第一章 特殊平行四边形 综合检测

第一章特殊平行四边形综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC=3，则该菱形的周长为()A.12 B.15 C.6+43 D.3+62.(2022山东滨州中考)下列命题，其中是真命题的是()A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相平分的四边形是菱形D.对角线互相垂直的矩形是正方形3.(2023山西太原师院附中月考)如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积是4，则矩形ABCD的面积是()A.8 B.12 C.16 D.204.(2022四川自贡中考)如图，菱形ABCD对角线的交点与坐标原点O重合，点A(-2，5)，则点C的坐标是()A.(5，-2) B.(2，-5) C.(2，5) D.(-2，-5)5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E在边BC上，连接DE，若EA平分∠BED，则EC的长为()A.35 B.9386.(2023广东五华期中)如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是()A.62.5° B.45° C.32.5° D.22.5°7.(2022湖南湘西州中考)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH=4，若菱形ABCD的面积为323，则CD的长为()A.4 B.43 C.8 D.88.(2022甘肃中考)如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止.设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为()A.3 B.23 C.339.如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，展开后再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点E在CB上，点B在MN上的对应点为H，展开后沿AH和DH剪下得到三角形ADH，则下列选项错误的是()A.DH=AD B.AH=DH C.NE=BE D.DM=1210.(2023辽宁省实验中学期中)如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC，AB上的点，且AE=DF，下列结论：①AE⊥DF；②CE=BF；③S△AOD=S四边形BEOF；④AO=OE，其中一定正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11.如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，∠ABC=25°，则∠ADC的度数是.

12.(2022湖南益阳中考)如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A'满足AA'=13AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是13.(2022辽宁营口中考)如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是.(写出一个即可)

14.(2022甘肃中考)如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=25cm，AC=4cm，则BD的长为cm.

15.(2023河南省实验中学月考)如图，在边长为22的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为.

16.(2022天津中考)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于.

三、解答题(共46分)17.(2022浙江嘉兴中考)(7分)小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB=OD.求证：四边形ABCD是菱形.”并将自己的证明过程与同学小洁交流.小惠：证明：小惠：证明：∵AC⊥BD，OB=OD，∴AC垂直平分BD.∴AB=AD，CB=CD.∴四边形ABCD是菱形.小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明.若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明.18.(7分)如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE=DF，连接AE，AF，EF.(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE=5，请求出EF的长.19.(2021贵州六盘水期末)(7分)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=1.(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)求矩形ABCD的面积.20.(8分)如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且AH=CF，BE=DG.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若四边形EFGH是菱形，AB=50，BC=30，AH=10，求菱形EFGH的边长.21.(2020山西中考节选)(8分)综合与实践问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'(点A的对应点为点C).延长AE交CE'于点F，连接DE.猜想证明：(1)试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；(2)如图②，若DA=DE，请猜想线段CF与E'F的数量关系并加以证明.22.(2022河南息县模拟)(9分)学习了菱形的判定后，小张同学与小刘同学一起探索折纸中的菱形.小张：如图①，两张相同宽度的矩形纸条重叠部分(阴影部分)是一个菱形.小刘：如图②，一张矩形纸条沿EG折叠后，重叠部分展开(阴影部分)后是一个菱形.(1)小张同学的判断是否正确?(2)小刘同学的判断是否正确?如果正确，证明他的判断；如果不正确，请说明理由.(3)如图③，矩形ABCD的宽AB=4，若AE=2AB，沿BE折叠后，重叠部分展开(阴影部分)后得到菱形GBFE，求菱形GBFE的面积.

第一章特殊平行四边形综合检测答案全解全析一、选择题1.A∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=3，∴菱形ABCD的周长=4AB=12，故选A.2.D选项A，对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，本选项不符合题意；选项B，有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题，本选项不符合题意；选项C，对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，本选项不符合题意；选项D，对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意.故选D.3.C∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，∴OA=OB=OC=OD，∴S△ADO=S△BCO=S△CDO=S△AOB=4，∴矩形ABCD的面积为4S△4.B∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，即点A与点C关于原点对称，∵点A(-2，5)，∴点C的坐标是(2，-5).5.C∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，CD=AB=3，∴∠DAE=∠AEB，∵EA平分∠BED，∴∠AED=∠AEB，∴∠AED=∠DAE，∴DE=AD=4，∴EC=DE6.D∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵AE=AC，∴∠E=∠ACE=12(180°-∠BAC)=12×(180°-45°)=67.5∴∠BCE=67.5°-45°=22.5°，故选D.7.C∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，OC=OA=12AC，AC⊥BD，∴OH=OB=OD=12BD，∴OD=4，BD=8，由12AC·BD=323得12×8AC=32OC8.B本题综合考查了菱形的性质与函数图象.连接BD，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=AD，∴△ABD为等边三角形，设AB=a，由题图2可知，△ABD的面积为33，∴34a2=33，解得9.C连接EH，由图形的对称性可知AB=AH，AH=DH，DM=12AD，BE=HE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∴DH=AD，∴DM=12DH，在Rt△HNE中，HE>NE，∴BE>NE，故A、B、D结论正确，C结论错误10.C在正方形ABCD中，∠DAF=∠B=90°，AB=AD=BC，在Rt△ABE和Rt△DAF中，AE=DF,AB=AD,∴Rt△ABE≌Rt△DAF(HL)，∴AF=BE，∴CE=BF，故②正确；∵Rt△ABE≌Rt△DAF，∴∠EAB=∠ADF90°，∴∠ADF+∠DAE=90°，∴∠AOD=90°，∴AE⊥DF，故①正确；∵△ABE≌△DAF，∴S△ABE=S△DAF，∴S△ABE-S△AOF=S△DAF-S△AOF，即S△AOD=S四边形BEOF，故③正确；假设AO=OE，连接DE，∵AE⊥DF，∴AD=DE，∵在Rt△DCE中，DE>DC，∴AD>DC，这与AD=DC相矛盾，所以假设不成立，AO≠OE，故④错误.综上所述，正确的有①②③.故选C.二、填空题11.50°解析∵CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，∴DC=12AB=DB∴∠DCB=∠ABC=25°，∴∠ADC=∠DCB+∠ABC=50°.12.4解析∵正方形ABCD的边长为3，∴AC=32，∴AA'=13AC==22，由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2，∴S重叠部分=4.故答案为4.13.AB=AD(答案不唯一)解析这个条件可以是AB=AD，理由如下：由平移的性质得AB∥DE，AB=DE，∴四边形ABED是平行四边形，又∵AB=AD，∴平行四边形ABED是菱形，故答案为AB=AD(答案不唯一).14.8解析∵四边形ABCD是菱形，AC=4cm，∴AC⊥BD，BO=DO，AO=CO=2cm，∵AB=25cm，∴BO=AB2−AO2=4cm，∴=8cm，故答案为8.15.1解析解法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，且其边长为22，∴∠A=90°，AD∥BC，AB=AD=BC=22，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE=CF=12×22=2，∵点H是FD的中点，∴DH=FH，∵AD∥∠FCH，又∵∠DHP=∠FHC，∴△PDH≌△CFH(AAS)，∴PH=CH，PD=CF=2，∴AP=AD-PD=2，∴PE=AP∵点G，H分别是EC，CP的中点，∴GH=12EP=1解法二：连接GF，可得GF=12BE=22，且GF∥BE，作GM⊥DC于M，可得四边形GFCM为矩形，所以CM=22，GM=2，延长GH交CD于N，可得△GHF≌△NHD，所以DN=GF=22，GH=HN=12GN，所以MN解法三：连接EH并延长，交CD于点M，连接FG并延长，交EH于点O，交AD于点N.可知△OGH为等腰直角三角形，且OH=14AD=2解法四：连接FG并延长至点O，使OG=GF，连接BD，易知点O为正方形对角线的交点，GH是△OFD的中位线，所以GH=12OD=解法五：建立如图所示的平面直角坐标系.易知E(0，2)，C(22，0)，F(2，0)，D(22，22).所以G2,22，H322,解法六：根据图形特性，将图形放在格点图中，小正方形的边长为22，观察可得GH=116.19解析如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，则∠M=90°.∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=2，AB∥CD，∴FH∥AB，∴∠FHG=∠AEG，∵F是CE的中点，FH∥CD，∴H是DE的中点，∴FH是△CDE的中位线，∴FH=12CD∵E是AB的中点，∴AE=BE=1，∴AE=FH，又∵∠AGE=∠FGH，∴△AEG≌△FHG(AAS)，∴AG=FG，∵AD∥BC，∴∠CBM=∠DAB=60°，∴∠BCM=30°，∴BM=12BC∴CM=22−12=∵F是CE的中点，∴FB是△CEM的中位线，∴BF=12CM=32，FB∥CM，∴∠EBF=在Rt△AFB中，由勾股定理得AF=AB2+BF2三、解答题17.解析赞成小洁的说法，补充条件：OA=OC.证明如下：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形.(补充条件不唯一，正确即可)18.解析(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=∠ADF=90°.在△ABE和△ADF中，AB∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF=5，∠BAE=∠DAF.∵∠BAE+∠EAD=90°，∴∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°.∴EF=AE19.解析(1)证明：∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴OA=OC=OB=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=2AO，∵AB=1，∴AO=1，∴AC=2，由勾股定理得BC=AC∴矩形ABCD的面积=1×3=20.解析(1)证明：在矩形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=CD，∵BE=DG，∴AB-BE=CD-DG，∴AE=CG，又∵AH=CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)，∴EH=GF.同理可证EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形.(2)设AE=x，则DG=BE=50-x.DH=AD-AH=30-10=20.在Rt△AEH和Rt△DGH中，AH2+AE2=EH2，DH2+DG2=GH2，∵四边形EFGH是菱形，∴EH=GH，∴AH2+AE2=DH2+DG2，∴102+x2=202+(50-x)2，解得x=28，即AE=28.∴EH=AH∴菱形EFGH的边长为2221.21.解析(1)四边形BE'FE是正方形.理由如下：由旋转可得∠AEB=∠CE'B=90°，BE=BE'，∠EBE'=90°，又∵∠BEF=90°，∴四边形BE'FE是矩形，又∵BE=BE'，∴四边形BE'FE是正方形.(2)CF=E'F.证明：如图，过点D作DH⊥AE于H，∵