重难专题05三角形中的范围与最值问题

专题05三角形中的范围与最值问题【题型归纳目录】题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：与正切有关的最值问题题型七：最大角问题题型八：三角形中的平方问题题型九：等面积法、张角定理【方法技巧与总结】1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围.【典例例题】题型一：周长问题例1．（2023·云南·昆明市第三中学高一期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．(1)求A；(2)从三个条件：①的面积为；②；③中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围．【解析】(1)在中，由得：，又，，即，，又，．(2)选择①：因为，则，得，由余弦定理得，即的周长，因为，当且仅当时等号成立，所以，即的周长的取值范围是．选择②：，因为，，由正弦定理得，，即的周长，因为，则，故，所以，即的周长的取值范围是．选择③：．因为，，由正弦定理得，即的周长，因为，所以，则，即的周长的取值范围是.例2．（2023·重庆·高一阶段练习）已知向量，，函数．(1)求函数在上的值域；(2)若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围．【解析】(1)依题意，，由得，，所以在上的值域为.(2)由得，，，则有，解得，在中，由余弦定理得，，当且仅当时取“=“，即有，又因为，则，因此，所以的周长的取值范围为．题型二：面积问题例3．（2023·贵州黔东南·高一期中）在面积为S的△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求C的值；(2)若ABC为锐角三角形，记，求m的取值范围.【解析】(1)解：在中，由三角形面积公式得，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，又，故.(2)解：因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，因为，所以，故.例4．（2023·浙江·高二阶段练习）在中，角的对边分别为．(1)求角；(2)若点满足，且，求面积的取值范围．【解析】(1)因为，所以，且．(2)，．，．．因为点满足，所以,．例5．（2023·浙江·杭师大附中模拟预测）在中，D的边的中点，．(1)求角C；(2)求面积的取值范围．【解析】(1)因为，所以所以，故，又；所以.(2)在中，由余弦定理可得因为，，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，又，当且仅当时等号成立，所以面积．题型三：长度问题例6．（2023·辽宁·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)设，若的外接圆半径为4，且有最大值，求m的取值范围．【解析】(1)解：由已知及正弦定理得，所以，由余弦定理得，因为，所以．(2)由正弦定理得，所以，其中，，又，所以，若存在最大值，则有解，则，即，所以解得，即m的取值范围是（1，4）．例7．（2023·河南·模拟预测（文））在中，角，，的对边分别为，，．，，．(1)求；(2)求的取值范围．【解析】(1)因为，所以，所以.因为，所以，所以.因为，，由余弦定理得：，解得：.所以.(2)由（1）可知：.而，所以，所以，所以.故的取值范围为.例8．（2023·江苏·高三专题练习）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积.(1)求边c；(2)若为锐角三角形，求a的取值范围.【解析】(1)因为，，所以；因为，所以.(2)在中，由正弦定理，由（1）知，，代入上式得：，因为为锐角三角形，则,所以，所以，所以.题型四：转化为角范围问题例9．（2023·河北秦皇岛·二模）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)求的取值范围.【解析】(1)因为，所以，即.因为，所以.因为，所以.(2)由（1）知.因为，所以，因为，所以，所以，即的取值范围是.例10．（2023·浙江温州·三模）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知.(1)若，求角A的大小；(2)求的取值范围.【解析】(1)由正弦定理得：，∵，∴或，当时，此时，所以舍去，所以.(2)（或者用积化和差公式一步得到）∵，∴，所以A为锐角，又，所以，所以，所以，所以.题型五：倍角问题例11．（2023·安徽·芜湖一中高一期中）的内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为______.【答案】【解析】根据题意得，，故，在中，由正弦定理，得，因，所以，故，所以的取值范围为，故答案为：.例12．（2023·陕西·无高一阶段练习）已知是锐角三角形，若，则的取值范围是_____.【答案】（）【解析】解：，由正弦定理可得：，当为最大角时，，，当为最大角时，，，，可得：，、故，故答案为：．题型六：与正切有关的最值问题例13．（2023·湖南·长郡中学模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：(1)；(2)的取值范围．【解析】(1)因为，所以,因为，，因为.(2)由正弦定理，，因为，所以，所以，所以，所以的取值范围是.例14．（2023·山西吕梁·二模（文））锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，由余弦定理，可得，又由正弦定理，可得，所以，得，又，所以，所以.又，所以，所以.又，且，故，所以.又，所以，得，所以，故选：C.题型七：最大角问题例15．（2023春•海淀区校级期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大”．如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是A． B．1或 C．2或 D．1【解答】解：经过、两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上，设圆心为，则圆的方程为：，对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，当取最大值时，经过，，三点的圆必与轴相切于点，即圆的方程中的值必须满足，解得或．即对应的切点分别为和，而过点，，的圆的半径大于过点，，的圆的半径，，故点为所求，点的横坐标为1，故选：．例16．（2023秋•青羊区校级期中）（理科）、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的一条准线，点在上，的最大值是A． B． C． D．【解答】解：由题意，椭圆中，，、是椭圆的左、右焦点，，不妨取是椭圆的右准线，则方程为：点在上，不妨取设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则正切函数在上单调增，的最大值为，即的最大值是故选：．例17．（2023春•辽宁期末）设的内角，，所对的边长分别为，，，且，则的最大值为A． B． C． D．【解答】解：，结合正弦定理，得，，得，，整理，得，同除以，得，由此可得，、是三角形内角，且与同号，、都是锐角，即，，，，当且仅当，即时，的最大值为．故选：．题型八：三角形中的平方问题例18．（2023秋•河南期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，，．若的平分线与交于点，则A． B． C． D．3【解答】解：因为，所以，因为，所以，因为，，所以，由正弦定理，可得，解得，因为的平分线与交于点，所以，即，所以由，可得，在中，由余弦定理可得．故选：．例19．（2023•洛阳二模）已知的三边分别为，，，若满足，则面积的最大值为A． B． C． D．【解答】解：由三角形面积公式可得：，可得：，，，可得：，解得：，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，当时，取得最大值，的最大值为．故选：．例20．（2023·安徽·南陵中学模拟预测（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是___________.【答案】【解析】由得：，故，当且仅当时取等号，由于,故，则，则，故答案为：题型九：等面积法、张角定理例21．（2023秋•厦门校级期中）给定平面上四点，，，，满足，，，，则面积的最大值为．【解答】解：，，，，，，设到的距离为，则由等面积可得，，面积的最大值为．故答案为：．例22．（2023春•奎屯市校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为A．8 B．9 C．10 D．7【解答】解：由题意得，即，得，得，当且仅当，即时，取等号，故选：．【同步练习】一、单选题1．（2023·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由和正弦定理可得：当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：2．（2023·河北保定·高一保定一中校考期末）如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM．若，则线段PM的最大值为（

）A．2.5 B． C．3 D．4【答案】C【解析】由题意，绕顶点C逆时针旋转得到，P是的中点，则设,则，，，故选：C.二、填空题3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知三角形中，，D是边上一点，且满足，则的最大值是__________．【答案】【解析】∵，．由余弦定理得，则，方法一：判别式法：令，有解，，解得．∴方法二：换元法．令上式令，则有，，∴故答案为：三、解答题4．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）记的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求A；(2)若AD是角A的平分线且，求的最小值.【解析】（1）由题意，得，由正弦定理，得.由余弦定理，得.又，所以.（2）因为与的面积之和等于的面积，且AD为角A的平分线，由（1）知，，所以，所以.又，当且仅当，即时取等号，所以，即，所以，所以的最小值为4.5．（2023·安徽六安·高三校联考期末）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角的对边分别为，且满足______．(1)求角的大小：(2)若的面积为，点在边上，且，求的最小值．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．）【解析】（1）若选条件①，由正弦定理得：，，，，，即，又，；若选条件②，由正弦定理得：，，即，，又，.（2），，；，（当且仅当，即时取等号），，即的最小值为.6．（2023·全国·高三专题练习）已知内角所对的边分别为，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求：(1)求角的大小；(2)求边中线长的最小值.条件①：;条件②：.【解析】（1）选条件①：,因为中，所以，由正弦定理可得，即，，又,所以.选条件②：由余弦定理可得即，由正弦定理可得，因为，所以，所以，即，又,所以.（2）由（1）知，的面积为，所以，解得，由平面向量可知，所以，当且仅当时取等号，故边中线的最小值为.7．（2023·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______.(1)求；(2)若的面积为，为的中点，求的最小值.【解析】（1）选①时，，利用正弦定理得：，由于，所以，故，又，，整理得，因为，故.选②时，，利用正弦定理得：，由于，所以，即，又，，，，故，，故.选③时，，利用正弦定理得：，又，，整理得.所以，整理得，，故.（2）由于的面积解得.在中，由余弦定理得故，当且仅当，即，，的最小值为6.8．（2023·福建宁德·高三校考期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C；(2)如图，若，存在点D满足，求的最小值．【解析】（1）因为，所以，即，所以,所以,所以或，得（舍）或，所以.（2）设在直角中，，在中，由正弦定理，且，所以，，因为，所以，即,所以，因为，所以，当即时，有最大值为1，此时最大，则最小为.9．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的最小值；(2)证明：．【解析】（1）由余弦定理，，当且仅当，即时等号成立．（2）方法一：当时，．当时，设线段的中垂线交于点D．．在中，由正弦定理，．，当且仅当时等号成立.故，由（1）．故．则．方法二：由正弦定理，．由二倍角公式，．而，故，当且仅当时第一个等号成立.由（1），故．则．10．（2023·江西·高三校联考期末）设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(1)证明：；(2)求的最小值.【解析】（1）证明：由∴得，即，又，∴则由正弦定理，得.（2）由（1）有，则则由余弦定理得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.11．（2023·山东青岛·高三统考期末）在中，，内角，，的对边分别记为，，.(1)求的值；(2)求的最小值.【解析】（1）由正弦定理边角互化可得，，由余弦定理得，，化简得，从而得，即，（2）由余弦定理得，因为在中，均大于，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.12．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）设的三个内角A，B，C所对的边长为a，b，c，的面积为S．且有关系式：．(1)求C；(2)求的最小值．【解析】（1）由二倍角公式，得，即，由正弦定理、余弦定理，得，，又因为，所以．（2）注意到．由余弦定理，得，所以．当时等号成立，故的最小值为.13．（2023·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且角A为锐角.(1)求角B；(2)若的面积为，求b的最小值.【解析】（1）由可得：，由角A为锐角，所以，所以，又，所以；（2），所以，由余弦定可得，当且仅当时取等，满足角A为锐角，所以由，可得b的最小值为.14．（2023·福建龙岩·高三校联考期末）中，设角，，所对的边分别为，，，.(1)求的大小；(2)若的周长等于3，求的面积的最大值.【解析】（1）因为，由正弦定理得，又，所以，所以，即.因为，，所以，即.（2）在中，由余弦定理得，即①，又，所以，代入①得，整理得，又因为，当且仅当时取等号，因为，所以，所以，解得或（舍去），故，故的面积，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.15．（2023春·江苏徐州·高一校考竞赛）的内角的对边分别为,已知．(1)求;(2)若为的中点,,求的面积的最大值．【解析】（1）解:由题知,在中,由正弦定理可得:,代入题中有:①,因为,所以,所以,代入①中化简可得:,因为,所以,故,即,因为,所以;（2）由（1）知,因为为的中点,所以,两边同时平方可得:,即,即,当且仅当时取等,化简可得:,因为,故面积最大值为.16．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）已知O为△ABC外心，S为△ABC面积，r为⊙O半径，且满足(1)求∠A大小；(2)若D为BC上近C三等分点（即），且，求S最大值．【解析】（1）取的中点，连接，则，可得：由，可得，则，即，整理得，由余弦定理，可得，∵，故.（2）由题意可得：，则，可得：，则，当且仅当，即时等号成立，即，则.故S最大值为.17．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知的面积为，角所对的边为．点为的内心，且．(1)求的大小；(2)求的周长的取值范围．【解析】（1）因为，所以，即，可得，因为，所以．（2）设周长为，，如图所示，由（1）知，所以，可得，因为点为的内心，，分别是，的平分线，且，所以，在中，由正弦定理可得，所以，因为，所以，可得，可得周长．18．（2023·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，的面积为，求b，c的值；(2)若，且为钝角三角形，求k的取值范围．【解析】（1）中，，由正弦定理得，∴，由得；，∴①；又的面积为，∴②；由①②组成方程组，解得，或，；（2）当，，∴；当B为钝角时，，即，解得；当C为钝角时，，即，解得；所以为钝角三角形，k的取值范围是或．19．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形中,角的对边分别为,向量,,且.(1)求角的大小;(2)若的面积为,求的取值范围.【解析】（1）解:由题知,,,所以有:①,在中,由正弦定理可得:,代入①中有:,展开移项后可得:,即,因为是的三边,所以上式可化为:,在中,由余弦定理可得:,因为,所以;（2）在中,过点向作垂线,垂足为,过点作的垂线,交延长线于点,如图所示:因为为锐角三角形,所以点在线段上（不含端点）,即,由（1）可得,且,所以,所以,因为,所以,即,由,所以,解得:,所以,令,,由对勾函数的性质可得在上单调递减,故,即.20．（2023·河南郑州·高二校考阶段练习）在中，角的对边分别为，．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）因为在中，，所以，由正弦定理边角互化得：，整理得：；所以，由余弦定理可得：，因为，所以（2）在中，由正弦定理得，，所以，，所以；