专题08排列与组合（重难点突破）-2022年春季高二数学下学期讲义（人教A版2019）

专题08排列与组合一、考情分析二、考点梳理【排列】1．排列的概念：从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0个元素的一个排列说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个元素的所有排列的个数叫做从SKIPIF1<0个元素中取出SKIPIF1<0元素的排列数，用符号SKIPIF1<0表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从SKIPIF1<0个不同元素中，任取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号SKIPIF1<0只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：由SKIPIF1<0的意义：假定有排好顺序的2个空位，从SKIPIF1<0个元素SKIPIF1<0中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数SKIPIF1<0．由分步计数原理完成上述填空共有SKIPIF1<0种填法，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0由此，求SKIPIF1<0可以按依次填3个空位来考虑，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0以按依次填SKIPIF1<0个空位来考虑SKIPIF1<0，排列数公式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）说明：（1）公式特征：第一个因数是SKIPIF1<0，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0个因数；（2）全排列：当SKIPIF1<0时即SKIPIF1<0个不同元素全部取出的一个排列全排列数：SKIPIF1<0（叫做n的阶乘） 另外，我们规定0!=1.1组合的概念：一般地，从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0SKIPIF1<0个元素并成一组，叫做从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同【组合】1．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素SKIPIF1<0中取出3个元素的组合数SKIPIF1<0是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数SKIPIF1<0可以求得，故我们可以考察一下SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的关系，如下：组合排列SKIPIF1<0由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数SKIPIF1<0，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有SKIPIF1<0个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有SKIPIF1<0种方法．由分步计数原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．2.推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数SKIPIF1<0，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数SKIPIF1<0；②求每一个组合中m个元素全排列数SKIPIF1<0，根据分步计数原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0．3.组合数的公式：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0规定:SKIPIF1<0.

三、题型突破重难点题型突破1简单的排列问题例1．（2022·全国·高二）某会议结束后，21个会议人员合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，A站在前排正中间位置，B，C两人也站在前排并与A相邻，如果对其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【解析】【分析】先安排A，再排B，C两人，再排余下的人由分步乘法原理可得答案.【详解】先安排A，只有1种选择；再排B，C两人，有种选择；最后排其他人，有种选择．故由分步乘法计数原理可得，不同的排法共有种选择．故选：D.【变式训练11】、（2021·全国·高二课时练习）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】对每个台阶上所站的人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可得结果.【详解】当每个台阶上各站人时有种，当两个人站在同一个台阶上时，有种，综上所述，共有种不同的站法.故答案为：.重难点题型突破2简单的组合问题例2．（2021·上海师大附中高二期中）从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样求出抽取的男女生人数，然后由分步计数原理得出抽取的方法数，再求出总抽取方法数后计算概率．【详解】总体中男女生人数比为，因此抽取的6人中男生数为，女生数为2，所以所求概率为．故选：A．【变式训练21】、8．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）甲､乙､丙三人计划参加学校趣味运动会中的千人迎面接力､五人踏板､足球射门､篮球投篮四个比赛项目，由于时间关系，每个人只能随机选择参加一个项目，则甲､乙､丙三人中恰好两人参加同一个比赛项目的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先分析三人参加项目总的情况数，然后分析甲､乙､丙三人中恰好两人参加同一个比赛项目的的情况数，根据两者的比值求解出对应概率.【详解】由分步乘法计数原理可知，三人参加项目总的情况数为，甲､乙､丙三人中恰好两人参加同一个比赛项目的情况数为，故所求概率为.故选：A.重难点题型突破3注意缺少“至多”或“最少”例3．（2021·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（

）A．484 B．472C．252 D．232【答案】B【解析】【分析】用间接法分析.先求出“从16张卡片中任取3张的所有取法数”，再分析“取出的3张为同一种颜色”和“取出的3张有2张绿色卡片”的取法数，从而可求出答案.【详解】根据题意，不考虑限制，从16张卡片中任取3张，共有种取法，如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况，如果取出的3张有2张绿色卡片，则有种情况，故所求的取法共有种.故选：B.【变式训练31】、（2022·重庆·模拟预测）将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（

）A．90种 B．120种 C．150种 D．180种【答案】A【解析】【分析】由题设知分组方式为人数分别为{1,2,2}，应用排列组合数、部分平均分组求不同的安排方法数.【详解】由题设，将老师按各组人数{1,2,2}分组，∴不同的安排方法有种.故选：A.重难点题型突破4特殊元素优先处理例4．（2021·天津市红桥区教师发展中心高二期末）共五人站成一排，如果必须站在的右边，那么不同的排法有___________种.【答案】【解析】【分析】首先将C、D、E排序，再将作为整体插入队列中的一个空或分别插入队列中的两个空，即可得不同的排法数.【详解】1、将C、D、E排成一列，有种，2、把作为整体插入4个空中，有种，或分别插入4个空中的2个空中，有种，所以共有种.故答案为：60.【变式训练41】、（2022·江苏省天一中学高二期末）某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是___________．【答案】16【解析】【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．【详解】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况；（2）将这个整体与英语全排列，有中顺序，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有种，所以不同的排课方法的种数是种，故答案为：16．【变式训练42】、（2021·全国·高二专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且大于201345的正整数有（

）个.A．478 B．479 C．480 D．481【答案】B【解析】【分析】201345是以2开头的没有重复数字的六位数中最小的一个，所以先算所有没有重复数字的六位数的个数，再用减法即可.【详解】由以1开头的没有重复数字的六位数的个数为，由于201345是以2开头的没有重复数字的六位数中最小的一个，所有的没有重复数字的六位数的个数为故没有重复数字且大于201345的六位数的个数为，故选：B．【点睛】方法点睛：当正面解答情况比较多时，不妨思考其反面.重难点题型突破5相邻问题用捆绑与不相邻问题用插空例5．（2021·湖南师大附中高三阶段练习）某学校为高一年级排周一上午的课表，共5节课，需排语文､数学､英语､生物､地理各一节，要求语文､英语之间恰排1门其它学科，则不同的排法数是（

）A．18 B．26 C．36 D．48【答案】C【解析】【分析】先从剩余的3门学科选1科放到语文､英语之间，再将它们看成一个整体与剩余的2门学科进行排列，再利用分步计数原理即可求解.【详解】分两步如下：（1）将语文､英语之间恰排1门其它学科，并将它们看成一个整体有种；（2）将上面整体和剩余的2门学科进行排列有种；再利用分步计数原理可知共有种排法，故选：C【变式训练51】、（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙不相邻的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数，甲、乙二人不相邻可知有2种方法，进而求得概率.【详解】甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数，甲、乙二人不相邻包含的基本事件个数，甲、乙二人不相邻的概率.故选：B.【变式训练52】、（2021·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理）），，，，五个人站成一排，则和分别站在的两边（可以相邻也可以不相邻）的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出五人站成一排的基本事件总数，再利用分类相加计数原理求出A和C分别站在的两边的基本事件数，即可求出概率.【详解】A和C分别站在B的两边，则B只能在中间3个位置，分类说明：（1）若B站在左2位置，从A，C选一个排在B左侧，剩余的3个人排在B右侧，故有种排法；（2）若B站在3位置，从A，C选一个，从D，E选一个排在B左侧，并排列，剩余的2个人排在B右侧，故有种排法；（3）若B站在右2位置，排法与（1）相同，即有12种排法；所以A和C分别站在B的两边的排法总共有种排法；A，B，C，D，E五个人站成一排有种排法，故A和C分别站在B的两边的概率故选：B【点睛】方法点睛：本题主要考查利用排列求概率，常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.重难点题型突破6排列与组合中平均分问题例6．（2022·全国·高三专题练习（理））将4本不同的书本全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学都分到书的分法有（

）A．12种 B．24种 C．32种 D．36种【答案】D【解析】【分析】将4本不同的书按分成3份，再分给3人即可得解.【详解】依题意，将4本不同的书任取2本为1份，余下两本各1份，分成3份有种分法，再将分得的3份送给甲、乙、丙三位同学，每人1份有种送法，由分步计数乘法原理得：，所以每位同学都分到书的分法有36种.故选：D【变式训练61】、（2021·浙江·高三开学考试）为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣10名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排3个志愿者，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答）【答案】12600【解析】【分析】先将10名志愿者分成（3,3,4）一组，再分配到三个乡村即可求出结果.【详解】依题意，先将10名志愿者分成（3,3,4）一组，再分配到三个乡村，则有种安排方法.故答案为：12600.【点睛】关键点点睛：解排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．重难点题型突破8涂色问题例7．（2019·浙江·）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（

）A．72 B．96 C．108 D．144【答案】B【解析】【分析】对于排列组合的染色问题通常采用分步计数原理，分别为各个区域染色，即可求解.【详解】设四种颜料为，①先涂区域B，有4中填涂方法，不妨设涂颜色1；②再涂区域C，有3中填涂方法，不妨设涂颜色2；③再涂区域