专题02排列与组合-《2021-2022高二下学期数学新教材提升训练（人教A版2019选择性）》

专题02排列与组合一、单选题1．（2022·浙江·镇海中学高二期末）用1，2，3，4这4个数字可写出（）个没有重复数字的三位数．A．24 B．12 C．81 D．64【答案】A【解析】【分析】由题意，从4个数中选出3个数出来全排列即可.【详解】由题意，从4个数中选出3个数出来全排列，共可写出个三位数.故选：A2．（2021·辽宁营口·高二期末）为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）A．10种 B．12种 C．16种 D．24种【答案】A【解析】【分析】对中心组学习所在的阶段分两种情况讨论得解.【详解】解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有种方法；如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有种方法.综合得不同的安排方案共有10种.故选:A3．（2022·安徽宿州·高二期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有（）A．24种 B．48种 C．72种 D．96种【答案】B【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析区域①、②、⑤和区域③、④的涂色方法，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步进行分析：当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有种涂色的方法；当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、④有2种涂色方法，故共有种涂色的方法.故选：B4．（2022·辽宁沈阳·高二期末）从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数的个数为（）A．48 B．36 C．24 D．18【答案】B【解析】【分析】直接利用乘法分步原理分三步计算即得解.【详解】从中选一个数字，有种方法；从中选两个数字，有种方法；组成无重复数字的三位数，有个.故选：B5．（2022·福建漳州·高二期末）年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有（）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【解析】【分析】分两种情况讨论：两个氧原子相同、两个氧原子不同，分别计算出两种情况下二氧化碳分子的个数，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子共有种；若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有种.由分类加法计数原理可知，由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有种.故选：C.6．（2022·全国·高二）2021年1月10日，是我国设立的第一个“中国人民警察节”，2020年，某省人民群众对公安机关的满意度测评居首位．为感谢公安干警的辛勤付出，6名学生到甲、乙、丙、丁4个值勤岗亭做志愿者，每名学生只去1个值勤岗亭，且每个值勤岗亭均有志愿者值勤．若甲值勤岗亭安排3名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．60种 B．96种 C．120种 D．240种【答案】C【解析】【分析】根据给定条件利用分步乘法计数原理结合排列、组合列式计算作答.【详解】依题意，完成安排方法这件事需要两步：先从6人中任取3人去甲值勤岗亭，有种方法，再将余下3人分别安排到另外3个值勤岗亭，每个值勤岗亭1人，有种方法，由分步乘法计数原理得：(种)，所以不同的安排方法共有120种.故选：C7．（2022·重庆南开中学高二期末）入冬以来，梁老师准备了4个不同的烤火炉，全部分发给楼的三个办公室（每层楼各有一个办公室）.1，2楼的老师反映办公室有点冷，所以1，2楼的每个办公室至少需要1个烤火队，3楼老师表示不要也可以.则梁老师共有多少种分发烤火炉的方法（）A．108 B．36 C．50 D．86【答案】C【解析】【分析】运用分类计数原理，结合组合数定义进行求解即可.【详解】当3楼不要烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：；当3楼需要1个烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：；当3楼需要2个烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：，所以分发烤火炉的方法总数为：，故选：C8．（2022·北京·101中学高二期末）从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在轴上的点有（）A．36个 B．30个 C．25个 D．20个【答案】C【解析】【分析】根据点不在y轴上，分2类根据分类加法计数原理求解.【详解】因为点不在轴上，所以点的横坐标不能为0，分两类考虑，第一类含0且为点的纵坐标，共有个点，第二类坐标不含0的点，共有个点，根据分类加法计数原理可得共有个点.故选：C二、多选题9．（2021·福建安溪·高二期中）2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（）A．所有不同分派方案共种B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共32种【答案】BC【解析】【分析】对于选项A：利用分步计数原理求解判断；对于选项B：按1，1，2分组求解判断；对于选项C：根据每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，分A企业分2人和1人两类求解判断；对于选项D：分企业没有派医生去和派1名医生两类求解判断.【详解】对于选项A：所有不同分派方案共有34种，故错误；对于选项B：若每家企业至少分派1名医生，则有种，故正确；对于选项C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，若A企业分2人，则有种；若A企业分1人，则有种，所以共有种，故正确；对于选项D：若企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共有种，若企业派1名医生则有种，所以共有种，故错误；故选：BC．10．（2021·河北·高碑店市崇德实验中学高二阶段练习）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲乙不相邻的排法种数为72种D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种【答案】ABCD【解析】【分析】对于A利用捆绑法可求，对于B分成甲在左和乙在左两类进行排列，对于C采用插空法求解，对于D按定序问题即解.【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确，对于B，最左端排甲时，有种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有种不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24+18=42种,故正确，对于C，因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，则有种，故正确，对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故正确．故选：ABCD．11．（2022·福建漳州·高二期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（）A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A不正确；对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有种，B正确；对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；对于D，先排“礼”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”，不同排法共有种，D不正确.故选：BC12．（2022·福建·莆田第二十五中学高二期末）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（）A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件利用含有限制条件的组合问题，逐一分析各选项判断作答.【详解】对于A，B，抽1件不合格品有种，再抽2件合格品有种，由分步计数乘法原理知，抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种，A正确，B不正确；对于C，至少有1件是不合格品有两类：1件是不合格品的抽法有种，2件是不合格品的抽法有种，由分类加法计数原理知，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种，C正确；对于D，至少有1件是不合格品的抽法可以用排除法，从100件产品中任意抽出3件有种，抽出3件全是合格品有种，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有()种，D正确.故选：ACD三、填空题13．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）马路上有12盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻两盏灯，那么熄灯的方法共有_______种．【答案】56【解析】【分析】采用插空法可求出.【详解】采用插空法，现将亮的9盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位，在8个空位中任取3个插入熄灭的3盏灯，有种方法.故答案为：56.14．（2020·海南·高二期末）甲、乙、丙、丁个人站成一排合影，若甲和乙不相邻，且丙和丁相邻，则不同的站法有_____种.【答案】4【解析】【分析】根据题意，丙丁看成整体，并且在甲和乙之间，从而得到结果.【详解】∵甲和乙不相邻，且丙和丁相邻，∴丙和丁必在甲和乙之间，∴不同的站法有，故答案为：415．（2021·辽宁·高二阶段练习）将学号为1~6的六名大学生全部安排到4所中学教育实习，若每所中学都有大学生教育实习，且学号为1，2的两名学生要安排在同一所中学，学号为5，6的两名学生不能安排在同一所中学，则不同的安排方法共有______种.【答案】216【解析】【分析】利用分步乘法计数原理，先求出第一步将六名大学生分成4组，要求1、2在同一组，5、6不在同一组的方法，再求出将分好的四组全排列，分配到4所中学的方法，最后相乘即可.【详解】第一步，将六名大学生分成4组，要求1，2在同一组，5，6不在同一组，若分为3，1，1，1的四组，1，2必须在3人组，有种分组方法，若分为2，2，1，1的四组，1，2必须在两人组，有种分组方法，则一共有5+4=9种分组方法；第二步，将分好的四组全排列，分配到4所中学，有种.故总的分配方法有种.故答案为：21616．（2021·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）西湖龙井茶素来有“绿茶皇后”“十大名茶之首”的称号，按照产地品质不同，西湖龙井茶可以分为“狮、龙、云、虎、梅”五个字号．某茶文化活动给西湖龙井茶留出了三个展台的位置，现在从五个字号的产品中任意选择三个字号的茶参加展出活动，如果三个字号中有“狮、梅”，则“狮”字号茶要排在“梅”字号茶前（不一定相邻），则不同的展出方法有_____________种．（用数字作答）【答案】51【解析】【分析】分当选出的字号中没有“狮、梅”，有“狮梅”中的一种，“狮、梅”都有，三种情况讨论分别求解，然后再求和即得.【详解】当选出的字号中没有“狮、梅”时，共有种展出的方法；当选出的字号中有“狮梅”中的一种时，共有种展出的方法；当选出的字号中“狮、梅”都有时，共有种展出的方法,所以共有种不同的展出方法．故答案为：51.四、解答题17．（2022·全国·高二）已知一个两位数中的每个数字都从1，2，3，4中任意选取.(1)如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？(2)如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？【答案】(1)12个(2)16个【解析】【分析】（1）因为数字不允许重复，所以可用排列数公式求解；（2）因为数字允许重复，所以用分步相乘计数原理计算求解即可.(1)因为两位数中的数字不允许重复使用，所以一个两位数相当于从1，2，3，4中任意取2个数的排列，故有个，所以可以得到12个不同的两位数.(2)因为两位数中的数字允许重复使用，所以确定两位数分两步，每步有4种方法，利用分步相乘原理有个，所以可以得到16个不同的两位数.18．（2021·全国·高二课时练习）电视台有个节目准备分天播出，每天播出个，其中某电视剧和某专题报道必须在第一天播出，某谈话节目必须在第二天播出，共有多少种不同的播出方案？【答案】【解析】【分析】确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】第一步，从无限制条件的个节目中选取个连同某电视剧和某专题报道在第一天播出，共有种；第二步，某谈话节目和其他剩余的个节目在第二天播出，有种播出方案.综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案.19．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中取出4个数字，试问：(1)有多少个没有重复数字的排列？(2)能组成多少个没有重复数字的四位数？【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）任取4个数字，然后再排列即可．（2）第一位数字不能为0，故有6种取法，其它3个位置任意，问题得以解决．(1)任取4个数字，然后再排列，故有个排列.(2)第一位数字不能为0，故有6种取法，其它3个位置任意，故有，即能组成720个没有重复数字的四位数.20．（2021·河北·高碑店市崇德实验中学高二阶段练习）在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？【答案】(1)161700种；(2)9506种；(3)9604种.【解析】【分析】(1)根据题意直接利用组合列式计算即可.(2)利用分步计数乘法原理结合组合列式计算即可(3)求出含有1件次品、2件次品的抽法，再利用分类加法计数原理计算作答.(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，即(种)所以有161700种不同的抽法.(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，则(种)，所以抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有9506种.(3)抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，由(2)知，有1件是次品的抽法有种，有2件次品的抽法有种，由分类加法计数原理得：(种)，所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有9604种.21．（2021·辽宁沈阳·高