并指出等号成立的条件；

(2)若ab=1,求a?+4b2的最小值.

22.(12分)(2022秋.四川南充.高一统考期末)已知函数/(无)=夫(々>0).

(1)若不等式/(%)-m>0的解集为{%[%<-2或%>-1},若不等式租％2+%+km>。的解集;

(2)若女6^,2],使得/(%)>]成立，求实数k的取值范围.

第二章一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷(基础篇)

参考答案与试题解析

选择题(共8小题，满分40分，每小题5分)

1.(5分)(2023秋•甘肃酒泉•高一统考期末)铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带

品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm,且体积不超过72000cm3,设携带品外部尺寸长、宽、高分别

记为a,b,c(单位：cm),这个规定用数学关系式可表示为()

A.a+b+c<130且abc<72000B.a+b+c>130且abc>72000

C.a+b+c<130且abc<72000D.a+b+c>130且abc>72000

【解题思路】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”.

【解答过程】由长、宽、高之和不超过130cm得a+6+cW130,由体积不超过72000cm3得abcW72000.

故选：C.

2.(5分)(2023秋.江苏常州.高一校考期末)下列说法不E哪的是()

A.若a>6>0,则2>

aa+m

B.若则a>b

C.若a>b>0,则ad——

ba

D.若a>b>0,贝！J/+2b3>3ab2

【解题思路】对于A,举例判断，对于B,利用不等式的性质判断，对于CD,作差判断

【解答过程】对于A,若a=2*=1,加=1,贝型=工，竺”=2,此时也〈竺之所以A错误，

a2a+m3aa+m

对于B,由>b/可得cH0,则c2>0,所以由不等式的性质可得a>b,所以B正确，

对于C,因为Q>b>o,所以a—b>0,ab>0,

所以a+AG+£)=a—+A；(ai)+嗟=(a—)(l+£)>0,

所以a+1>b+工，所以C正确，

ba

对于D,因为a>b>0,所以a—b>0,a+2b>0,

所以M+2b3-3ab2=a3-b3+3b2(b—a)=(a—b)(a2+ab+b2)—3b2(a—b)

=(a—b)(a2+ab-2b2>)=(a—fa)2(a+2b)>0,

所以M+2b3>3ab2,所以D正确，

故选：A.

3.（5分）（2023春・福建泉州•高二校联考期末）若Q>0,h>0,a+b=2,则下列不等式恒成立的是

A.ab>y/2B.y/a+Vfe<V2

C.—I—23D.a?+力？>2

ab

【解题思路】根据不等式串逑式而三等WFf史可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等

式可得c错误.

【解答过程】对于选项A：'：ab<（等丫=1，当且仅当a=b时取等号，，A错误；

对于选项B：空也式器J=i,历+次42,；.B错误；

对于选项C：；+=1S+。）（X）=炎+B+£）2-，

因为土|也<3；.C错误；

对于选项D：•••一WJ乎，当且仅当a=b时取等号，

a2+b2>2,D正确；

故选：D.

4.（5分）（2023•江苏南通•模拟预测）已知a—b6[0,l],a+b6[2,4],贝"4a—2b的取值范围是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【解题思路】利用方程组以及不等式的性质计算求解.

【解答过程】设4a—2b=m（_a—b）+n（a+d）=（m+n）a—（m—n）b,

所以｛血+八=、解得｛爪=\

^m—n—2ln=l

所以4a—2b=3（a—b）+（a+b）,

—bG[0,1],a+6e[2,4],

所以3（a-b）e[0,3],4a-2be[2,7],故A,C,D错误.

故选：B.

5.（5分）（2023春・山东青岛•高二统考期末）已知正实数a,b满足2a+46-ab=0,贝l|a+2b的最小值

为（）

A.16V2B.16C.8V2D.8

【解题思路】根据题意，化简2(a+2b)=ab=|-a-2b,结合基本不等式，即可求解.

【解答过程】正实数a,b满足2a+4b-ab=0,

可得2(a+2b)=ab=(-a•2bW之・芦詈y,当且仅当a=2b时，等号成立，

即(a+2bA-16(a+2b)>0,解得a+2b>16,

所以a+2b的最小值为16.

故选：B.

6.(5分)(2023•江苏•高一假期作业)若不等式ar2—x—c>0的解集为{x|—2<x<l},则函数尸4一x-c

【解题思路】由3个二次之间的关系，可得a<0,函数>=泼一》一。的两个零点为—2,1,选出图象.

【解答过程】因为不等式的解集为因一2<x<l},所以a<0,排除C、D；又与坐标轴交点的横坐标为一2,1,

得其图象为B.

故选：B.

7.(5分)(2023•全国•高三专题练习)关于x的不等式a/+bx+c<0的解集为(—3,1),则不等式b/+ax+

c<0的解集为()

A.(1,2)B.(-1,2)C.D.

a>0

-3+1=一£,得到a,b,c的

-3x1=-

{a

关系，代入不等式化简求解.

a>0

-3+1=一展得b=2a,c=-3a,

-3x1=-

{a

则不等式b/+ax+c<0<=>2ax2+ax-3a<0,

即2久2十%—3V0,解得：一|<%V1,

所以不等式的解集是

故选：D.

8.（5分）（2023•高一课时练习）已知对任意m6[1,3],m/—7n比一1〈—7n+5恒成立，则实数x的取

值范围是（）

A.0,+8）B.（―8，F）U（等,+8）

C.（—喈D.（等，竽）

【解题思路】面对含参不等式，利用分离变量法，由于m是已知取值范围的，则单独分离出来，整理成函数，

再根据不等式恒成立，求函数的最小值，可得答案.

【解答过程】对任意m6[L3],不等式_mx—1<—m+5恒成立，

即对任意m£[1,3],m（x2—%+1）<6恒成立，

所以对任意me[1,3],%2—x+1<包恒成立，

m

所以对任意mE[1,3],%2—%+1<f—）=2,

所以/—x+l<2,解得等<x<竽，

故实数x的取值范围是（等，萼）.

故选：D.

多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（2023春•山东滨州•高二统考期末）已知实数a,6,c,则下列命题中正确的是（）

A.若a>b,贝!Jac>be

B.若。。2>儿2,则a>力

C.若a<b<0,则标>ab>b2

D.若6>a>0,则奈>£

【解题思路】根绝不等式的基本性质逐一进行判断，要注意不等式性质成立的条件.

【解答过程】对于选项A,当CW0时，若a>b,则acWbc,错误；

对于选项B,若ac?>be?,故C2>0,则a>b,正确；

对于选项C,若a<b<0,则小—ab=a(a—b)>0,ab—b2=b(a—b)>0,

所以标>ab>b2,正确；

对于选项D---=(a+c)i(*c)=(if

"b+cb(b+c)b(b+c)b

当力,a>0时，b-a>0,但是c的符号与b+c的符号不确定，

所以辛与m大小关系不确定，错误.

b+cb

故选：BC.

10.(5分)(2023•黑龙江佳木斯•校考模拟预测)已知关于x的不等式a/+b%+c>o的解集为(_8,-2)U

(3,+8),则下列选项中正确的是()

A.a<0

B.不等式b%+c>0的解集是{%[%<—6}

C.a+b+c>0

D.不等式c%2-bx+a<0的解集为(一8,-9u(p+oo)

【解题思路】根据给定的解集，用a表示出仇c,再逐项判断作答.

【解答过程】不等式a/+bx+c>0的解集为(一8,-2)U(3,4-00),贝卜2,3是方程a/+ft%+c=0的根，

且a>0,

则—=1,—=—6,a>0,即5=—a,c=-6a,a>0,A错误；

aa

不等式bx+c>0化为—a%—6a>0,解得％<—6,即不等式力％+c>0的解集是{%[%<—6},B正确；

a+b+c=-6QV0,C错误；

不等式c/一方久+口<0化为一6a/+ax+a<0,即6/-%—1>0,解得久<—1或%>|>

所以不等式*-bx+a<。的解集为(一8,一9u(1,+8),D正确.

故选：BD.

11.(5分)(2023春・浙江温州・高二统考学业考试)关于x的不等式a/+(l-2a2)x-2a<0的解集中

恰有3个正整数解，则。的值可以为()

37

A.-1B.-C.-D.2

24

【解题思路】由题意先判断出a>0,写出不等式的解集，由不等式(ax+1)(久-2a)<0的解集中恰有3个

正整数，分析的这3个正整数为1,2,3,计算求解即可.

【解答过程】不等式化简为(ax+l)(x-2a)<0的解集中恰有3个正整数，

当a=0时，不等式化为x<0,则解集中有无数个整数.

当a<0时，不等式(ax+1)0-2a)<0的解集中有无数个正整数，故A错误;

-1-1

所以所以—<

a>0,—a<0,2aa>0,2a

所以不等式的解集为：{x|—(<x<2a},根据。一定属于此集合，

则由不等式(ax+1)(%-2a)<0的解集中恰有3个正整数，

则这3个整数中一定为：1,2,3,

则3<2aW4,解得|<a<2

故a可取;和2,故C,D正确，AB错误；

故选：CD.

12.(5分)(2023•广东东莞•统考模拟预测)下列说法正确的有()

A.若贝U2久+士的最大值是一1

22%-1

B.若XCR,则疗7*+彳另的最小值为2

VX2+4

C.若a,b,c均为正实数，且a+b+c=2,则<+义+二-的最小值是4

D.已知a>0,b>0,且5+£=1,则a(b—1)最小值是3+2/

【解题思路】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断.注意“1”的妙用及等号能

否取到.

【解答过程】对于A,由万〈刑得1—2%>0,

由基本不等式可得y=2x+盘=-[(1-2比)+言]+1<-2-2久)•总+1=-1,

当且仅当1—2久='即％=0时取等号，

所以y=2久+的最大值为—1,故A正确；

ZX—1

对于B,V%2+4+~^=>2+4,=2,

3+4qVX2+4

当且仅当用壬=+时等号成立，但此时X无解，等号无法取得,

VX2+4

则最小值不为2,故B错误；

对于&由a+b+c=2可得熹+亳+吉=[(京+念+书)(a+b+b+c+a+c)

1b+c4(。+b)4(。+c)b+ca+ca+b

=­[6H--------H---------1—----------1-----------1--------H---------]

4a+bb+cb+cc+aa+Dc+a

”(6+2性.1^+2性0竺£+2住.空)=4,

4'ya+bb+c7b+cc+a，a+bc+ay

当且仅当b+c=2(a+b)=2(c+a)且Q+b+c=2,即a=0,b=1,c=l时，等号成立，

由于a,b,c均为正实数，则等号取不到，故C错误；

对于D,由工+-=1可得ab=2a+力，

ab

代入到a(b—l)=ab—a=a+b=(a+/?)(：+：)=3+g+与之3+2J：•署=3+2A/2,

当且仅当2=当即。=&+13=2+鱼时，等号成立，故D正确.

ab

故选：AD.

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.(5分)(2023春•吉林长春•高一校考阶段练习)设a、b为实数，比较两式的值的大小：a?+炉？

2a-2b-2(用符号>,2,<,3或=填入划线部分).

【解题思路】利用作差比较法求得正确答案.

【解答过程】因为02+炉-(2a-2b-2)=(a-1)2+(6+1/？0,a=1,b=-1时等号成立，

所以a?+炉>2a—2b—2.

故答案为：>.

14.(5分)(2023•全国•高三专题练习)已知二次函数/(久)的两个零点分别是。和5,图象开口向上，且/(久)

在区间[-1,4]上的最大值为12,则函数上」的解析式为“1=2x2—io%.

【解题思路】根据函数特征设/(X)=ax(x-5),(a>0)然后判断并求解f(-1)=6a=12,a=2从而解得函

数解析式.

【解答过程】设/(%)=ax(x-5),(a>0)其对称轴为直线x=又f⑺在区间上的最大值为12,

所以/1)—6a—12,a—2,所以/(x)=2x2—10x.

故答案为：/(%)=2x2-10x.

15.(5分)(2023•全国•高一假期作业)某地每年销售木材约20万nR每立方米的价格为2400元.为了减

少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少:万n?,为了既减少了木材消

耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是｛tl3WtW5).

【解题思路】根据题意列式，解不等式可得结果.

【解答过程】设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，

则y=2400(20-11)Xt%=60(8t-t2),

令y2900,BP60(8t-t2)>900,解得39tW5.

故答案为：{t|3WtW5}.

16.(5分)(2023•全国•高三专题练习)已知x24,y>4,且x+4y—xy=0,若不等式aWx+y恒成

立，则a的最大值为竺.

3

【解题思路】根据％+4y-%y=0对l+y进行消元后，转化为求单变量函数的最小值问题进行求解.

【解答过程】当％=4时，%+4y—=4+4y—4y=0不成立，所以％W4.

由％+4y—xy=0得y=士.

因为无之4,yN4,所以N4,解得4V%W—f即0V%—4W

X-433

所以a<%+y=%+—=%+x-4+4=x+1+—=%—4+—+5，

x-4x-4x-4x-4

令力=x-4,则0<力W9于是aWt+—4~5.

令/(t)=t+：+5,0<t<1,则aWf(t)min.

由对勾函数的图象知，f(t)在(0用上单调递减，故f(t)min=/G)T+3+5=g.

所以awg,即a的最大值为g.

故答案为：y.

四.解答题(共6小题，满分70分)

17.(10分)(2023春•黑龙江齐齐哈尔•高一校联考开学考试)不等关系是数学中一种最基本的数量关系，

生活中随处可见.例如：“已知b克糖水中含有。克糖(6>a>0)，再添加加克糖(6>0)(假设全部溶

解)，糖水变甜了.”请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.

【解题思路】根据糖水变甜了可以得到不等式产使用作差法比较大小即可.

b+mb

【解答过程】。克糖水中有a克糖，则糖的质量与糖水的质量的比为三

若再添加力克糖，则糖的质量与糖水的质量的比为产

b+m

根据生活常识可知，加糖后的糖水更甜，所以糖在糖水中占的“比例”就越大，因此产>%

b+mb

所以这一事实表示为一个不等式是：产>>a>0,血>0)。

b+mb

证明过程如下:

a+ma_b^a+m)-a(b+m)m(b-a')

b+mbb(匕+m)b(b+m)9

*.*h>a>0,h-a>0,

为+….书>0,

・a+ma、八・a+ma

>•-b-+---m--------b->U,••--b--+--m-->—b.

18.（12分）（2023•高一课时练习）判断下列说法的正误，并说明理由:

（l）y=3久+苫的最小值是12；

（2）当%>0时，2x+专22加/=2Jj,等号成立当且仅当2x=专，即久=小时，2支+昼取到最小值.

【解题思路】（1）分％>0、x<0讨论，利用基本不等式可得答案；

（2）利用基本不等式可得答案.

【解答过程】（1）错误，理由如下，

由y=3%+或得%。0,

当久>0时，y=3%+?N2JsxxY=12,当且仅当3汽=苫即％—2等号成立；

当汽<0时，y=3x+—=—（―3x4-—）<-2Isxx—=—12,当且仅当—3x="■即久=—2等号成立;

X\-X/yjX-X

故错误；

（2）错误，理由如下，

当x>0时，2x+母=%+%+J23^&=3,当且仅当久=J即x=1等号成立，故错误.

19.（12分）（2023・高一课时练习）证明下列不等式

(1)若bc-ad^O,bd>0,求证：--<—

bd

n2h2

(2)已知40,b>0,求证：T++6

【解题思路】（1）运用作差比较法得詈-詈W°,由此可得证;

（2）作差，判断符号得+9）-（a+b）20,由此可得证.

【解答过程】证明：⑴因为竽一誓=3铲^号券又儿一姐°,bd>。,

rrr\ldd-bc,八crruCL+b,C+d

所以HWO,所以丁Mr；

(2)因为+?)-(a+b)=。3+/蓼-2=(a+『：

又a>0,b>0,

所以(a+b)(a-b¥n0,

ab

所以三+”之a+b.

20.(12分)(2023春・湖南长沙•高二统考期末)设函数f(x)=a/—2(a+l)x+6(a,beR).

(1)若不等式/(%)<0的解集为(1,2),求a,6的值；

(2)若b=4,求不等式y(x)>。的解集.

【解题思路】(1)由不等式的解转换为方程的解，利用韦达定理求解；

(2)6=4时，不等式可化为(ax-2)(%-2)>0,讨论a=0,a>0,a<。，分别求出不等式的解集.

【解答过程】(1)函数/'(久)=a/—2(a+1)尤+b(a,beR),

由不等式f(x)<0的解集为(1,2),得a>0,

且1和2是方程a/_2(a+l)x+b=。的两根；

[1+2=

则《/，解得a=2,6=4

1x2=-

ka

(2)b=4时，不等式为a/_2(a4-l)x+4>0,

可化为(a%-2)(%-2)>0,则

当a=0时，不等式为—2(%-