工程数学 - 第四章 积分

工程数学主

编

马玉

高琰

卢静积

分第四章目录不定积分的概念与性质01基本积分公式和直接积分法02换元积分法03分部积分法04CONTENTS行业PPT模板/hangye/定积分的概念及性质05定积分的基本公式06定积分的换元法与分部积分法07广义积分08定积分的应用09利用MATLAB计算定积分10第一节不定积分的概念与性质01一、原函数

定义4.1.1设函数F(x)和f(x)在区间I上有定义,若对∀x∈I,有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数.

例如,因为(sinx)′=cosx,所以sinx是cosx在区间(-∞,+∞)上的一个原函数.又如,因为(x3)′=3x2,所以x3是3x2在区间(-∞,+∞)上的一个原函数.可以看出,求已知函数f(x)的原函数就是找到这样一个函数F(x),使得F′(x)=f(x).

研究原函数,需要解决两个问题:在什么条件下,函数的原函数存在?如果存在,那么是否只有一个?0101

定理4.1.1(原函数存在定理)若函数f(x)在区间I上连续,则它在该区间上存在原函数.

由于初等函数在其有定义的区间上是连续的,由定理4.1.1知,每个初等函数在其定义区间上都有原函数.

设C是任意常数,因为(x3+C)′=3x2,所以x3+C也是3x2的原函数.C每取定一个实数,就得到3x2的一个原函数,从而3x2有无穷多个原函数.由此可见,若一个函数存在原函数,那么它的原函数是不唯一的.

原函数有如下特性:

(1)若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数,则函数族F(x)+C(C为任意常数)也是函数f(x)的原函数;

(2)函数f(x)的任意两个原函数之间仅相差一个常数.

上述特性表明,若函数f(x)有原函数,则它必有无穷多个原函数,若函数F(x)是其中一个,则这无穷多个都可以写成F(x)+C的形式.二、不定积分的概念01

定义4.1.2函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分,记作∫f(x)dx,其中符号∫为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.

由定义4.1.2可知,f(x)的不定积分是f(x)的全体原函数,是一族函数.即若F(x)是函数f(x)的一个原函数,则∫f(x)dx=F(x)+C,其中,C为任意常数,称为积分常数.三、不定积分的几何意义01

从几何上看,函数f(x)的任意一个原函数F(x)的图形是一条曲线.因此,不定积分

是一族曲线,称为函数f(x)的积分曲线族.这一族积分曲线可以由其中任一条沿着y轴平行移动而得到.在每一条积分曲线上横坐标相同的点x处做切线,切线互相平行,其斜率都是f(x)(见图4-1).四、不定积分的性质01性质4.1.1求不定积分与求导数(或微分)互为逆运算.也就是说,不定积分的导数(或微分)等于被积函数(或被积表达式),例如对一个函数的导数(或微分)求不定积分,其结果与此函数仅相差一个积分常数,例如性质4.1.2被积函数中不为零的常数因子k可以提到积分符号的前面,即性质4.1.3两个函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和,即上式可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形,即第二节基本积分公式和

直接积分法02一、基本积分公式0201

不定积分与求导互为逆运算,因而可以由导数的基本公式对应地得到不定积分的基本公式.二、直接积分法02

在求积分问题时,直接用基本积分公式进行计算或者利用不定积分的运算性质,先将被积函数进行适当的恒等变形(包括代数变换和三角变换),再代入基本积分公式,便可求出一些函数的不定积分,通常把这种求不定积分的方法称为直接积分法.第三节换元积分法03一、第一类换元积分法03

定理4.3.1(第一类换元积分法)设函数u=φ(x)可导,若则

式(4.3.1)称为不定积分的第一类换元积分公式.利用第一类换元积分公式计算不定积分的方法称为第一类换元积分法.

第一类换元积分法的关键是要能从被积函数中分离出因式φ′(x),使φ′(x)与dx结合凑成微分dφ(x).因此也称此换元积分法为凑微分法.可以形象地用公式表示为二、第二类换元积分法03

第一类换元积分法是将不定积分通过φ(x)=u变换成不定积分.但有时也可以将公式反过来使用,如果不定积分不易直接应用基本积分公式计算,那么我们可以通过变量代换,令x=φ(t),将其化为比较容易计算的不定积分,这就是第二类换元积分法定理4.3.2(第二类换元积分法)设函数f(x)连续,x=φ(t)具有连续的导数φ′(t),且φ′(t)≠0,t=φ-1(x)是其反函数.若式(4.3.2)称为不定积分的第二类换元积分公式.

第四节分部积分法0404

定理4.4.1设函数u=u(x),v=v(x)均具有连续的导数,根据乘积的微分公式有d(uv)=udv+vdu,移项得udv=d(uv)-vdu,两边积分得这个公式称为不定积分的分部积分公式.在使用时,应注意:(1)分部积分公式主要用来求解被积函数是两类函数乘积的不定积分;下面举例来说明其应用.第五节定积分的概念及性质05一、曲边梯形的面积05

由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0),直线x=a,x=b(a<b)及y=0(x轴)所围成的平面图形AabB称为曲边梯形,其中在x轴上的线段ab称为曲边梯形的底边,曲线弧AB称为曲边梯形的曲边,如图4-5所示.

由于曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上是不断变化的,因而它的面积不能由公式“面积=底×高”求得.如何计算它的面积呢?

为了计算曲边梯形的面积,我们可以先将它分割成若干个小曲边梯形,在小曲边梯形中f(x)的变化很小,可以用相应的小矩形近似代替,用所有小矩形的面积之和可以近似代替整个曲边梯形的面积.显然,分割得越细,近似程度就越高,当无限细分时,所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.

根据以上分析,我们按下面的方法求曲边梯形的面积.05

(1)分割———分曲边梯形为n个小曲边梯形.

如图4-6所示,在[a,b]上任取n-1个内分点:a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b将区间[a,b]分割为n个小区间:[x0,x1],[x1,x2],…,[xi-1,xi],…,[xn-1,xn].

记每一小区间长度为Δxi=xi-xi-1,过分点xi(i=1,2,…,n-1)作x轴的垂线,将曲边梯形AabB分割为n个小曲边梯形,其中第i个小曲边梯形的面积记为ΔAi(i=1,2,…,n).05

(2)近似代替———用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积.设ΔAi表示第i个小曲边梯形的面积,则曲边梯形AabB的面积为

.在每个小区间[xi-1,xi](i=1,2,…,n)上任意取一点ξi,以Δxi为底边,f(ξi)为高的小矩形面积f(ξi)Δxi近似代替小曲边梯形的面积,则有ΔAi≈f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n),如图4-6所示.05

(3)求和———求n个小矩形面积之和.

n个小矩形构成的阶梯形的面积和是原曲边梯形面积的一个近似值,即(4)取极限———由近似值过渡到精确值.分割得越细,就越接近曲边梯形的面积,若用来表示所有小区间中的最大区间长度,当分点数无限增大且λ→0时,和式的极限就是曲边梯形AabB的面积A,即

曲边梯形的计算步骤为:采取分割、近似代替、求和、取极限的方法,最后归结为同一种结构的和式的极限.事实上,很多实际问题的解决都可以采取这种方法,归结为这种和式结构的极限.现抛开问题的实际内容,只从数量关系上的共性加以概括总结,便得到了定积分的概念.二、定积分的概念05

定义4.5.1设函数f(x)在[a,b]上有定义,任取分点a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b将[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi](i=1,2,…,n).记Δxi=xi-xi-1(i=1,2,…,n)为区间长度,,并在每个小区间上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),得出f(ξi)Δxi的和式.若λ→0时,和式的极限存在,且此极限值与区间[a,b]的分法及点ξi的取法无关,则称这个极限值为函数f(x)在[a,b]上的定积分,记为,即05

这里称f(x)为被积函数,f(x)dx为被积表达式,x为积分变量,[a,b]为积分区间,a为积分下限,b为积分上限.若f(x)在[a,b]上的定积分存在,则称其在[a,b]上可积.

根据定义4.5.1,上述两个实例可以分别写成如下定积分的形式:

曲边梯形的面积A用定积分可以表示为

变速直线运动物体的路程可以表示为05

关于定积分的定义,有以下说明.

(1)定积分的值只与被积函数、积分区间有关,与积分变量的符号无关,即

(2)定义4.5.1中要求a<b,若a>b、a=b时有如下规定:即互换定积分的上、下限,定积分要变号;定积分的上下限相等,定积分为零.

(3)定积分是一个数,不定积分是一个函数的原函数的全体.因此,定积分和不定积分是两个完全不同的概念.

在怎样的条件下,f(x)在[a,b]上的定积分一定存在呢?有下面的定理.05

定理4.5.1如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.在有限区间上,函数连续是可积的充分条件,但不是必要条件.

如果f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积.由此可知,初等函数在其定义区间内都是可积的.

定理4.5.2如果函数f(x)在闭区间[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.函数有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积.05

在闭区间[a,b]上,若函数f(x)≥0,则曲边梯形的图形在x轴的上方,此时在几何上表示由曲线y=f(x),直线x=a,x=b和x轴围成的曲边梯形的面积,积分值是正的,即,如图4-7所示.特别地,在闭区间[a,b]上,若函数f(x)≡1,则在闭区间[a,b]上,若函数f(x)≤0,则曲边梯形的图形在x轴的下方,此时在几何上表示由曲线y=f(x),直线x=a,x=b和x轴围成的曲边梯形的面积的相反数,积分值是负的,即如图4-8所示.三、定积分的几何意义05在闭区间[a,b]上,若f(x)有正有负时,则积分值f(x)dx就表示曲线y=f(x)在x轴上方的面积减去x轴下方的面积,如图4-9所示而曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的平面图形的总面积为05四、定积分的性质

设f(x),g(x)在[a,b]区间上可积,则根据定义可推证定积分有以下性质.

性质4.5.1常数因子可直接提到积分符号前面,即

特别地,若函数f(x)≡1,则

性质4.5.2代数和的积分等于积分的代数和,即性质4.5.3如果a<c<b,那么这一性质称为定积分的区间可加性,无论c∈[a,b],还是c∉[a,b],性质均成立.05

性质4.5.4如果在[a,b]上有f(x)≥g(x),则注意:比较两个定积分的大小,必须在同一积分区间上比较两个被积函数的大小.

性质4.5.5(估值定理)若函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值分别为M和m,则

性质4.5.6(积分中值定理)设f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点ξ∈(a,b),使

几何意义:设f(x)≥0,则由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积等于以区间[a,b]为底,以f(ξ)为高的矩形abcd的面积(见图4-13).通常称

为f(x)在[a,b]上的平均值.第六节定积分的基本公式0606一、变上限积分函数

设函数f(x)在[a,b]上连续,x为[a,b]上的任意一点,则积分存在.当x在区间[a,b]上变化时,积分是上限x的函数,称为变上限的定积分,记作F(x).因为定积分与积分变量所用字母无关,为了避免混淆,将积分变量用t表示,即x∈[a,b].变上限定积分的几何意义,用F(x)表示右侧一边可以变动的曲边梯形的面积,F(x)随着x的变化而变化,因而是x的函数,如图4-14所示.变上限积分函数有以下重要定理.06

定理4.6.1设函数f(x)在[a,b]上连续,则变上限的定积分

在区间[a,b]上可导,且这说明F(x)是连续函数f(x)的一个原函数.由此可得到原函数存在定理.定理4.6.2若函数f(x)在[a,b]上连续,则函数是函数f(x)在[a,b]上的一个原函数.这个定理既肯定了连续函数的原函数是存在的,又初步揭示了定积分与原函数之间的关系.变上限积分函数的性质不仅在证明微积分基本定理时有重要作用,在讨论函数F(x)本身的性质时也很重要.06二、牛顿-莱布尼茨公式

定理4.6.3如果函数f(x)在[a,b]上连续,且F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则为了书写方便,通常用

来表示F(b)-F(a),即

定理4.6.3称为微积分基本定理,它揭示了定积分与不定积分之间的联系.公式(4.6.1)称为牛顿-莱布尼茨公式,它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数f(x)在[a,b]上的定积分,就是计算f(x)的任一原函数在[a,b]上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.第七节定积分的换元

法与分部积分法0707一、定积分的换元法

定理4.7.1设函数f(x)在区间[a,b]上连续,函数x=φ(t)在区间[α,β]上单调且有连续导数φ′(t).当t在[α,β]上变化时,x=φ(t)在[a,b]上变化,且x=φ(α),b=φ(β),则

上式称为定积分的换元公式.

这个公式与不定积分换元法类似,它们的区别是:不定积分换元求出积分后,需将变量还原为x,而定积分在换元的同时,积分上下限也相应地变化,求出原函数后不需将变量还原,直接根据新变量的积分限计算.

注意:换元必须换限.07二、定积分的分部积分法第八节

广义积分0808一、无穷区间上的广义积分———无穷积分08二、无界函数的广义积分———瑕积分08第九节定积分的应用0909一、定积分应用的微元法加性.步骤(2)是关键,这一步确定的ΔAi≈f(ξi)Δxi是被积表达式f(x)dx的雏形.这可以从以下过程来理解:由于分割的任意性,在实际应用中,为了简便起见,对AA;≈f(ξ;)Ox;省略下标,得AA≈f(ξ)Qx,用[x,x+dx]表示[a,b]内的任一小区间,并取小区间的左端点x为ξ，则0A的近似值就是以dx为底,f(x)为高的小.矩形的面积(如图4-15所示的阴影部分),即ΔA≈f(x)dx09

通常称f(x)dx为面积元素,记为dA=f(x)dx.

将步骤(3)(4)这两步合并,即将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”,就得到面积A,即一般说来,用定积分解决实际问题时,通常按以下步骤来进行:

(1)确定积分变量