数学课后训练：向量数量积的坐标运算与度量公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精向量数量积的坐标运算与度量公式练习1．已知a＝（2，－3）,b＝(1,－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为()A．(3，－2)B．(3，2）C．(－3,－2）D．(－3,2)2．已知m＝（a，b）,向量n与m垂直,且｜m|＝|n|，则n的坐标为（）A．(b，－a)B．(－a，b)C．(－a，b)或（a，－b)D．（b，－a)或(－b，a)3．已知a＝(m－2,m＋3），b＝(2m＋1,m－2)，且a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围为()A．m＞2或m＜B．＜m＜2C．m≠2D．m≠2且m≠4．设向量a＝（1,0)，b＝，则下列结论中正确的是()A．｜a｜＝｜b｜B．a·b＝C．a－b与b垂直D．a∥b5．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0），向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为__________．6．已知O为坐标原点，＝（3,1),＝（－1，2)，⊥，∥,则满足＋＝的向量的坐标为__________．7．（2012·天津期末)定义平面向量之间的一种运算“⊗”如下，对任意的a＝(m，n），b＝(p，q)，令ab＝mq－np，给出下面五个判断,其中正确的有__________．（填正确的序号)①若a与b共线，则ab＝0;②若a与b垂直，则ab＝0;③ab＝ba;④对任意的λ∈R，有（λa)b＝λ（ab）；⑤（ab）2＋（a·b）2＝|a｜2｜b｜2。8．（2012·山东济宁期末）已知a＝（1，2），b＝（－3,1)．(1)求a－2b；（2）设a，b的夹角为θ，求cosθ的值;(3）若向量a＋kb与a－kb互相垂直，求k的值．9．已知a＝(cosα，sinα)，b＝（cosβ，sinβ），且｜ka＋b|＝｜a－kb|(k＞0）．（1）用k表示数量积a·b；(2)求a·b的最小值，并求此时a，b的夹角θ。

参考答案1．解析：设c＝（x，y）,∵c⊥a，∴2x－3y＝0.①又b·c＝1,∴x－2y＝1.②综合①②知x＝－3,y＝－2.∴c的坐标为(－3，－2）．答案：C2．解析：设向量n的坐标为(x，y)．由｜m|＝|n|，得a2＋b2＝x2＋y2。①由m⊥n，得ax＋by＝0。②解①②组成的方程组，得或所以n的坐标为（b,－a)或（－b,a)．答案：D3．解析：a与b的夹角大于90°a·b＜0，而a·b＝(m－2)（2m＋1)＋(m＋3）(m－2）＝3m2－2m－8.解不等式3m2－2m－8＜0，得＜m＜2.答案：B4．答案：C5．解析：向量λa＋b＝（－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1，2）．因为λa＋b与a－2b垂直，所以3λ＋1＋4λ＝0,解得λ＝.答案:6．解析:设＝（x，y)，则＝＋＝(x＋3，y＋1），∴＝－＝(x＋4,y－1）．∵⊥，∴－(x＋3）＋2（y＋1)＝0,即x－2y＋1＝0.①又∵∥，∴3（y－1)－(x＋4)＝0，即x－3y＋7＝0。②由①②，解得x＝11,y＝6。∴＝(11，6)．答案：（11,6)7．答案:①④⑤8．解:（1)a－2b＝（1，2)－2（－3,1)＝（1＋6,2－2）＝（7，0）．（2)cosθ＝＝。（3)因为向量a＋kb与a－kb互相垂直，所以（a＋kb）·（a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0。因为a2＝5，b2＝10,所以5－10k2＝0k＝。9．解：（1)由|ka＋b｜＝|a－kb｜,得（ka＋b）2＝3（a－kb）2，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，即(k2－3)a2＋8ka·b＋（1－3k2）b2＝0.∵|a｜＝1，|b|＝1,∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0,∴a·b＝.（2）由（1),得a·b＝，由函数的单调性的定义，易知f（k）＝在（0,