高考数学复习：集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）解析版

第一章集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）

参考答案与试题解析

选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（2324高一上•新疆乌鲁木齐•期中）下列说法正确的是（）

A.0与｛0｝的意义相同

B.某市文明市民可以组成一个集合

C.集合A=｛（x,y）|3x+y=2,久6N｝是无限集

D.方程/+2x+l=0的解集有二个元素

【解题思路】根据元素与集合的定义逐一判断即可.

【解答过程】A：0是集合｛0｝的一个元素，因此本选项不正确；

B：因为文明市民的标准不确定，所以组成不了集合，因此本选项不正确；

C：由3%+y=2ny=2-3X，显然给x一个自然数的值，y都有唯一的一个实数与之对应，

而自然数集是无限集，因此集合a是无限集，因此本选项正确；

D：x2+2x+l=0=>%=—1,

方程/+2x+1=0的解集有一个元素，因此本选项不正确，

故选：C.

2.（5分）（2324高一上•重庆•期末）若"x>2a2-3”是“1<%<4"的必要不充分条件，则实数a的取值范

围是（）

A.[-V2,V2]B.（-V2,V2）C.（-1,1）D.[-1,1]

【解题思路】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果.

【解答过程】因为“x>2a2-3”是“1<%<4"的必要不充分条件，

所以2a2-3<1,即a2<2,解得一鱼<a<四，

故选：B.

3.（5分）（2324高二下・重庆•期末）已知集合4=｛%|-2<%<5],B=｛x\m+1WxW2m-1｝.若BU4

则实数小的取值范围为（）

A.m>3B.2<m<3C.m<3D.m>2

【解题思路】讨论8=0,8W。两种情况，分别计算得到答案.

【解答过程】当B=0时：m+1>2m—1m<2成立；

m+1<2m—1

当B。。时：m+1>—2解得：24TH<3.

2m—1<5

综上所述：m<3

故选C.

4.(5分)(2324高一上.广东茂名•期中)己知命题汨X6R,使2/+(a-1)%+科<0”是假命题，则实数

。的取值范围是()

A.{a|a<—1}B.{a|-1<a<3]

C.{a|-1<a<3}D.{a|-3<aV1}

【解题思路】由题意可得A=(a—1)2-4x2x?<0,解不等式即可求出答案.

【解答过程】因为命题叼xeR,使2*2+(a-1)X+|<0”是假命题，

所以2/+(a-1)%+|>0恒成立，所以A=(a-l)2-4x2x|<0,

解得一1<a<3,

故实数a的取值范围是(-1,3).

故选：B.

5.(5分)(2324高一上•河北石家庄•阶段练习)已知集合A=(x}x2-3x+2=0},B={x\-1<x<5,xEN),

则满足4£CcB的集合C的个数为()

A.4B.7C.8D.15

【解题思路】由题知A={1,2},B={0,123,4},进而根据集合关系列举即可得答案.

【解答过程】解：由题知4=(x\x2-3x+2=0}={1,2},B=团—1<x<5,xeN}={0,1,2,3,4},

所以满足4£C£B的集合C有{1,2},{1,2,3},{0,1,2},{1,2,4},{0,1,2,3},{0,1,2,4},{1,2,3,4},

故集合C的个数为7个.

故选：B.

6.(5分)(2223高三上•河北唐山•阶段练习)设集合4=3x<2或44},B={x\x<a],若(CR4)CBH0,

则a的取值范围是()

A.a<2B.a>2C.a<4D.a>4

【解题思路】先求得CR4={X[2WX<4},再结合集合B={x|x<a}及(CR/l)nBH0,运算即可得解.

【解答过程】由集合4={x|x<2或止4},则CR4={X[2WX<4},

又集合B={x|久<a}且《；?2)。2父0,则a>2,

故选：B.

7.(5分)(2324高一上.上海松江.期末)设％ER,用印表示不超过久的最大整数，则y=[幻称为"取整函

2

数”，如：[1,6]=1,[-1.6]=一2.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合/={x\x-[x]-l=Of-l<x<

2}是单元素集：②对于任意％ER,[灯+卜+当=[2灯成立，则以下说法正确的是()

A.①②都是真命题B.①是真命题②是假命题

C.①是假命题②是真命题D.①②都是假命题

【解题思路】对于①，分类讨论％=0、x=1.-1<x<0>0<%<1和1<xV2五种情况分别求解即可

判断；

对于②，分类讨论》为整数和不为整数时原式是否成立，对于无不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即

可.

【解答过程】对于①：

当久=0时，%2-[%]—1=0—0—1=—10,不符合题意；

当％=1时，%2-[%]—1=1—1—1=—10,不符合题意；

当一1V%V0时，x2—[x]—1=X2—(―1)—1=%2=0,则久=0g(—1,0),不符合题意；

当0<x<1时，%2—[%]—1=%2-0—1=%2-1=0,则％=±1g(0,1),不符合题意；

当1<x<2时，%2-[%]—1=x2—1—1=%2—2=0；

则久=V2E(1,2)符合题意，x=-V2g(1,2)不符合题意；

综上，A={x\x2-[x]-1=0,-1<x<2}={码是单元素集，故①正确.

对于②：

当久为整数时，[%]+[%+1=%+%=2%=[2%]成立；

当久不为整数时，设％=a+b(Q为整数，Ovbvl),

当0VbV[时，[%]+[%+,=a+a=2a,[2x]=[2a+2b]=2a,

此时,[%]+[x+1]=[2%]成立；

当b=(时,%=a+I，则[%]+[%+,=a+a+1=2a+1,[2x]=[2a+1]=2a+1,

此时，[%]+[%+1]=[2%]成立；

当（<b<1时，[%]+[%+当=Q+a+1=2a+1,[2x]=[2a+2b]=2a+1,

此时，IXI+[%+|]=[2划成立；

综上，对于任意久eR,[x]+[%+j]=[2x]成立，故②正确.

故选：A.

8.（5分）（2324高一上•上海•期中）设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x&S,y&S,都有（x+y）6S,

（x-y）GS,4/eS,则称集合S为“完美集合”，给出下列命题：

①若s为“完美集合”，则一定有oes；

②“完美集合”一定是无限集；

③集合4=[x\x=a+V5b,aeZ,b&Z}为“完美集合”；

④若S为“完美集合”，则满足SUTUR的任意集合T也是“完美集合”.

其中真命题是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【解题思路】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断.

【解答过程】对于①，若S为“完美集合”，对任意的xes,0=（x—x）es,①对；

对于②，完美集合不一定是无限集，例如{0},②错；

对于③，集合4={x|x=a+y[Sb,aeZ,6ez},

在集合4中任意取两个元素，%=a+Z?V5,y=c+d>/5,其中a、b、c、d为整数，

则x+y=[a+c+（6+d）V5]£S,x—y=[a—c+（b—d）V5]£S,

xy=[ac+5bd+（ad+Z?c）V5]GS,

集合力=[x\x=a+V5fo,aEZ.bEZ}为“完美集合”，③对；

对于④，s={0},T={0,1}1也满足④，但是集合7不是一个完美集合，④错.

故选：A.

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（2324高一上•四川乐山•阶段练习）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（）

A.3xeR,X2-X+^<0B.所有的正方形都是矩形

C.3%eR,%2+2%+2<0D.至少有一个实数x,使/+1=0

【解题思路】若该命题是真命题，则其否定为假命题，若该命题为全称量词命题，则其否定为特称量词命

题.

【解答过程】对A：该命题的否定为VXCR,/-x+是全称量词命题，

4

2

又/—比+[=(x—I)>o,故为真命题，故A符合要求；

对B：该命题为全称量词命题，故其否定为特称量词命题，故B不符合要求；

对C：该命题的否定为Vx6R,x2+2x+2>0,是全称量词命题，

又/+2无+2=(久+1尸+1>0,故为真命题，故C符合要求；

对D：存在实数%=-1,使炉+1=0,故该命题为真命题，则其否定为假命题，

故D不符合要求.

故选：AC.

10.(5分)(2324高一上.江苏常州.阶段练习)下列四个命题中正确的是()

A.方程SF+|y+2|=0的解集为｛2,-2｝

B.由手+号(a,beR)所确定的实数集合为｛-2,0,2｝

C.集合｛(须、)|3%+2丫=16,%€M丫€1^可以化简为｛(0,8),(2,5),(4,2)｝

D.X=｛a|^£N,aeZ｝中含有三个元素

【解题思路】选项A：由二次根式和绝对值的非负性可得解集；选项B：由a,b的正负性分类可得；选项C：

由3久+2y=16得丫=弯邳，故16-3%为2的倍数，取%为2的非负整数倍可得；选项D：取3-a为6的

因数可得.

【解答过程】选项A：方程的解为=12,解集为K2,—2)｝,故A错误；

选项B：由回+回(a,beR)知a#0,b#0,

ab

当a,胴为正数时，回+粤=2；

ab

当a,b一正一负时，—+^=0；

ab

当a,b同为负数时，回+粤=—2,

ab

故由回+瞿(a,6eR)所确定的实数集合为｛—2,0,2｝,故B正确；

ab

选项C：3x+2y=l^xGN.yGN,

63x

y=^^f当汽=0时，y=8；当％=2时，y=5；当％=4时，y=2,

故集合｛(%y)13%+2y=16”N”N｝可以化简为｛(0,8),(2,5),(4,2)｝,故C正确；

选项D：—GN,aGZ,

当a=—3时，”-=1；当Q=0时，—=2；当。=1时，”-=3；

3—a3—a3—a

当。=2时，——=6,

3-a.

故71={0I士eN,aeZ}={-3,0,1,2}中含有4个元素，故D错误，

故选：BC.

11.（5分）（2324高一上•安徽•期中）下列命题中，正确的是（）

A."a<6<0”是总>*的充分不必要条件

ab

B."一2<A<3"是“一1<A<3"的必要不充分条件

C.“一丰y2，，是“光丰y”的充要条件

D."XeQ4uB）nC"是'e（AnB）uC”的必要不充分条件

【解题思路】A项：利用不等式知识即可判断；

B,C项：根据充分条件与必要条件知识即可判断；

D项：根据交并集知识即可判断.

【解答过程】对于A项：由"a<b<0”可以推出工>：,但反之不可以，故A项正确.

ab

对于B项：由“一2W4W3”推不出“一1W2W3”，但反之可以，故B项正确.

对于C项：由“/#y2,,可以推出“x^y”，但反之不可以，故C项错误.

对于D项：由题意知：（403）。。是0门8）口€：的子集，所以“工60408）。。”可以推出“％6（408）0。,

但反之不可以，故D项错误.

故选:AB.

12.（5分）（2324高一上•山东德州•阶段练习）我们知道，如果集合力US,那么S的子集A的补集为CsA=

（x\xeS且xWA},类似地，对于集合4B我们把集合{久|x€4且xWB},叫作集合人和B的差集，记作A-B,

例如：2={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},贝U有2—B={1,2,3},B—4={6,7,8},下列解答正确的是（）

A.已知力={4,5,6,7,9},B={3,5,6,8,9},则B-A={3,7,8}

B.已知A={x\x<-1或x>3},B={%|-2<%<4},则4—B={x\x<-2或x>4}

C.如果4£B,那么4—B=0

D.已知全集、集合4、集合B关系如上图中所示，则4-B=AC（CuB）

【解题思路】依题意根据4-B的定义可知，可先求出AnB,再求出其以A为全集的补集，结合具体选项中

集合的关系逐项判断，即可得出结论.

【解答过程】根据差集定义B-4即为{x|xeB且x《4},

由4={4,567,9},B={3,5,6,8,9},可得B—4={3,8},所以A错误；

由定义可得a-B即为{x|xe4且x任B],

由4={x\x<-1或x>3},B={%|-2<%<4},可知4—B={x\x<-2或x>4},即B正确；

若4UB,那么对于任意久64,都满足％68,所以力且久任8}=0,因此4一8=0,所以C正确；

易知=且在图中表示的区域可表示为也即an（CuB）,可得a-B=an

（CuB）,所以D正确.

故选：BCD.

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（2324高三上•天津河西•期中）含有3个实数的集合既可表示成{a,31}，又可表示成{aZ,a+b,0）,

则。2°22+02022=1

【解题思路】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.

【解答过程】因为{a,，l}={a2,a+b,0},

显然a*0,故2=0,贝g=0；

a

此时两集合分别是{a,1,0],{a,a2,0）,

则口2=1,解得a=1或—1.

当a=l时，不满足互异性，故舍去；

当。=一1时，满足题意.

所以Q2022+b2022=（_1）2。22+Q2022=1

故答案为：1.

14.（5分）（2324高一上•安徽芜湖•期末）已知命题pLVxeR,2k/+卜久一三<o恒成立”是真命题，则

8

实数k的取值范围是（-3,0].

【解题思路】分k=0与k40两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数k的不等式组，由此可解得实数

k的取值范围.

【解答过程】已知命题p:“VxeR,2kx2+kx-l<0恒成立”是真命题.

o

当k=0时，则有一J<0恒成立，合乎题意；

O

当k牛0时，则有号:],解得—3<k<0.

综上所述，实数k的取值范围是（-3,0].

故答案为：（-3,0].

15.（5分）（2324高一上.广东佛山•阶段练习）已知集合4={xeZ|点（X—1,x—a）不在第一、三象限},

集合B={t|lWt<3},若“yeB”是“ye4”的必要条件，则实数。的取值范围是0<a<3.

【解题思路】由必要条件得aUB,进而有A可能为{1},{2},{1,2},结合集合A的描述列不等式组求对应

x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可.

【解答过程】由“yeB”是“ye力”的必要条件，即4uB,

由A中元素为整数,故A只可能为{1},{2},{1,2},

由点不在第一、三象限，得：『一1竦或『一堂『即1①或②,

1%—a<01%—a>0lx<alx>a

当a<1时，①无解，由②得a<x<lf

止匕时力={xeZ|a<x<1},故A={1},有0<a<1；

当a21时，由①②得IWxWa,

此时4={xeZ|1WxWa},因lea,只须3《4有lWa<3；

综上：实数a的取值范围是{x[0<a<3}.

故答案为：0<a<3.

16.（5分）（2024高一•上海・专题练习）设集合S,T,SUN*,TUN*,S,T中至少有两个元素，且S,T满

足：

（1）对于任意x,yes,若x4y,贝!Uyer；

（2）对于任意x,yGT,若％<y,则[eS.

下列命题正确的是（填序号）

①若S有3个元素，贝Usur有4个元素；

②若S有3个元素，则SUT有5个元素；

③若S有4个元素，贝USU7有6个元素；

④若S有4个元素，贝USUT有7个元素.

【解题思路】利用特殊集合验证排除选项，推出结果即可.

【解答过程】解:对于①，令5={2,4,8},T={8,16,32),

SUT={2,4,8,16,32},有5个元素，.•.①错误.

对于②，令5={1,2,4},T={2,4,8),

••.SU7={1,2,4,8},有4个元素，.•.②错误;

对于③,令S={2,4,8,16},T={8,16,32,64,128},

.•.SUT={2,4,8,16,32,64,128},有7个元素，，③错误.

对于④，由题可设5={a,6,c,d}其中a<b<c<d,则ab,cdeT且ab和cd分别为集合T中最小和最大的元

素，

由性质(2)可知，捺eS且为集合S中最大的元素d,即。=M，则5={a,瓦ab,d},

同理可知，—,—,—ES,即匕色,色es,

baabacabab

若a=l,贝lj『=d,即c=b,显然不合题意；

b

b=

若aW1即a>2,则d>->->S=,d\a=—,b—@即c=a3=a2,a3,a4},T=

abab\abba)fabb,

Q=a4

[a3,a4,a5,a6,a7},则SuT有7个元素.

故答案为：④.

四.解答题(共6小题，满分70分)

17.(10分)(2324高一上.甘肃武威.阶段练习)已知3m+1或xW3nl-3.

(15>2x-1>0

(1)若p是q的充分条件，求实数zn的取值范围；

(2)若p是rq的必要不充分条件，求实数6的取值范围.

【解题思路】(1)先求出p范围，依题意p是q的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可；

(2)先写出rq的范围，由p是「q的必要不充分条件，则「q表示的集合是p所表示集合的真子集，列出不

等式求解即可.

【解答过程】⑴因为p：{15,二-[；0，所以「：催：：8,即2<刀<8,

因为〃是4的充分条件，所以3血+142或3n1-328,

解得mg或m>y,即实数m的取值范围是<:或m>y}；

(2)依题意，-iq：3m—3<%<3m+1,由(1)知〃：2<%<8,

又〃是的必要不充分条件，所以{案;:二，

解得|<m<1,即实数m的取值范围是假工mW(}.

18.(12分)(2024高一上•全国•专题练习)已知集合/={%|a%2—3%+2=0,%ER,aER}.

⑴若A是空集，求a的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；

(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围.

【解题思路】(1)利用力是空集，则即可求出a的取值范围；

(2)对a分情况讨论，分别求出符合题意的a的值，及集合A即可；

(3)分4中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.

【解答过程】(1)解：「a是空集，

aW0且A<0,

所以a的取值范围为：信+8)；

(2)：①当a=0时，集合4={刈-3%+2=0}={|},

②当aW0时，△=0,

9—8a=0,解得a=£此时集合2=g},

综上所述，当a=0时，集合4={|},当a=(时，集合4={m；

(3)月中至少有一个元素，则当4中只有一个元素时，。=0或。=&

O

当4中有2个元素时，贝必片0且△>(),即F7口;。，解得a〈(且a70；

综上可得，aW£时4中至少有一个元素，即ae(—8,即

19.(12分)(2324高二下•湖北武汉•期末)设命题p:Wxe[—1,1],使得不等式/一2久—3+爪<0恒成

立；命题q:三万6[0,1],不等式2x—22爪2一3m成立.

(1)若P为真命题，求实数小的取值范围；

(2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数机的取值范围.

【解题思路】(1)若p为真命题，即Vxe[—1,1],使得不等式——2%-3+巾<0成立，则转化对于xe

[―1,11,m<(—%2+2%+3),即可.

LJmin

(2)若q为真命题，即不等式2%-22瓶2一3m成立，则转化为对于工€[0,1],(2%-2)max>

m2—37n即可.

【解答过程】(1)若p为真命题，即1],使得不等式一一2%-3+血<0成立，

2

则对于％W[―1,11J,m<(—x+2x+3),即可.

Lmin

由于％G[-1,1],(—X2+2%+3)^^也=0，则血£(—00,0)

(2)若q为真命题，即G[0,1],不等式2%—2>m2—37n成立，

则对于16[0,1],(2%-2)max之m2-3m即可.

由于％w[0,1],2x—2E[—2,m2-3m<0,解得m6[0,3]

P、q有且只有一个是真命题，贝以:或>3或{。?黑3,

解得me(-00,3].

20.(12分)(2324高一上.吉林四平•阶段练习)已知集合。={X6卬％2一3%+6=0},(2={久6

R|(x+l)(x2+3%-4)=0}.

(1)若b=4,存在集合M使得P为M的真子集且M为Q的真子集，求这样的集合M；

(2)若集合P是集合Q的一个子集，求6的取值范围.

【解题思路】(1)确定P=0,并求出集合Q,写出Q的真子集即得；

(2)分类讨论，P=0时满足题意，P大。时，由集合Q中的元素属于集合P,分别代入求出参数b,得集合

P检验即可.

【解答过程】(1)当b=4时，方程%2一3%+6=0的根的判别式△=(—3)2—4X1X4<0,所以P=0.

又(？={xeR|(x+1)(%2+3x-4)=0}={-4,-1,1},故PcQ.

由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，

用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{—4},{-1},{1},{-4,-1],{-4,1},{-1,1}.

(2)当P=0时，P是Q的一个子集，此时对于方程/-3尤+b=0,

有A=9—4b<0,所以6>-.

4

当P力0时，因为Q={—4,-1,1},所以当一1CP时，

(-1)2-3X(-1)+b=0,即6=-4,此时P={x\x2-3%-4=0}={4,-1},

因为4《Q,所以P不是Q的子集；

同理当-4时，b=-28,P={7,-4},也不是Q的子集；

当1CP时，6=2,P={1,2},也不是Q的子集.

综上，满足条件的b的取值范围是{*>*

21.(12分)(2324高一上•山东青岛•阶段练习)已知4={x|2a—1<久Wa+1},B={久|一1WxW3}.

(1)若a=-|,求4c(CRB);

(2)在①力uB=B；②aa(anB)；③力nB=。；这三个条件中任选一个，求满足条件的实数a构成的集合

P.

注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分.

【解题思路】(1)利用集合补集和交集的概念求解即可；

(2)根据集合的包含关系分情况讨论即可.

【解答过程】(1)当a=-[时，A=^x\—2<x<^,CRB={x[x<-1或x>3},

所以4Cl(CR5)={x|-2<%<-1}.

(2)选①4UB=B,则4£B；

若4=0,此时2a-l?a+l,解得a22；

若4力0,此时a<2,只需产二解得0Wa<2；

综上满足条件的实数a构成的集合P=(a\a>0}.

选②力c(Ac8),贝1)4£B；

若4=0,此时2a-12a+l,解得a22；

若440,此时a<2,只需I2。二;解得0Wa<2；

综上满足条件的实数a构成的集合P={a|a>0}.

选③4nB=0,

若4=0,此时2a—12a+l,解得a22；

若440,此时a<2,只需2a