专题72等差数列及其前n项和（真题测试）-2023年高考数学一轮复习知识点讲解真题测试（新教材新高考）

专题7.2等差数列及其前n项和（真题测试）一、单选题1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D2．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C【解析】【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，因为，，可得，可得，又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.故选：C.3．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】C【解析】【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C4．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））数列为等差数列，前项的和为，若，，则当时，的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分析数列的单调性，计算、，即可得出结论.【详解】因为，，则，故数列为递增数列，因为，，且当时，，所以，当时，，所以，满足当时，的最大值为.故选：C.5.（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.6．（2021·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值．【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，，所以.对于，，取数列各项为(，,则，所以n的最大值为11．故选：C．7．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的前项和的性质及等差数列通项公式化简可得.【详解】因为，又，所以，所以，即，设等差数列的公差为，则，所以，又，所以，所以．故选：C.8．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（

）A．若有最大值，则数列的公差小于0B．若，则使的最大的n为18C．若，，则中最大D．若，，则数列中的最小项是第9项【答案】B【解析】【分析】由有最大值可判断A；由，可得，，利用可判断BC；，得，，可判断D.【详解】对于选项A，∵有最大值，∴等差数列一定有负数项，∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；对于选项B，∵，且，∴，，∴，，则使的最大的n为17，故选项B错误；对于选项C，∵，，∴，，故中最大，故选项C正确；对于选项D，∵，，∴，，故数列中的最小项是第9项，故选项D正确.故选：B.二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且，则（

）A．d＜0 B．a10＝0 C．S18＜0 D．S8＜S9【答案】BC【解析】【分析】由，得，判断出A,B选项，再结合，判断C选项，再根据等式性质判断D选项【详解】，，所以B正确又,,,所以A错误，故C正确,故D错误故选：BC10．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）定义为数列的“优值”．已知某数列的“优值”，前n项和为，下列关于数列的描述正确的有（

）A．数列为等差数列B．数列为递增数列C．D．，，成等差数列【答案】ABC【解析】【分析】由新定义可得，利用该递推关系求出数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由已知可得，所以，所以时，，得时，，即时，，当时，由知，满足．所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B正确，所以，所以故，故C正确．，，，，，不是等差数列，故D错误，故选：ABC．11．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列说法正确的是（）A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用化简可得答案；对于B，利用化简可得答案；对于C，利用化简可得答案；对于D，根据可得答案.【详解】对于A，因为为等差数列，所以，即，所以，化简得，所以，故A正确；对于B，因为为等差数列，所以，所以，所以，故B正确；对于C，因为为等差数列，所以，所以，化简得，所以或，故C不正确；对于D，因为，且，所以，所以，所以，所以也为等差数列，且公差为，故D正确.故选：ABD12．（2022·福建南平·三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（

）A． B． C．D．【答案】ABD【解析】【分析】由图观察可知第圈的个点对应的这项的和为0，则，同时第圈的最后一个点对应坐标为，设在第圈，则圈共有个数，可判断前圈共有个数，所在点的坐标为，向前推导，则可判断A，B选项；当时，所在点的坐标为，即可判断C选项；借助与图可知，即项之和，对应点的坐标为，，…，，即可求解判断D选项.【详解】由题，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即，以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0，即，设在第圈，则，由此可知前圈共有个数，故，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故A正确；，故B正确；所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故C错误；，对应点的坐标为，，…，，所以，故D正确.故选：ABD三、填空题13．（2019·全国·高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.【答案】4.【解析】【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.【详解】因，所以，即，所以．14．（2019·江苏·高考真题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.【答案】16.【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得：，解得：，则.15．（2021·福建省华安县第一中学高三期中）已知数列的前n项和为，，（），则的值为________，的值为________.【答案】

99

4950【解析】【分析】利用数列的递推关系可知数列的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，偶数项是首项为，公差为2的等差数列，利用等差数列的通项公式和前项和公式即可求解.【详解】将代入得，由①得②，②①得，所以数列的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，，

，故答案为：99;

4950.16．（2020·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】【解析】【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，当时，.求证：数列是等差数列.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用定义法证明出数列是等差数列.【详解】当时，，因，显然，否则，由此可得，矛盾，两边同时除以，得，而=1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.18．（2019·北京·高考真题（文））设{}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）记{}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；当或者时，取到最小值.19．（2016·全国·高考真题（文））等差数列{}中，.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据等差数列的通项公式及已知条件求，，从而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求数列的前10项和.试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意有.解得.所以的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.当n=1,2,3时，；当n=4,5时，；当n=6,7,8时，；当n=9,10时，.所以数列的前10项和为.20．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.(1)∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；(2)∴21．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知，数列的前n项和为，点在曲线上（）且，.(1)求数列的通项公式；(2)数列的前n项和为，且满足，确定的值使得数列是等差数列.【答案】(1)(2)1【解析】【分析】（1）根据点在曲线上（），得到，即，利用等差数列的定义求解；（2）由（1）化简得到，利用等差数列的定义得到，再利用数列通项与前n项和的关系求解.(1)解：因为，且点在曲线上（），所以，即，所以是以1为首项，以4为公差的等差数列，所以，即；(2)由（1）知：，即为，整理得：，所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，则，即，当时，，若是等差数列，则适合上式，令，得，解得.22．（2021·全国·高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以．由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则．[方法三]：累加法由题意知数列满足．所以，，则．所以，数列的通项公式．（2）[方法一]：奇偶分类讨