2024-2025学年江苏通州中学高二数学（上）第二次测试卷附答案解析

-2025学年江苏通州中学高二数学（上）第二次测试卷总分：150分，时间：120分钟单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请1.斜率为，且经过点的直线方程为（）A. B.C. D.2.已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（）A. B.4 C. D.83．圆与的位置关系为（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切4.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（）A.1 B.2 C.3 D.45.已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（）A. B.C. D.6.长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（）A. B. C. D.7.设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（）A. B. C. D.8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请9．（多选）下列说法正确的是（

）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为C．已知直线，则直线的倾斜角为D．若两直线与平行，则10．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（

）A．点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆B．轨迹C上的点到直线的最小距离为C．若点在轨迹C上，则的最小值是D．圆与轨迹C有公共点，则a的取值范围是11.已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（）A.抛物线的准线方程为B.若，则面积为C.若直线过焦点，且，则到直线的距离为D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。请12．若直线的倾斜角为，则实数m值为______．13．若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则满足条件的的所有值为．14.如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请在答题卡指定区域内作答．15．（本题13分）已知的顶点A为(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，（1）求顶点B的坐标；（2）求BC边所在直线的方程．16．（本题15分）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线有且只有一个公共点，求的值.17．（本题15分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．（1）求该圆弧所在圆方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）18.（本题17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，且过点，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点，试问：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．19．（本题17分）已知圆心为C的动圆经过点且与直线相切，设圆心C的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）已知为定点，P，Q为上的两动点，且，求点A到直线距离的最大值．1.B2.D3．D4.B5.A6.C7.B8．C【分析】设，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求椭圆离心率.【详解】设，则，由椭圆的定义得，，由得，即，整理得，解得或（舍去），∴，故点在轴上.如图，在直角中，，在中，，化简得，∴椭圆的离心率.故选：C.9．CD10．ACD【分析】利用两点距离公式计算可判定A，利用直线与圆的位置关系可判定B、C，利用两圆的位置关系可判定D.【详解】设Px,y，由，整理得，显然点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A正确；圆心到直线的距离，所以轨迹C上的点到直线的最小距离为，故B错误；设，易知圆心到直线的距离，故C正确；易知圆的半径为2，则其与轨迹C相交或相外切时符合题意，则圆心距，解之得，故D正确.故选：ACD11.BD【解析】【分析】根据抛物线的几何性质，可判定A错误，结合抛物线的定义，可判定B正确；结合抛物线的焦点弦的性质和点到直线的距离公式，可判定C错误；设直线的方程为（不妨设）求得和，结合基本不等式，可判定D正确.【详解】对于A中，抛物线可得其准线方程为，所以A错误；对于B中，设，因为，可得，解得，可得，所以，所以B正确；对于C中，抛物线，可得其焦点坐标为，当直线的斜率不存在时，可得，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，整理得，设，可得，根据抛物线的定义，可得，解得，所以直线的方程为，不妨取，所以到直线的距离为，所以C错误；对于D中，设直线的方程为（不妨设）由，可得，则，因为，此时直线的方程为，可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以D正确.故选：BD.12．13．2或414.【解析】【分析】根据椭圆的定义、余弦定理等知识求得，从而求得的面积.详解】由已知，得，则，，在中，由余弦定理，得，所以，由，得，所以，化简解得，所以的面积为.故答案为：.15．解：设，由AB中点在上，可得：，y1=5，所以．设A点关于的对称点为，则有，故．16．（1）（2）【解析】【分析】（1）利用题中距离之比列出关于动点的方程即可求解；（2）联立直线与曲线化简可得，根据方程有一个解，计算即可得出结果.【小问1详解】设动点，由题意有即同时平方，有整理得：所以曲线的方程为【小问2详解】联立方程消去得（*）①当即时，方程（*）有1个根，符合题意.②当即时，因为直线与曲线有1个公共点故解得：综上所述，当时，直线与曲线有且只有一个公共点.17．（1）（2）4辆【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可圆弧所在圆的方程；（2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量.【小问1详解】由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，设该圆的半径为r米，则，解得，故该圆弧所在圆的方程为．【小问2详解】设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则，解得．若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．18.（1）（2）为定值，该定值为2【解析】【分析】（1）先根据焦点形式设出椭圆方程和焦距，根据椭圆经过和半焦距为3易得椭圆的标准方程；（2）设，分别表示出直线方程，进而求得点的纵坐标，点横坐标，即可表示出，即可求得答案．【小问1详解】由焦点坐标可知，椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆：，焦距为，因为椭圆经过点，焦点为所以，，解得，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】设，由椭圆的方程可知，因为，则直线，由已知得，直线斜率均存在，则直线，令得，直线，令得，因为点在第一象限，所以，，则，又因为，即，所以．所以为定值，该定值为2.19．（1）（2）【解析】【分析】（1）由抛物线的定义即可得解.（2）设的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理以及，可得的关系，进一步可将点A到直线距离的最大值化成关于的函数，由此即可得解.【小问1详解】由题可知，圆