2025《金版教程•高考数学复习创新方案》第9节 函数模型及其应用

第九节函数模型及其应用课标解读考向预测1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.近三年高考考查函数模型及应用，一般出现在选择题和填空题中，难度中档偏上．预计2025年高考会考查指数函数模型或对数函数模型在生活实际中的应用，以选择题的形式出现.必备知识——强基础1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)2.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调eq\x(\s\up1(01))递增单调eq\x(\s\up1(02))递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与eq\x(\s\up1(03))y轴平行随x的增大逐渐表现为与eq\x(\s\up1(04))x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax3.解答函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xn(n>0)和y＝logax(a>1)的增长速度．()(3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．()答案(1)×(2)√(3)×2．小题热身(1)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论中正确的是()A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)答案B解析在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B.(2)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A．40万元 B．60万元C．80万元 D．120万元答案D解析当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)．故选D.(3)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝()A．ln2 B．ln3C.eq\f(ln2,5) D.eq\f(ln3,5)答案C解析由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝eq\f(ln2,5).故选C.(4)某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x≤10，,2x＋10，10<x<100，,1.5x，x≥100，))x∈N*，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为160，则该公司拟录用人数为________．答案75解析令y＝160，若4x＝160，则x＝40＞10，不符合题意；若2x＋10＝160，则x＝75，符合题意；若1.5x＝160，则x＝eq\f(320,3)∉N*，不符合题意．故拟录用人数为75.考点探究——提素养考点一用函数图象刻画实际问题例1中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律？()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝max＋n(m>0，0<a<1)C．y＝max＋n(m>0，a>1)D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)答案B解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0，0<a<1.故选B.【通性通法】(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案．(2)图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养．【巩固迁移】1.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是()A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物eq\f(1,8)小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5eq\f(31,32)小时答案ACD解析将点M的坐标代入y＝kt，可得k＝4，将点M的坐标代入y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t－a)可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1－a)＝4，解得a＝3，所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t，0<t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)，t>1，))A正确；当0<t≤1时，由y＝4t≥eq\f(1,8)可得t≥eq\f(1,32)，此时eq\f(1,32)≤t≤1；当t>1时，由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t－3)≥eq\f(1,8)可得t≤6，此时1<t≤6.故不等式y≥eq\f(1,8)的解为eq\f(1,32)≤t≤6，所以注射一次治疗该病的有效时间长度为6－eq\f(1,32)＝5eq\f(31,32)小时，B错误，D正确；注射该药物eq\f(1,8)小时后每毫升血液中的含药量为4×eq\f(1,8)＝0.5(微克)，故C正确．故选ACD.考点二根据给定的函数模型解决实际问题例2(1)某社区超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为()A．100元 B．150元C．200元 D．250元答案B解析因为y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210＝－eq\f(1,25)(x－150)2＋690，所以当x＝150时，y取最大值．故选B.(2)(2024·福建福州高三质量检测)为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款人的年收入x(单位：万元)的Logistic模型：P(x)＝eq\f(e－0.9680＋kx,1＋e－0.9680＋kx)，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为(精确到0.01万元，参考数据：ln3≈1.0986，ln2≈0.6931)()A．4.65万元 B．5.63万元C．6.40万元 D．10.00万元答案A解析由题意，得P(8)＝eq\f(e－0.9680＋8k,1＋e－0.9680＋8k)＝50%＝eq\f(1,2)，整理，得e－0.9680＋8k＝1，即－0.9680＋8k＝0，解得k＝0.121，所以P(x)＝eq\f(e－0.9680＋0.121x,1＋e－0.9680＋0.121x).令P(x)＝eq\f(e－0.9680＋0.121x,1＋e－0.9680＋0.121x)＝40%＝eq\f(2,5)，得5e－0.9680＋0.121x＝2(1＋e－0.9680＋0.121x)，整理，得e－0.9680＋0.121x＝eq\f(2,3)，两边取自然对数，得－0.9680＋0.121x＝lneq\f(2,3)，解得x＝eq\f(ln2－ln3＋0.9680,0.121)≈4.65.故选A.【通性通法】(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．【巩固迁移】2．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2答案ACD解析解法一：由题意可知，Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，对于A，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p0)－20×lgeq\f(p2,p0)＝20×lgeq\f(p1,p2)，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)≥0，即lgeq\f(p1,p2)≥0，所以eq\f(p1,p2)≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2－Lp3＝20×lgeq\f(p2,p0)－20×lgeq\f(p3,p0)＝20×lgeq\f(p2,p3)，因为Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lgeq\f(p2,p3)≥10，即lgeq\f(p2,p3)≥eq\f(1,2)，所以eq\f(p2,p3)≥eq\r(10)且p2，p3>0，可得p2≥eq\r(10)p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误；对于C，因为Lp3＝20×lgeq\f(p3,p0)＝40，即lgeq\f(p3,p0)＝2，可得eq\f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由选项A可知，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lgeq\f(p1,p2)≤40，即lgeq\f(p1,p2)≤2，可得eq\f(p1,p2)≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.解法二：因为Lp＝20×lgeq\f(p,p0)随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，得p＝p010eq\s\up7(\f(Lp,20))，因为Lp3＝40，所以p3＝p010eq\s\up7(\f(20,40))＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010eq\s\up7(\f(Lp2,20))＞10p010eq\s\up7(\f(Lp3,20))，所以10eq\s\up7(\f(Lp2,20))－eq\s\up7(\f(Lp3,20))＞10，所以Lp2－Lp3＞20，该式不可能成立，故B错误；因为eq\f(100p2,p1)＝＝10eq\s\up7(\f(Lp2,20))－eq\s\up7(\f(Lp1,20))＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.3．某品牌汽车的月产量y(单位：万辆)与月份x(3<x≤12且x∈N)满足函数关系式y＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－3)＋b，现已知该品牌汽车今年4月、5月的产量分别是1万辆和1.5万辆，则该品牌汽车7月的产量为________万辆．答案1.875解析依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b＝1，,\f(1,4)a＋b＝1.5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))于是得y＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－3)＋2，当x＝7时，y＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＋2＝1.875，所以该品牌汽车7月的产量为1.875万辆．考点三通过构建函数模型解决实际问题(多考向探究)考向1构建二次函数模型例3(2024·湖南永州高三摸底)A，B两城相距100km，在两城之间距A城xkm处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解(1)由题意，知x的取值范围为[10，90]．(2)y＝0.25×20×x2＋0.25×10×(100－x)2＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000，∴y＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000(10≤x≤90)．(3)y＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(50000,3)，∴当x＝eq\f(100,3)时，ymin＝eq\f(50000,3).∴核电站建在距A城eq\f(100,3)km处，供电总费用最少．【通性通法】二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错．【巩固迁移】4．(2023·河北张家口高三期末)江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台13500元，到第x年年末(x∈N*)每台设备的累计维修保养费用为(300x2＋3200x)元，每台充电桩每年可给公司收益8000元．(eq\r(19)≈4.36)(1)求每台充电桩第几年年末开始获利；(2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大？解(1)设每台充电桩在第x年年末的利润为f(x)元，则f(x)＝8000x－(300x2＋3200x)－13500＝－300x2＋4800x－13500，令f(x)>0，解得8－eq\r(19)<x<8＋eq\r(19)，又eq\r(19)≈4.36，∴3.64<x<12.36，∵x∈N*，∴每台充电桩从第4年年末开始获利．(2)设g(x)为每台充电桩在第x年年末的年平均利润，则g(x)＝eq\f(f(x),x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300x＋\f(13500,x)))＋4800.∵y＝300x＋eq\f(13500,x)在(0，3eq\r(5))上单调递减，在(3eq\r(5)，＋∞)上单调递增，∴g(x)在(0，3eq\r(5))上单调递增，在(3eq\r(5)，＋∞)上单调递减，又x∈N*，3eq\r(5)≈6.708，g(6)＝750，g(7)≈771，∴g(7)>g(6)，∴每台充电桩在第7年年末时，年平均利润最大．考向2构建指数函数、对数函数模型例4牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛(允许的最大值)调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．(精确到1分钟，参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)答案188解析设经过x个周期后细菌含量超标，即3000×2x>2000000，即2x>eq\f(2000,3)，所以x>log2eq\f(2000,3)＝eq\f(lg2000－lg3,lg2)＝eq\f(lg2＋3－lg3,lg2)≈9.4，而20×9.4＝188，因此经过188分钟就不宜再饮用．【通性通法】(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．求解时可利用指数运算与对数运算的关系．(2)利用指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．【巩固迁移】5．一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效；而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过________小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，精确到0.1h)答案2.3解析设应在病人注射这种药经过x小时后再向病人的血液补充这种药，则2500(1－20%)x＝1500，整理可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(x)＝eq\f(3,5)，所以x＝logeq\s\up-7(\f(4,5))eq\f(3,5)，又logeq\s\up-7(\f(4,5))eq\f(3,5)＝logeq\s\up-7(\f(8,10))eq\f(6,10)＝eq\f(lg\f(6,10),lg\f(8,10))＝eq\f(lg6－1,lg8－1)＝eq\f(lg2＋lg3－1,3lg2－1)≈2.3，所以x≈2.3.故从现在起经过2.3小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．考向3构建分段函数模型例5响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋eq\f(100,x)－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件商品售价6元，则x万件商品销售收入为6x万元．依题意得，当0<x<8时，P(x)＝6x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋2x))－2＝－eq\f(1,3)x2＋4x－2；当x≥8时，P(x)＝6x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(100,x)－37))－2＝35－x－eq\f(100,x).故P(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－2，0<x<8，,35－x－\f(100,x)，x≥8.))(2)当0<x<8时，P(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋10.此时，当x＝6时，P(x)取得最大值，为10.当x≥8时，P(x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(x·\f(100,x))＝15eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＝\f(100,x)，即x＝10时取等号)).此时，当x＝10时，P(x)取得最大值，为15.因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．【通性通法】(1)在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．(2)分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．(3)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．【巩固迁移】6．某企业自主开发出一款新产品A，计划在2025年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A产品．通过市场分析知，在2025年该企业每生产x千件A产品，需另投入生产成本R(x)千元，且R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋60x，0<x≤10，,70x＋\f(1800,x)－230，10<x≤40.))(1)求该企业生产一件A产品的平均成本p(单位：元)关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值；(总成本＝研发成本＋生产成本)(2)该企业欲使生产一件A产品的平均成本p≤66元，求其年生产值x(单位：千件)的取值区间？解(1)由题知生产x千件的总成本为(R(x)＋50)千元，故生产一件的平均成本为eq\f(R(x)＋50,x)元，所以p(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋60＋\f(50,x)，0<x≤10，,70＋\f(1800,x2)－\f(180,x)，10<x≤40，))当x∈(0，10]时，p(x)＝eq\f(1,2)x＋60＋eq\f(50,x)单调递减，故最小值为p(10)＝70，当x∈(10，40]时，p(x)＝1800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,20)))eq\s\up12(2)＋65.5，故最小值为p(20)＝65.5，因为70>65.5，所以生产一件A产品的平均成本最低为65.5元．(2)由(1)知，要使p(x)≤66，只需考虑x∈(10，40]，即70＋eq\f(1800,x2)－eq\f(180,x)≤66，结合x>0，整理得x2－45x＋450≤0，解得15≤x≤30，所以当x∈[15，30]时，生产一件A产品的平均成本不超过66元．课时作业一、单项选择题1．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了()A．0.33米 B．0.42米C．0.39米 D．0.43米答案B解析该女生训练前立定跳远距离为1.84－0.03×eq\f(90－70,5)＝1.72(米)，训练后立定跳远距离为1.84＋0.1×eq\f(105－90,5)＝2.14(米)，则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米)．故选B.2．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：小数记录x0.10.120.15…11.21.52.0五分记录y4.04.14.2…55.15.25.3现有如下函数模型：①y＝5＋lgx，②y＝5＋eq\f(1,10)lgeq\f(1,x)，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附：100.3≈2，5－0.22≈0.7，10－0.1≈0.8)()A．0.3 B．0.5C．0.7 D．0.8答案B解析由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lgx，令y＝5＋lgx＝4.7，解得x＝10－0.3≈0.5.故选B.3．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)与增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝eq\f(kP,1＋lg(t＋1))，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝eq\f(1,6)P.已知某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为(lg61≈1.79)()A．440分 B．460分C．480分 D．500分答案B解析由题意得，f(60)＝eq\f(kP,1＋lg61)＝eq\f(1,6)P，∴k＝eq\f(1＋lg61,6)≈eq\f(2.79,6)＝0.465，∴f(100)≈eq\f(0.465×400,1＋lg101)＝eq\f(186,1＋lg100＋lg1.01)≈eq\f(186,3)＝62，∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462≈460(分)．故选B.4．(2024·云南昆明高三模拟)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝eq\f(1000v,0.7v＋0.3v2＋d0)，其中d0(单位：m)为安全距离，v(单位：m/s)为车速．当安全距离d0取30m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为()A．135 B．149C．165 D．195答案B解析由题意得，N＝eq\f(1000v,0.7v＋0.3v2＋30)＝eq\f(1000,0.7＋0.3v＋\f(30,v))≤eq\f(1000,0.7＋2\r(0.3×30))≈149，当且仅当0.3v＝eq\f(30,v)，即v＝10时取等号，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B.5．(2024·江苏沭阳如东中学高三模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0Deq\f(G,G0)，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg2≈0.3010)()A．72 B．74C．76 D．78答案B解析由题意，得L＝0.5×Deq\s\up7(\f(G,18))，则0.4＝0.5×Deq\s\up7(\f(18,18))，解得D＝eq\f(4,5)，则L＝0.5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(\f(G,18))，由L＝0.5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(\f(G,18))<0.2，得G>18logeq\s\up-7(\f(4,5))eq\f(2,5)＝eq\f(18(lg5－lg2),lg5－2lg2)＝eq\f(18(1－2lg2),1－3lg2)≈73.9，所以所需的训练迭代轮数至少为74.故选B.6．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为()A．72小时 B．36小时C．24小时 D．16小时答案A解析当x＝6时，e6a＋b＝216；当x＝24时，e24a＋b＝8，则eq\f(e6a＋b,e24a＋b)＝eq\f(216,8)＝27，整理可得e6a＝eq\f(1,3)，于是eb＝216×3＝648，当x＝12时，y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝eq\f(1,9)×648＝72.故选A.7．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(单位：贝尔)，即L＝lgeq\f(I,I0).取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(单位：分贝)与喷出的泉水高度x(单位：m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70m，60m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为()A．10 B．100C．200 D．1000答案B解析设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，则140＝10lgeq\f(I1,10－12)，120＝10lgeq\f(I2,10－12)，两式相减即得20＝10lgeq\f(I1,I2)，即lgeq\f(I1,I2)＝2，从而eq\f(I1,I2)＝100，所以n的值约为100.故选B.8．(2024·山东德州高三期末)已知某品牌手机电池充满时的电量为4000(单位：毫安时)，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电400(单位：毫安时)；模式B：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的eq\f(1,2t)倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过2.5%的电量，则x的可能取值为()A．4.6 B．5.8C．7.6 D．9.9答案C解析模式A在待机t小时后电池内电量为y＝－400t＋4000，设当前电量为Q，模式B在待机t小时后电池内电量为y＝eq\f(1,2t)Q，则该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，其在待机10小时后的电量为eq\f(1,210－x)(－400x＋4000)，由eq\f(1,210－x)(－400x＋4000)>4000×2.5%＝100，得4(10－x)>210－x，根据选项，当x＝4.6时，4×(10－4.6)＝21.6<210－4.6＝25.4≈42.2；当x＝5.8时，4×(10－5.8)＝16.8<210－5.8＝24.2≈18.4；当x＝7.6时，4×(10－7.6)＝9.6>210－7.6＝22.4≈5.3；当x＝9.9时，4×(10－9.9)＝0.4<210－9.9＝20.1≈1.1.故x的可能取值为7.6.二、多项选择题9．(2024·江苏常州高三月考)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式y＝eq\f(m,x－20)－x＋40，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2015.假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，下列说法正确的是()A．实数m的值为10000B．销售单价越低，直播在线购买人数越多C．当x的值为30时，利润最大D．利润的最大值为10000答案ABC解析将x＝25，y＝2015代入y＝eq\f(m,x－20)－x＋40，可得2015＝eq\f(m,25－20)－25＋40，解得m＝10000，故A正确；易知y＝eq\f(10000,x－20)－x＋40(20<x<100)单调递减，故B正确；由题意可得所得利润为f(x)＝(x－20)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10000,x－20)－x＋40))＝－x2＋60x＋9200＝－(x－30)2＋10100，所以当x＝30时，利润最大，最大利润为10100元，故C正确，D错误．故选ABC.10.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的是()A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝eq\f(1,15)x答案BD解析甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝eq\f(1,15)，D正确．故选BD.三、填空题11．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：x22.99456.002y48.0215.993264.01现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①y＝2x；②y＝eq\f(1,2)(x2－1)；③y＝log2x；④y＝2x，其中最接近的一个是________(只填序号)．答案④解析x22.99456.002y48.0215.993264.01①y＝2x45.9881012.004②y＝eq\f(1,2)(x2－1)1.53.977.51217.51③y＝log2x11.5822.322.59④y＝2x47.94163264.09由表格数据可知其中最接近的一个是④y＝2x.12.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运年数为________时，营运的年平均利润最大．答案5解析根据题意得，抛物线的顶点为(6，11)，过点(4，7)，开口向下，设二次函数的解析式为y＝a(x－6)2＋11(a<0)，所以7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润eq\f(y,x)＝eq\f(－(x－6)2＋11,x)＝12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))≤12－2eq\r(25)＝2，当且仅当x＝eq\f(25,x)，即x＝5时取等号．13．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C＝In·t，其中n＝logeq\s\up-7(\f(3,2))2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10A时，放电时间t＝57h，则当放电电流I＝15A时，放电时间为________h.答案28.5解析根据题意可得C＝57×10n，则当I＝15A时，57×10n＝15n×t，所以t＝57×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)＝57×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))logeq\s\up-7(\f(3,2))2＝57×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))logeq\s\up-7(\f(3,2))eq\s\up7(\f(1,2))＝28.5h，即当放电电流I＝15A时，放电时间为28.5h.14．为了响应党和国家节能减排的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)(x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－80x2＋5040x，x∈[120，144），,\f(1,2)x2－200x＋80000，x∈[144，500]，))为使二氧化碳每吨处理成本最低，则处理量x为________吨．答案400解析由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－80x＋5040，x∈[120，144），,\f(1,2)x－200＋\f(80000,x)，x∈[144，500]，))当x∈[120，144)时，S＝eq\f(1,3)x2－80x＋5040，当x＝120时，S取得最小值240；当x∈[144，500]时，S＝eq\f(1,2)x－200＋eq\f(80000,x)≥2eq\r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，当且仅当eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400时取等号，此时S取得最小值200.由于200<240，故所求处理量为400吨．四、解答题15．(2023·河北保定高三模拟)某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y(单位：平方米)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y＝k·ax(k>0，a>1)与y＝peq\r(x)＋q(p>0)可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；(2)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？(参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，lg2≈0.30，lg3≈0.48，精确到1月)解(1)∵函数y＝k·ax(k>0，a>1)中，y随x的增长而增长的速