立体几何中的折叠和探索性问题-高考数学题型归纳与方法总结（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展27立体几何中的折叠和探索性问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

1.折叠问题

解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪

些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。

一般步骤：

①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；

②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；

③利用判定定理或性质定理进行证明。

2.探索性问题

探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生

的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析

法、特殊化法和向量法来解决.一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏

性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的。

二、题型精讲精练

【典例1］如图所示的五边形SB/。。中4BCD是矩形，3c=2/3,S3=SC,沿3C折叠成四棱锥S-43CD,

（1）在四棱锥S-/3CD中，可以满足条件①5/=而；②cosNSBM=旦;③sin/SAW="，请从中任选

53

两个作为补充条件，证明：侧面SBC,底面/BCD；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计

分.）

（2）在（1）的条件下求直线SC与平面&4。所成角的正弦值.

【分析】（1）选条件①②，利用勾股定理得到进而得到皿，底面N3C。，利用面面垂直的判定

定理即可得证；

选条件①③，利用正弦定理得到SMLK4,进而得到SML底面/BCD,利用面面垂直的判定定理即可得证;

选条件②③，利用余弦定理和勾股定理得到进而得到底面/BCD,利用面面垂直的判定定

理即可得证；

（2）由（1）可得Ml/，平面/3C。，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）证明：（1）方案一：选条件①②.

因为在四棱锥S-/3CD中SB=SC,点M是3C的中点，SM=2,所以SNL3C,

又因为在RSS5M中，cosZSBM=—f所以跳f=l，

5

又因为48c。是矩形，BC=2AB,所以8Af=/B=l,AM=也，

由&4=而2河=0,加=2可得弘2=AM2+SM2,所以SM_L4W,

则由MW_LBC,SMLAM,AM[yBC=M,/M,8Cu平面488,所以SN_L平面48CD,又因为

侧面SBC,所以侧面SBC1底面ABCD；

方案二：选条件①③.

因为在四棱锥S-NBCD中S3=SC,点M是3c的中点，SM=2,所以

又因为在△SZM中，SA=y/6,sinZSAM=—,SM=2,

3

„.,V6_2

所以由正弦定理得：即sinZSMA娓,所以s,mASMA=1,BPASMA=-,^\^SMLMA,

sinASMAsinZSAM--2

3

则由SM_LBC,SMLAM,AM[\BC=M,/M,8Cu平面/BCD,所以SM_L平面48cD,又因为皿u

侧面SBC,所以侧面SBC1底面ABCD；

方案三：选条件②③.

因为在四棱锥S-/BCD中S3=SC,点M是3C的中点，SM=2,所以SA/L3C,

又因为在RLSBM■中，cosZSBM=—,所以倒f=l,

5

又因为48cZ）是矩形，BC=2AB,所以=43=1,41/=0，

又因为在△SZM中，sinZSAM^—,则cosNS4M=且，

33

设S4=X,SM2=SA2+AM2-ISA-AMCOSZSAM,

所以有3Y-2&X-6=0,解得玉=&或（舍），所以“=而，

由&1=n,团1/=板,9=2可得&4：!=AM2+SM2,所以SM1AM,

则由Ml/_L8C,SMVAM,AM^\BC=M,AM,BC^^ABCD,所以SM_L平面/BCD,又因为皿u

侧面SBC,所以侧面SBC1底面ABCD；

（2）在（1）条件下知SW_L平面48cD,且〃。_L/M,

故如图所示：以M为坐标原点，以所在直线为x轴，以M）所在直线为J轴，以顺所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系，

则S（0,0,2）,/（亚,0,0）,£＞（0,72,0）,C

\7

贝!|而二（0,后2）,53=（72,0-2）,

n-SD=V2y-2z=0-/i~\

设平面SAD的法向量为〃=（x,y,z）,贝小_L,贝！]"="仓1,

n-SA=42x-2z=0''

元=[-（,孚-2

22

n-SC2

设直线SC与平面S4）所成角为0,贝（JsinO='4

M-\sc5

2

直线SC与平面SAD所成角的正弦值为-.

【典例2］如图，在四棱锥尸-/BCD中，平面尸/。_1平面NBC。，ABHDC,PA=PD,ABAD=45°,

AD=2y/2,48=4,DC=1,尸3=26

p

⑴求四棱锥P-43。。的体积；

(2)在线段网上是否存在点“，使得CM//平面我。？若存在，求桨的值；若不存在，请说明理由.

BP

【分析】(1)先证明PG，平面ABCD,则PG为四棱锥P-A8CD的高，再应用体积公式VP-ABCD=^PG-SABCDx

(2)先过点C作CN//AD交AB于点N,过点N作2W//4P交PB于点M,再证平面P4D//平面CMN,最

后得出比值成立即可.

【详解】(1)取AD的中点G,连接PG,GB,如图所示.

在人尸/。中，PA=PD,G是AD的中点，所以尸G_L4D.

又平面P4D_L平面ABCD,平面尸4Dc平面48CD=4D,尸Gu平面PAD,

所以尸G,平面ABCD,即PG为四棱锥尸-4BC。的高.

又G3u平面ABCD,所以PG_LGB.

在A/GB中，由余弦定理得

2/O

GB2=AG2+AB2-2AG-AB-cosZGAB=^y+42-2X42X4X^-=1Q,故G8=VHL

在△PGB中，PB=2y/3,GB=屈,PG±GB,所以尸C=也.

me11(1+4)X25A/2

所以/ABCD=~PG-SABCD=一乂6R公——'—='•

(2)过点C作CN//4D交AB于点N,则2二，

NB3

PM1

过点N作M///4尸交PB于点M,连接CM,贝（1大=彳.

MB3

又因为CN//N。，/Ou平面PAD,CN<Z平面PAD,所以CN//平面PAD.

因为MNI/PA,P/u平面PAD,ACVtZ平面PAD,所以跖V〃平面PAD.

又CNcMN=N,CN,MNu平面CNM,所以平面R4D//平面CMN.

又CMu平面CMN,所以CM//平面PAD.

所以在PB上存在点M,使得CW//平面PAD,且桨=：.

BP4

【题型训练-刷模拟】

1.折叠问题

一、解答题

1.（2023・四川泸州•泸县五中校考三模）如图1,在梯形NBCO中，ABHCD,且ZB=2CD=4,AABC是

等腰直角三角形，其中8C为斜边.若把A/C。沿/C边折叠到△NCP的位置，使平面平面48C,如

图2.

（2）若E为棱8C的中点，求点8到平面R4E的距离.

2.（2023・全国•高三专题练习）如图，四边形M1BC中，08c是等腰直角三角形，N/C8=9（F,AAMC是

边长为2的正三角形，以NC为折痕，将△3C向一方折叠到△D/C的位置，使。点在平面N8C内的射

影在48上，再将AM4c向另一方折叠到AE4c的位置，使平面ENCL平面4BC,形成几何体。4BCE.

（1）若点尸为3C的中点，求证：。尸〃平面E4C；

（2）求平面/CD与平面8CE所成角的正弦值.

3.（2023•全国•高三专题练习）如图是矩形48co和以边N2为直径的半圆组成的平面图形，将此图形沿N2

折叠，使平面/BCD垂直于半圆所在的平面，若点E是折后图形中半圆O上异于A,B的点

7T

⑵若AB=2AD=2,且异面直线4E和。。所成的角为:，求三棱锥D-/CE的体积.

4.（2023•全国•高三专题练习）如图1,在边长为4的正方形48CD中，点尸、0分别是边/2、3c的中点,

将△4PD、ACDQ分别沿DP、折叠，使/、C两点重合于点连碗；PQ,得到图2所示几何体.

(1)求证：PMLDQ.

FM

⑵在线段皿上是否存在一点R使.//平面物，如果存在，求正的值，如果不存在，说明理由.

5.(2023•河南濮阳•濮阳一高校考模拟预测)如图①，在平面四边形48co中，AB=AD=2,BC=CD=6，

/BAD=60。.将△BCD沿着8。折叠，使得点C到达点C'的位置，且二面角/-如-。'为直二面角，如图

②.已知尸,G,尸分别是"C',4D,43的中点，£是棱48上的点，且C'E与平面/皿所成角的正切值为友.

(1)证明：平面尸G尸〃平面C'D8；

(2)求四棱锥尸-G尸ED的体积.

6.(2023•全国•高三专题练习)如图1,在直角梯形EF8C中，BF\\CE,EC1EF,EF=1,FB=2EC=3.

现沿平行于E尸的折叠，使得£D_LDC且5c工平面如图2所示.

(1)求的长度；

(2)求二面角下-协-C的大小.

7.(2023•新疆阿克苏•校考一模)如图甲所示的正方形44'44中，AAt=U,4B=Ag=3,3C=昂G=4,

对角线44：分别交84，CG于点P,Q,将正方形沿8月，CG折叠使得/4与重合，构成如图

乙所示的三棱柱N3C-4月£•

⑴若点M在棱4C上，且蜀/=亍，证明：9〃平面4PQ；

(2)求平面NP。与平面4尸。夹角的余弦值.

8.(2023春•四川南充•高三闽中中学校考阶段练习)如图甲所示的正方形44/4中，

N4=12，AB=&B、=3,BC=BG=4,对角线NN；分别交3综CC】于点尸,。，将正方形9/4沿班|<0折叠

使得AA,与重合，构成如图乙所示的三棱柱ABC-4AG.

甲乙

⑴若点M在棱4C上，且/〃=亍，证明：8M〃平面/P。；

(2)求二面角A-PQ-A的余弦值.

9.(2023•上海奉贤•校考模拟预测)如图，将边长为2的正方形/5CD沿对角线3。折叠，使得平面/8。工

平面CAD,/E_L平面48。，且/£=血.

B

(1)求证：直线EC与平面没有公共点;

⑵求点C到平面BED的距离.

10.(2023・广东深圳•校考二模)如图1所示，等边。的边长为2a,CD是48边上的高，E,尸分别是

AC,8C边的中点.现将沿折叠，如图2所示.

(1)证明：CDYEF；

(2)折叠后若43=a,求二面角/-AD-E的余弦值.

11.(2023秋•四川成都•高三校考阶段练习)在图1中，为等腰直角三角形，£)5=90°,AB=2日,

A/CD为等边三角形，。为/C边的中点，£在8C边上，且EC=2BE,沿/C将ANCA进行折叠，使点。

运动到点厂的位置，如图2,连接尸。，FB,FE,使得£8=4.

(1)证明：平面48c.

(2)求二面角E-FA-C的余弦值.

12.(2023秋•四川成都•高三成都七中校考开学考试)已知矩形/8CO中，48=2,BC=2^,M,N分别

为AD,2C中点，。为对角线/C,AD交点，如图1所示.现将和AOCD剪去，并将剩下的部分按如

下方式折叠：沿将△/ODA5OC折叠，并使。/与。8重合，OC与。。重合，连接MN,得到由平面

OAM,OBN,ODM,OCN围成的无盖几何体，如图2所示.

(1)求证：MV_L平面NOC；

(2)求此多面体体积%的最大值.

13.(2023•全国•高三专题练习)如图(1)所示，在“3C中，48=4后，BC=26,ZS=60°,DE垂直

平分现将V/OE沿DE折起，使得二面角8大小为60。，得到如图(2)所示的空间几何体(折

叠后点A记作点P)

图(2)

⑴求点。到面PEC的距离;

(2)求四棱锥P-BCED外接球的体积;

(3)点。为一动点，满足而=2而(0<2<1),当直线8。与平面PEC所成角最大时，试确定点。的位置.

14.(2023・全国•高三专题练习)如图1所示，在边长为12的正方形中，点5C在线段4r上，且

AB=3,BC=4,^BBJ!AAX,分别交N/；、于点片、P,作CCJ/44,分别交/国；、4v于点C。Q,

将该正方形沿3鸟,CG折叠，使得⑷4与44重合，构成如图2所示的三棱柱/BC—4耳G.

（I）在三棱柱/BC—4gG中，求证：A31平面8。。耳；

（2）试判断直线AQ是否与平面4G尸平行，并说明理由.

2.探索性问题

一、解答题

1.（2023・全国•高三专题练习）已知正四棱台/BCD-48cl。的体积为电1,其中/8=24耳=4.

3

⑴求侧棱与底面/BCD所成的角；

（2）在线段CG上是否存在一点尸，使得族，4。？若存在请确定点尸的位置；若不存在，请说明理由.

2.（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）如图，在五棱锥P-中，BE!/CD,

AB=BE=EA=PD+DE=PC+CB,ZDEB=ZCBE=60°.

p

(1)证明：BE1AP-,

PDPD

⑵若平面尸C。，平面45CQE,平面尸CS,平面尸£5,探索：-刀是否为定值？若为定值，请求出F的值;

AEAE

若不是定值，请说明理由.

3.(2023秋•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)如图，在五面体4BCD所中，四边形A8CD是边长为

4的正方形，EFHAD,平面平面48CD,且8C=2£尸，AE=AF,点G是昉的中点.

⑴证明：/6_1平面/88；

MC

(2)线段NC上是否存在一点使MG//平面若存在，求出=7的值；若不存在，说明理由.

4.(2023秋•浙江•高三浙江省春晖中学校联考阶段练习)已知四棱锥中，四边形N3CD为等腰梯

形，ABHDC,AB=4,AD=DC-2,BE=4,V/DE1为等边三角形.

(1)求证：平面ADEJ_平面48cD；

(2)是否存在一点歹，满足砺=4旗(0<4<1),使直线4尸与平面所成的角为60。？若存在，求出2的

值；若不存在，请说明理由.

5.(2023秋•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考开学考试)如图，在四棱锥P-NBCD中，底面48。是菱形,

ZABC=60°,三角形尸为正三角形，且侧面底面/3CD.瓦M分别为线段“民PD的中点.

p

M

/：£匕-

/I/、

B

(1)求证：尸8//平面/CW；

(2)在棱8上是否存在点G,使得平面GZM,平面/BCD?若存在，请求出岩的值；若不存在，请说明

理由.

6.(2023秋•江西吉安・高三吉安三中校考开学考试)如图，在四棱锥尸-4BCD中，BD±PC,ZABC=60°,

四边形48。是菱形，PB=6AB=6PA,E是棱尸。上的动点，且丽=4丽.

(1)证明:P4_L平面/BCD.

(2)是否存在实数4,使得平面尸N3与平面/CE所成锐二面角的余弦值是噜？若存在，求出2的值；若不

存在，请说明理由.

7.(2023春・河南信阳•高三信阳高中校考阶段练习)如图，在等腰梯形/BCD中,

AB//CD,AD=DC=1,ZBCD=—,四边形/CEE为矩形，且CFL平面48cD,CF=1.

3

(1)求证：平面8c/;

(2)在线段"上是否存在点“，使得平面M45与平面尸C8所成锐二面角的平面角为。，且满足cos6=，.

若不存在，请说明理由；若存在，求出的长度.

8.（2023・全国•高三专题练习）如图，在三棱锥48c中，平面平面NBC,APBC为等边三角形,

D,£分别为PC,P5的中点，BDLPA,BC=2,AC=\.

⑴求证：ZC_L平面P8C；

（2）在线段ZC上是否存在点尸，使得平面DE厂与平面N8C的夹角为g,若存在，求出C