2025《金版教程•高考数学复习创新方案》第3节 函数的奇偶性与周期性

第三节函数的奇偶性与周期性课标解读考向预测1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.2.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，题型以选择题、填空题为主，难度中档偏上．本节复习时应结合具体的实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性、对称性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能，重点是综合利用函数的性质解决有关问题．预计2025年高考会以抽象函数为载体，将函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性等相结合来综合考查，以多选题的形式呈现.必备知识——强基础]1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且eq\x(\s\up1(01))f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于eq\x(\s\up1(02))y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且eq\x(\s\up1(03))f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于eq\x(\s\up1(04))原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的eq\x(\s\up1(05))最小正周期．1．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；(2)若函数f(x)不是常数函数，当f(x)是奇函数时，在两个对称的区间上具有相同的单调性；当f(x)是偶函数时，在两个对称的区间上具有相反的单调性；(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x(a，b为常数，a≠b)：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；(3)若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a；(4)若f(x＋a)＝eq\f(1,f(x))(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；(5)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f(x))(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；(6)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|；(7)若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|；(8)若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|.3．函数图象对称性的四个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称；(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．特别地，当a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．特别地，当b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.()(2)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．()(3)函数f(x)的定义域为R，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．()(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))对称．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)(多选)(人教A必修第一册3.2.2例6改编)下列给出的函数是奇函数的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝eq\f(x2＋1,x)C．y＝x3＋1 D．y＝sinx答案ABD(2)已知定义域是R的函数f(x)满足：∀x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2027)＝()A．1 B．－1C．2 D．－3答案B解析因为f(1＋x)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2－x)＝f(x)，又由f(4＋x)＋f(－x)＝0，得f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(8＋x)＝－f(－4－x)＝－f(6＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期为4，所以f(2027)＝f(3)＝－f(1)＝－1.故选B.(3)已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________．答案－eq\f(5,2)(4)(北师大版必修第二册习题1.1T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2026)＝________．答案－1解析因为f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2026)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.考点探究——提素养考点一函数的奇偶性(多考向探究)考向1函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；(2)f(x)＝eq\f(lg(1－x2),|x－2|－2)；(3)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(4)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0.))解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq\r(3)，即函数f(x)的定义域为{－eq\r(3)，eq\r(3)}，从而f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x－2|≠2，))得f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝eq\f(lg(1－x2),－x).又f(－x)＝eq\f(lg[1－(－x)2],x)＝－eq\f(lg(1－x2),－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(3)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)≥0，,1＋x≠0，))得－1<x≤1，∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．【通性通法】1．判断函数奇偶性的方法2．一些重要类型的奇偶函数模型(1)函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数．(2)函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数．(3)函数f(x)＝eq\f(ax＋1,ax－1)(a>0且a≠1)是奇函数．(4)函数f(x)＝logaeq\f(x－b,x＋b)(a>0且a≠1)是奇函数．(5)函数f(x)＝loga(eq\r(1＋m2x2)±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．【巩固迁移】1．设函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1答案B解析解法一：因为f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝－1＋eq\f(2,x＋1)，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数．故选B.解法二：因为f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq\f(1－(x－1),1＋(x－1))＝eq\f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq\f(1－(x＋1),1＋(x＋1))＝eq\f(－x,x＋2).对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝eq\f(2－x,x)－1＝eq\f(2－2x,x)，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝eq\f(2－x,x)＋1＝eq\f(2,x)，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；对于C，f(x＋1)－1＝eq\f(－x,x＋2)－1＝－eq\f(2x＋2,x＋2)，定义域不关于原点对称；对于D，f(x＋1)＋1＝eq\f(－x,x＋2)＋1＝eq\f(2,x＋2)，定义域不关于原点对称．故选B.考向2函数奇偶性的应用例2(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝()A．x－1 B．x＋1C．－x－1 D．－x＋1答案A解析当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.故选A.(2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·lneq\f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝()A．－1 B．0C．eq\f(1,2) D．1答案B解析解法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)lneq\f(1,3)＝(－1＋a)ln3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xlneq\f(2x－1,2x＋1)，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>eq\f(1,2)或x<－eq\f(1,2)，则其定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－\f(1,2)))))，关于原点对称．f(－x)＝(－x)lneq\f(2(－x)－1,2(－x)＋1)＝(－x)lneq\f(2x＋1,2x－1)＝(－x)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1)))eq\s\up12(－1)＝xlneq\f(2x－1,2x＋1)＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B.解法二：设g(x)＝lneq\f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，关于原点对称，且g(－x)＝lneq\f(－2x－1,－2x＋1)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝－lneq\f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)lneq\f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.故选B.【通性通法】应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值，或得到方程(组)，进而得出参数的值．【巩固迁移】2．若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g(x)，x<0，,2x－3，x>0))为奇函数，则f(g(－1))＝________．答案－1解析∵f(x)为奇函数且f(－1)＝g(－1)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1，∴g(－1)＝1，∴f(g(－1))＝f(1)＝－1.3．(2022·全国乙卷)若f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．答案－eq\f(1,2)ln2解析因为函数f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋eq\f(1,1－x)≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以eq\f(a＋1,a)＝－1，解得a＝－eq\f(1,2)，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln2，即f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x)))＋ln2＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意．考点二函数的周期性例3已知函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(2)＝2，则f(2024)＝()A．1 B．eq\f(13,2)C．13 D．eq\f(1,2)答案B解析∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝eq\f(13,f(x))，∵f(x＋4)＝eq\f(13,f(x＋2))＝eq\f(13,\f(13,f(x)))＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2024)＝f(4)＝eq\f(13,f(2))＝eq\f(13,2).故选B.【通性通法】根据周期函数的定义判断函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，在解决具体问题时要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期的运用．【巩固迁移】4．(2024·四川绵阳高三阶段考试)若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,f(x－1)－f(x－2)，x>0，))则f(25)＝________．答案－1解析当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，则f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，∴f(25)＝f(4×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.考点三函数图象的对称性例4(2024·乌鲁木齐高三模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))＋nx＋n的图象关于直线x＝－1对称，则m＋n＝()A．lneq\f(1,5)－eq\f(1,5) B．ln5－eq\f(1,5)C．lneq\f(1,3)－eq\f(1,3) D．ln3－eq\f(1,3)答案B解析由题意知x≠eq\f(3,2)，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))≠0.因为函数f(x)＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))＋nx＋n的图象关于直线x＝－1对称，则－eq\f(7,2)是方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))＝0的根，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,5)))＝0，解得m＝－eq\f(1,5)，则f(x)＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,3－2x)－\f(1,5)))＋nx＋n.又由f(0)＝f(－2)，得lneq\f(7,15)＋n＝－lneq\f(3,35)－n，解得n＝ln5.故f(x)＝(x＋1)·lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,3－2x)－\f(1,5)))＋(x＋1)ln5，即f(x)＝(x＋1)·lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7＋2x,3－2x)))，函数f(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(3,2)，且x≠－\f(7,2)))))，且f(－2－x)＝(－x－1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,7＋2x)))＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7＋2x,3－2x)))＝f(x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，满足题意．则m＋n＝ln5－eq\f(1,5).故选B.【通性通法】(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心．(2)解决与函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或求解参数问题．【巩固迁移】5．(2024·福建福州模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝eq\f(x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))(xi＋yi)＝()A．0 B.m C.2m D.4m答案B解析∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，∴函数y＝f(x)与y＝eq\f(x＋1,x)的图象都关于点(0，1)对称，∴eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))xi＝0，eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))yi＝eq\f(m,2)×2＝m，∴eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))(xi＋yi)＝0＋m＝m.考点四函数性质的综合应用(多考向探究)考向1函数的奇偶性与单调性的综合例5(2023·山东鄄城第一中学高三三模)已知函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0的解集为()A．(－2，4] B．(－3，5]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)) D．(－2，2]答案C解析因为函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，所以2(a－2)x2＋2b＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2(a－2)＝0，,2b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0，))所以f(x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]．由y＝x3与y＝2x在定义域[－5，5]上单调递增，得f(x)在定义域[－5，5]上单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0，即f(2x＋1)＋f(4)>0，等价于f(2x＋1)>f(－4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1>－4，,－5≤2x＋1≤5，))解得－eq\f(5,2)<x≤2，即不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)).故选C.【通性通法】(1)比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小．(2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解．【巩固迁移】6．(2024·福建师范大学附属中学高三月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增．设a＝f(log45)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4\f(1,3)))，c＝f(0.20.5)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<a<bC．a<c<b D．b<a<c答案A解析依题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4\f(1,3)))＝f(－log43)＝f(log43)，0.20.5＝eq\r(\f(1,5))＝eq\f(1,\r(5))<eq\f(1,\r(4))＝eq\f(1,2)，log43>log4eq\r(4)＝eq\f(1,2)，log45>1>log43>eq\f(1,2)>0.20.5＞0，所以a<b<c.故选A.考向2函数的奇偶性与周期性的综合例6(2024·河北衡水中学高三模拟)已知y＝f(x)为R上的奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2025)＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案C解析∵f(x)为R上的奇函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，∴f(0)＝0，即log2a＝0，∴a＝1，∴当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，∵f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x＋2)＝f(－x)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝log2(1＋1)＝1.故选C.【通性通法】综合应用奇偶性与周期性解题的技巧综合应用奇偶性与周期性主要是解决求值问题，一般策略如下：(1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期；(2)利用函数的周期性将自变量的绝对值较大的函数值转化为自变量的绝对值较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化；(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函数值．【巩固迁移】7．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do10(k＝1))f(k)＝()A．－3 B．－2C．0 D．1答案A解析因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，所以eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do10(k＝1))f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A.考向3函数的奇偶性、单调性、对称性与周期性的综合例7定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则()A．f(11)<f(12)<f(21)B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12)D．f(21)<f(11)<f(12)答案A解析∵函数f(x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴－f(－x)＝f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则f(x)在(－2，2)上单调递增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．故选A.【通性通法】综合应用函数性质的解题技巧(1)根据奇偶性、对称性推得周期性．(2)利用周期性转化自变量所在的区间．(3)利用单调性解决相关问题．【巩固迁移】8．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上单调递减，下列关于f(x)的判断正确的是()A．f(0)是函数的最小值B．f(x)的图象关于点(1，0)对称C．f(x)在[2，4]上单调递增D．f(x)的图象关于直线x＝2对称答案ABD解析对于A，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)在[－2，0]上单调递减，在R上是偶函数，∴f(x)在[0，2]上单调递增，∴f(0)是函数的最小值，A正确；对于B，由f(x＋2)＋f(－x)＝0，得f(x)的图象关于点(1，0)对称，B正确；对于C，∵f(x)在[－2，0]上单调递减，且f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)在[2，4]上单调递减，C错误；对于D，∵f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，D正确．故选ABD.课时作业一、单项选择题1．如果奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上()A．单调递增且最小值为－5B．单调递减且最小值为－5C．单调递增且最大值为－5D．单调递减且最大值为－5答案C解析因为奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f(x)在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5.故选C.2．(2024·山东济南一中摸底)设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)<f(2)B．f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)C．f(2)<f(－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))D．f(－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(2)答案B解析因为f(x)为偶函数，则f(2)＝f(－2)，又函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2<－eq\f(3,2)<－1，所以f(－2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)，所以f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)．故选B.3．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函数，则a＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案D解析因为f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函数，所以f(x)－f(－x)＝eq\f(xex,eax－1)－eq\f((－x)e－x,e－ax－1)＝eq\f(x[ex－e(a－1)x],eax－1)＝0，又因为x不恒为0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D.4．(2024·辽宁沈阳高三模拟)已知函数f(x)＝(x－1)3，则下列函数是奇函数的是()A．f(x)＋1 B．f(x)－1C．f(x＋1) D．f(x－1)答案C解析函数f(x)＝(x－1)3的图象是由h(x)＝x3的图象向右平移1个单位长度得到的，因此其图象关于点(1，0)对称，只有把f(x)的图象向左平移1个单位长度，图象才会关于原点对称，所以只有g(x)＝f(x＋1)＝(x＋1－1)3＝x3是奇函数．故选C.5．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，则下列函数是周期函数的是()A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋xC．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x答案D解析依题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D.6．下列函数是偶函数的是()A．g(x)＝sinx B．g(x)＝x2＋2xC．g(x)＝x3－x D．g(x)＝ex＋e－x答案D解析对于A，g(x)＝sinx为奇函数，故A错误；对于B，g(x)＝x2＋2x为非奇非偶函数，故B错误；对于C，g(x)＝x3－x为奇函数，故C错误；对于D，g(x)＝ex＋e－x为偶函数，故D正确．故选D.7．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，则不等式f(x2)≥4f(x)的解集为()A．(－∞，0]∪[4，＋∞)B．[0，4]C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．[0，2]答案C解析根据题意，当x≥0时，f(x)＝x2，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在R上为增函数，因为x2≥0，所以f(x2)＝x4，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))＝eq\f(1,4)x4，所以eq\f(1,4)f(x2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))，所以不等式f(x2)≥4f(x)可化为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))≥f(x)，所以eq\f(x2,2)≥x，解得x≤0或x≥2，所以不等式f(x2)≥4f(x)的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)．故选C.8．(2024·福建师范大学附属中学高三模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x－1)的图象关于(1，0)中心对称，f(x＋1)是偶函数且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝1.则下列结论中正确的是()A．f(x)的周期为2B．f(x)为偶函数C．f(x－2)是奇函数D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝1答案C解析f(x－1)的图象关于(1，0)中心对称，则f(x)的图象关于原点对称，因此f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，即f(x)＝f(2－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，4是f(x)的一个周期，2不是f(x)的周期，由f(x)是奇函数，且图象关于直线x＝1对称，得f(x)的图象关于点(2，0)对称，4是f(x)的一个周期，因此f(x)的图象也关于点(－2，0)对称，它的图象向右平移2个单位长度，得f(x－2)的图象关于原点对称，即f(x－2)是奇函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－4))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－1，因此C正确，A，B，D错误．故选C.二、多项选择题9．若f(x)是奇函数，则下列说法正确的是()A．|f(x)|一定是偶函数B．f(x)f(－x)一定是偶函数C．f(x)f(－x)≥0D．f(－x)＋|f(x)|＝0答案AB解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．对于A，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴|f(x)|是偶函数，故A正确；对于B，令g(x)＝f(x)f(－x)，则g(－x)＝f(－x)f(x)＝g(x)，∴f(x)f(－x)是偶函数，故B正确；对于C，f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C错误；对于D，f(－x)＋|f(x)|＝|f(x)|－f(x)＝0不一定成立，故D错误．故选AB.10．已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则()A．f(3)＝0B．f(3)＝f(5)C．f(x＋3)＝f(x－1)D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1答案ABC解析因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，又因为f(x)是奇函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，又因为f(1)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(5)＝f(1)＝0，故A，B正确；f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，故C正确；f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，同时根据奇函数的性质得f(2)＝－f(－2)，所以f(2)＝0，所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1对于x＝0不成立，故D不正确．故选ABC.三、填空题11．(2023·全国甲卷)若y＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))为偶函数，则a＝________．答案2解析因为y＝f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝(x－1)2＋ax＋cosx为偶函数，定义域为R，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－1))eq\s\up12(2)－eq\f(π,2)a＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))eq\s\up12(2)＋eq\f(π,2)a＋coseq\f(π,2)，则πa＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋1))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))eq\s\up12(2)＝2π，故a＝2，此时f(x)＝(x－1)2＋2x＋cosx＝x2＋1＋cosx，所以f(－x)＝(－x)2＋1＋cos(－x)＝x2＋1＋cosx＝f(x)，又定义域为R，故f(x)为偶函数，所以a＝2.12．已知函数f(x)满足∀x∈R，有f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0，1)时，f(x)＝x2＋mx，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(35,2)))＝eq\f(1,2)，则m＝________．答案eq\f(1,2)解析由f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x)的周期为4，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(35,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)m＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(1,2).13．已知函数f(x)＝asinx＋btanx＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________．答案4解析令g(x)＝asinx＋btanx，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1，∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.14．(2024·浙江绍兴上虞区高三适应性考试)已知函数y＝f(2x＋1)为偶函数，且f(x)＋f(－x)＝2，则f(2022)＋f(2024)＝________．答案2解析因为函数y＝f(2x＋1)为偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，即f(1－x)＝f(1＋x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，即f(－x－2)＝f(x＋4)①，又f(x)＋f(－x)＝2，即函数f(x)的图象关于点(0，1)对称，则f(0)＝1，且f(x＋2)＝2－f(－x－2)②，由①②可得f(x＋2)＝2－f(x＋4)③，所以f(x＋4)＝2－f(x＋6)，代入③，得f(x＋2)＝f(x＋6)，即f(x)＝f(x＋4)，即函数的周期是4，所以f(2022)＋f(2024)＝f(2)＋f(0)，因为f(x)＝f(2－x)，所以f(2)＝f(0)＝1，故f(2022)＋f(2024)＝f(2)＋f(0)＝2.15．(2023·河北石家庄高三三模)已知函数f(x)同时满足性质：①f(－x)＝－f(x)；②∀x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0，则函数f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝ex－e－xB．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．f(x)＝sin4xD．f(x)＝x2答案A解析由函数奇偶性的定义，若函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，由函数单调性的定义，若函数f(x)满足∀x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0，则函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，选项中四个函数的定义域均为R，∀x∈R，都有－x∈R.对于A，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，满足性质①，∵y＝ex与y＝－e－x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)均在R上单调递增，∴f(x)＝ex－e－x在R上单调递增，满足性质②；对于B，由指数函数的性质，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)为非奇非偶函数，在R上单调递减，性质①，②均不满足；对于C，f(－x)＝sin(－4x)＝－sin4x＝－f(x)，故f(x)为奇函数，满足性质①，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤4x≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)≤x≤eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋\f(kπ,2)，\f(π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z，故f(x)在(0，1)上不单调，不满足性质②；对于D，由幂函数的性质，f(x)＝x2为偶函数，在区间[0，＋∞)上单调递增，不满足性质①，满足性质②.故选A.16．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于直线x＝2对称B．f(x)的图象关于(2，0)对称C．f(x)的最小正周期为4D．y＝f(x＋4)为偶函数答案ACD解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD.17．(多选)(2024·九省联考)已知函数f(x)的定义域为R，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xy，则()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2C．函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))是偶函数D．函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))是减函数答案ABD解析令x＝eq\f(1,2)，y＝0，则有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))×f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))[1＋f(0)]＝0，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≠0，故1＋f(0)＝0，即f(0)＝－1，令x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，则有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝4×eq\f(1,2)×eq\b\l