广东省2024-2025学年高三年级上册第一次调研考试 数学试题（含答案）

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广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试

数学

本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分.

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号和座位

号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡左上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用25铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上：如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上

要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合A={x[—2<%<2},3=何k—2|<2},则AU8=（）

A.(-2,2)B.(0,4)c.(0,2)D.(-2,4)

2.已知复数z满足z+z=l+i,则z=()

1V2

A.-B.C.1D.6

22

3.已知函数/(%)满足+占J=

1+x,贝1/(2)=()

3339

A.——B.一C.-D.一

4424

4.外接球半径为后的正四面体的体积为()

160

A.——B.24C.32D.48A/2

3

5.设点P为圆(x—3)2+/=1上的一动点,点。为抛物线=4x上的一动点，则PQ的最小值为()

C.1师一29D.屈-2

A.1-—B.272-1

29

6.已知=lg(a*2+26+1)的值域为R,则实数a的取值范围为()

A.(0,1)B.(0,1]C.[1,+<»)D.(-oo,0)|J(l,-H»)

P0Ozy

7.设a,/为锐角，且cos(a—/)=——,则。与/7的大小关系为()

cos/?

A.a=(3B.a>(3C.a<(3D.不确定

8.若a>b>0,且则l+工的取值范围是()

ab

B.c.(1,3)D.(3,+00)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.变量之间的相关数据如下表所示，其经验回归直线公=%+近经过点(10,m)，且相对于点(11,5)的残

差为0.2,则

X99.51010.511

y1110m65

A.m=8B.b=-2.8C.a=36D.残差和为0

10.已知函数/(%)=28的%—以圮21(1£区)，贝!J()

A./(%)的值域是[—3,3]B./(%)的最小正周期是2兀

C./(%)关于x=E(左eZ)对称D./(%)在j,7T上单调递减

11.甲、乙、丙、丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛的第一名到第四名的得分依次为5分，3分，2分,

1分.比赛结束甲获得16分为第一名，乙获得14分为第二名，且没有同分的情况.则()

A.第三名可能获得10分

B.第四名可能获得6分

C.第三名可能获得某一项比赛的第一名

D.第四名可能在某一项比赛中拿到3分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

AXX<0

12.已知函数/(x)=，一'过原点0(0,0)作曲线y=的切线，其切线方程为___________.

lux,x>0,

13.如图是一个3x3的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每

行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为

(-1,1)(0,1)（U）

(TO)（0,0）(1,0)

(-I)(I)

，九十1,〃八<3,

14.已知数列｛?｝满足。计］二<4记｛%｝的前〃项和为5〃若％=1,则80二_____________；若

-j-,a>3,

I3

2*

%二§#wN,贝”35=•

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）AA5c中，A,B,C所对的边分别为已知》是a与。的等比中项，且sinA是sin（5—A）

与sinC的等差中项.

（1）证明：cosA=—；

b

（2）求cos3的值.

16.（15分）如图，四边形ABCD是圆柱0E的轴截面，点尸在底面圆。上，OA=BF=EAD=3,点、G

是线段5万的中点，点H是8户的中点.

（1）证明：EG〃平面ZMF；

（2）求点H到平面ZME的距离.

17.（15分）某学校有A,8两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了A餐

厅则后一天继续选择A餐厅的概率为:，前一天选择5餐厅则后一天选择A餐厅的概率为p,如此往复.己

2I

知他第1天选择A餐厅的概率为一，第2天选择A餐厅的概率为-.

33

（1）求王同学第1〜3天恰好有两天在A餐厅用餐的概率;

（2）求王同学第天选择A餐厅用餐的概率匕.

18.（17分）设直线乙：y=0x/2：y二一④%.点A和点B分别在直线4和4上运动，点"为AB的中点，

点。为坐标原点，且函•赤=-1.

（1）求点M的轨迹方程:T；

（2）设/（七,%）,求当|看|取得最小值时直线A5的方程；

（3）设点「卜6,0）关于直线A3的对称点为Q,证明：直线过定点.

19.（17分）函数/（九）的定义域为R,若〃尤）满足对任意.々eR,当天-々e/时，都有

则称/（%）是“连续的.

⑴请写出一个函数“X）是｛1｝连续的，并判断了（尤）是否是｛科连续的（〃eN*）,说明理由；

（2）证明：若/（%）是［2,3］连续的，则“X）是｛2｝连续且是｛3｝连续的；

（3）当xe时，”耳=加+3区+1（其中。,匹2）,且/（%）是［2,3］连续的，求a,b的值.

广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

题号12345678

选项DCDABCAD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

选项ADBCDABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.x—ey=013.7214.99——学1+6左（前空2分，后空3分）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解：（1）由题，得sin（5-A）=sinBcosA-cosBsinA,

sinC=sin（兀一（4+5》=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA,

因为sinA是sin（5—A）与sinC的等差中项，

A

所以2sinA=sin（5—A）+sinC=2sinBcosA,则cosA=----,

''sinB

八4八—一abZl=,sinAa

在AABC中，由正弦定理二—=-,得二---二一，

sinAsinBsinBb

因此cosA=g.

b

（2）在ZkABC中，由余弦定理得cosA=^—

2bc

,z.,.Cl.b2+02—a?（j922c

由（1）知cosA——,则-----------——，即Z?+c—Q—2〃c.

b2bcb

因为Z?是。与。的等比中项，所以Z?2=QC,从而QC+/一〃2=2〃c,即。2+砒一，=0,

“（a）a1八A,a—I+A/5_p.a—1—A/5八/冬+、

从而一+——1=0,解得一=-------或一=--------<0（舍去）

ycJcc2c2

〃。卜〃

2_/2+2_2_22a2_a_y/5-1

在ZWC中，由余弦定理得cosB=巴士——=----------------

2ac2ac2acc2

J5-I

因此cos5=e—

2

16.(1)证明：取A方的中点为M,连接MD,MG.

因为点”,G分别是E4和用的中点，所以MG〃AO,且MG=工/止=A。.

2

在圆柱0E的轴截面四边形ABC。中，AO//DE,AO=DE.

所以MG〃DE,MG=DE,因此四边形。EGW是平行四边形.

所以EG〃/)又成?<2平面。4尸,£)/欣(=平面加e，所以EG〃平面产.

(2)解：由圆的性质可知，连接OG延长必与圆。交于点H,连接因为OG〃A£OGu平面

OEH,AFu平面ZMR,所以0G〃面ZM尸，又因为已证EG〃平面ZME,且EGn(9G=G,所以平面

ZMF〃平面OEH.

从而点H到平面DAF的距离即为点E到平面DAF的距离.

以。为坐标原点，A5的中垂线为x轴，03为y轴，0E为z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

、

则E（O,O,3）,A（O,-AO）,D（O,-73,3）,与,0

7

/

M=（0,0,3）,AF=m¥,。、

所以通=(0,百,3),

7

n-AD=3z=0,

设为=(x,y,z)为平面IMF的法向量，则由<Wn=（V3-1,0）

y=0,

22

因此点E到平面DAF的距离d=即点H到平面DAF的距离为—

Ml—A/3+T—T'2

17.(15分)解：(1)设4="王同学第，天选择A餐厅”[=1,2,3〉

p(A)=|,P(d)=；;P(4)=g,P(不)=g；p(&|4)=+p(4|4)=p.

由全概率公式,得P(4)=P(A)P(4|A)+P(A)P(4|A)=|x：+；xp=；,解得p=g.

设5=”王同学第1〜3天恰好有两天在A餐厅用餐”，则3=444+444+4.24，

34-4,324"34-212

(2)设4="王同学第九天选择A餐厅”(〃eN*),则与=。(4),网工)=1—巴，

由题与⑴可得p(Aj4)=}p(D=g.

由全概率公式，得匕M=p(4M)=p(4)p(Aj4)+P(&)p(D=N+g(i-q)=-N+j

21，2、24

则只彳，又因为6—N=RWO,

JI\J7JL

所以1匕-2]是以首项为百，公比为-工的等比数列.

I"5]154

2424

因此月_1=百x,即月=—+—x

"515

18.解:⑴设人(司,必),5(%2，%)，河(工，丁)，贝！IX=—及为2，

x+x2x+\/2y

X=12

2，2-'

所以，从而＜

H+%2x--Jly

y=

22

因为。4・08=-1,所以+X,2=X\X2-2项尤2=一尤1%2=-1，即=1•

则…"I,化简得一L

所以点〃的轨迹方程为炉-工=1.

2

(2)由(1)得其=1+年21,则%|的最小值为1，此时/=1或%=-1，

即"(1,0)或/(—1,0).

当以(1,0)时，可得西=1,々=1,从而直线A3的方程为％=1；

当Af(—1,0)时，同理可得直线AB的方程为x=—l.

(3)设/(%,%),由(2)知，

当以(1,0)时，直线AB:x=l,得Q(2+G,0),直线MQ:y=0；

当〃(—1,0)时，直线AB:x=—1,得以—2+6,0),直线MQ:y=0.

当〃(%,%)是其他点时，直线A3的斜率存在，且3江1AM«+')=史2x0=注

X1~X2X1~X212%%

则直线AB的方程为y—%=2%(x—/)，注意到"—£=1，化简得AB:2%%——2=0.

-y—0J.=]

设w,y')'则由1；+。2。解得

2/x--------------2=0，

y0(y/3x0-l]+2y0vv

又"(/，％)，所以左“2=-^―-----不='°0，从而M0：y-〉o=.0右(_一/)

x0y\13x0—ij—x0—v3x。-X0-A/3

令x=，得y=0，因此直线MQ过定点T(省,0).

19.解：(1)/(x)=x是｛1｝连续的，也是｛博连续的.理由如下：

由/_%2=1，有/(玉)_/(&)=/_兀2=1，

同理当苞_%=〃，有/(玉)_/(/)=玉_X2=”，

所以〃尤)=%是｛1｝连续的，也是｛科连续的.

(2)因为