2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课时作业含解析新人教A版必修4

PAGE平面对量数量积的物理背景及其含义(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A.eq\r(7) B．eq\r(10)C.eq\r(13) D．4解析：|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos60°＋9＝13，所以|a＋3b|＝eq\r(13).答案：C2．已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝()A．12 B．3C．6 D．3eq\r(3)解析：a·b＝|a||b|cos135°＝－12eq\r(2)，又|a|＝4，解得|b|＝6.答案：C3．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\r(3) D．－1解析：在△ABC中，已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝2，可知△ABC为直角三角形，且∠A＝eq\f(π,3)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|Aeq\o(B,\s\up6(→))|·|Aeq\o(C,\s\up6(→))|cosA＝1×2×eq\f(1,2)＝1.答案：B4．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b相互垂直，则k的值为()A．－eq\f(3,2) B．eq\f(3,2)C．±eq\f(3,2) D．1解析：∵3a＋2b与ka－b相互垂直，∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，∵a⊥b，∴a·b＝0，∴12k－18＝0，k＝eq\f(3,2).答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________.解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.答案：－76．已知|a|＝5，|b|＝8，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的射影的数量等于________．解析：|b|cos〈a，b〉＝8cos60°＝4，所以b在a方向上的射影的数量等于4.答案：47．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝8，则△ABC的形态是__________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝eq\f(1,2)，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．答案：等边三角形三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知|a|＝3，|b|＝6，当(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a与b的夹角是60°时，分别求a·b.解析：(1)当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18；(2)当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0；(3)当a与b的夹角是60°时，有a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×eq\f(1,2)＝9.9．设向量a，b满意|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝eq\r(5).(1)求|a＋3b|的值；(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．解析：(1)由|3a－b|＝eq\r(5)，得(3a－b)2＝5，所以9a2－6a·b＋b2＝5，因为a2＝b2＝1，所以a·b＝eq\f(5,6).因此(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝15，所以|a＋3b|＝eq\r(15).(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ，因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝eq\f(20,3)，所以cosθ＝eq\f(3a－b·a＋3b,|3a－b||a＋3b|)＝eq\f(\f(20,3),5\r(3))＝eq\f(4\r(3),9)，因为0°≤θ≤180°，所以sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),9)))2)＝eq\f(\r(33),9).所以3a－b与a＋3b的夹角的正弦值为eq\f(\r(33),9).eq\x(尖子生题库)☆☆☆10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b相互垂直？解析：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，∴θ＝eq\f(2π,3).